2024～2025学年度八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 11.1.3 三角形的稳定性教学设计

11.1.2三角形的高、中线与角平分线11．1.3三角形的稳定性教学目标课题11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性授课人素养目标1.理解三角形的中线、高线、角平分线等概念，了解三角形重心的概念，会画出任意三角形的中线、高线、角平分线，进一步提升学生的几何直观感知能力.2.了解三角形的稳定性．教学重点理解三角形的高、中线与角平分线．教学难点1.三角形的高、中线、角平分线的区别.2.探究三角形三条高所在的直线、三条中线、三条角平分线分别交于一点的过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习旧知，温故知新设计意图复习巩固旧知，为引入三角形的三条重要线段做准备.【情境引入】我们一起回顾下垂线、线段中点和角平分线的概念：这节课我们将在三角形中对以上概念做进一步的探讨，想知道它们在三角形中是什么样的吗？我们看一下下面这张图.把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，AF，AG，…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？通过上图想必你心中一定有自己的答案了，那它们各自又发挥了什么作用呢？快让我们一起在本课时的学习中找寻答案吧！【教学建议】教师可指定学生代表回答，提出问题，在进入新课之前让学生看图联想在三角形中结合这几个概念时的情形，也可以通过操作模拟实验，得到更为直观的感触，学生通过后面的学习印证猜想，加深印象.活动二：动手操作，探究新知设计意图引导学生动手画图，自然引入到已经学过的三角形的高的概念，并探究各种形状的三角形中高的情况，加深理解.探究点1三角形的高问题1我们在上一活动中已经复习了垂线的概念，你还记得如何“过一点画已知直线的垂线”吗？请在下图中过点A画线段BC所在直线l的垂线．这条垂线段是什么？教学步骤师生活动几何符号语言：∵AD是△ABC的高,∴∠BDA=∠CDA=90°.反之，∵∠BDA=90°(或∠CDA=90°），∴AD是△ABC的高.问题2用同样方法，你能画出△ABC的另两条边上的高吗？你有什么发现？如图所示.△ABC的三条高相交于一点.问题3不难发现，上面的△ABC是锐角三角形，那么当△ABC是直角三角形时，你能画出△ABC的三条高吗？又有怎样的发现？如图所示．△ABC的三条高相交于一点，这一点是直角顶点.直角边BC边上的高是AB；直角边AB边上的高是BC；斜边AC边上的高是BD.问题4当△ABC是钝角三角形时，你能画出△ABC的三条高吗？又有怎样的发现？如果将三条高延长呢？如图所示．△ABC的三条高没有交点，但三条高所在直线相交于一点，这一点在△ABC外.归纳总结：任意三角形都有三条高，它们所在的直线相交于同一点.【对应训练】教材P5练习第1题．【教学建议】学生从自主动手画图入手，根据设置的问题逐步深入，可以使学生对三角形的高的各种情形有一个更直观的了解和清晰的印象．尤其在画钝角三角形的三条高时，有两个垂足落在边的延长线上，学生自行尝试，能在实践中更加深刻地理解．在学习三角形的高时，画钝角三角形的高也是一个易错点，作图时要紧密联系概念“从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线”，找准要作的是哪条边上的高，并注意和学生强调以免混淆：三角形的高是线段，所以钝角三角形的三条高是没有交点的，是它们所在的直线交于一点.设计意图引入三角形的中线的概念，并探究各种形状的三角形的中线的情况，引入重心的概念．学生根据设置的问题动手画图，探究点2三角形的中线问题1如图，在△ABC中，你能否想一种方法找到边BC的中点的位置？可以用直尺量取线段BC的长度，以点B(或点C)为圆心，以BC的一半长为半径作弧交BC于点D，则点D即为边BC的中点．概念引入：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC教学步骤师生活动探究新知，感悟分类讨论的数学思想.上的中线．几何符号语言：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC.反之，∵BD＝CD(或BD＝eq\f(1,2)BC，或CD＝eq\f(1,2)BC)，∴AD是△ABC的中线．问题2用同样方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？如图所示．问题3分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线．认真观察，你可得到什么结论？如图所示．归纳总结：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心的实际意义：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心．【对应训练】教材P5练习第2(1)题．【教学建议】学生经过思考、交流后，归纳出三角形三条中线交于一点的性质，教师直接告知这个结论是对的，不需要证明．三角形的中线除了具有平分边的性质外，还平分三角形的面积，以及分割的两个三角形的周长间也存在一定关系，后面的备课素材里有相应例题，教师可根据时间安排选讲设计意图引导学生动手折纸操作，引入三角形的角平分线的概念，探究各种形状的三角形的三条角平分线的情况，并对三角形的三条重要线段做一个总结归纳．探究点3三角形的角平分线做一做：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合．问题1如图，AD是折痕，则∠1和∠2之间有什么数量关系？AD是∠BAC的平分线吗？∠1＝∠2，AD是∠BAC的平分线．问题2类比三角形的高、三角形的中线，三角形的角平分线是什么？画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线．几何符号语言：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠BAC.反之，∵∠1＝∠2(或∠1＝eq\f(1,2)∠BAC，或∠2＝eq\f(1,2)∠BAC)，∴AD是△ABC的角平分线．问题3画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？如图所示．△ABC的三条角平分线交于一点．问题4分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线.认真观察，你可得到什么结论？【教学建议】教师引导学生动手操作，初学三角形的角平分线时，从折纸入手是为了让学生对“平分”有更深刻的理解，后面画角平分线时既可通过折纸，沿折痕画角平分线，也可直接通过量角器作图(在后面第十二章深入学习角平分线的作法后，要改为尺规作图)．在学习三角形的角平分线时，概念容易混淆，教师注意跟学生强调；角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，二者不能混为一谈.教学步骤师生活动如图所示.三角形的三条角平分线交于一点，这一点位于三角形内部.归纳总结：【对应训练】教材P5练习第2（2）题.设计意图结合大量实例使学生了解三角形的稳定性与四边形的不稳定性.探究点4三角形的稳定性【情境引入】工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(图①)，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(图②).为什么要这样做呢？探究,如图①，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图②，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图③，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.【教学建议】三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的．在探究这一点时，教师宜在多媒体教具上举出大量应用三角形稳定性的例子，也可结合实际，让学生通过实验得出这个性质．“不稳定”是四边形的一个重要性质，有时候我们需要利用四边形的不稳定性，如活动挂架、伸缩门；有时又要克服四边形的不稳定性，如在未安装好的窗框上斜钉一根木条使其不变形，这些内容也可以让生通过实验和实际例子加以体会.教学步骤师生活动还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形.三角形的稳定性有广泛的应用，下图表示其中一些例子．你能再举一些例子吗？能．如输电线支架、索道支架等，如下图.四边形的不稳定性也有广泛的应用，下图表示其中一些例子.【对应训练】教材P7练习.活动三：融会新知，巩固提升设计意图通过例题将三角形的三条重要线段综合进一个几何模型里考查，加深学生的理解.例如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F.(1)以AD为中线的三角形是_________；(2)以AE为角平分线的三角形是_________；(3)以AF为高的三角形有_________个，其中钝角三角形的个数是_________.答案：(1)△ABC(2)△ABD(3)103【教学建议】本题考查了三角形的中线、高、角平分线的概念和性质，解题的关键是正确理解相关概念，准确地将三者加以区分．注意图形中线段较多，分辨时需仔细，不要混淆.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三角形的高？什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？它们各自有何特点？2.你能画出任意三角形的高、中线或角平分线吗？3.你能举出三角形具有稳定性的相关实例吗？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P8～9习题11.1第3，4，5，8，9，10题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性1.三角形的高：是线段，有3条，它们所在直线交于一点(可能在三角形内，也可能在三角形外，或是直角顶点). 2.三角形的中线：是线段，有3条，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心. 3.三角形的角平分线：是线段，有3条，它们交于三角形内一点. 4.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．教学反思在学习三角形的三条线段时，从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的概念以及表示方法．在学习三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形的稳定性，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题.解题大招一准确识别钝角三角形的高的方法解决此类问题的核心是紧扣三角形的高的概念，作哪条边上的高，就是从它所对的顶点向这条边所在直线作垂线，所得的垂线段即为高．△ABC有3个顶点A，B，C，若是找边BC上的高，则这条高应是从排除B，C两点的A点发出的．另外如果是识别钝角三角形中的高，那么三条高中垂足在边的延长线上的两条高是从锐角顶点发出的，而垂足在三角形的边上的高是从钝角顶点发出的，可通过以上性质快速判断．

例1在下列图形中，正确画出钝角三角形ABC的AC边上的高的是D解析：识别AC边上的高，所以这条高是从顶点B发出的，而△ABC是钝角三角形，∠B是锐角，从顶点B发出的高的垂足应落在边CA的延长线上，结合以上性质可知选项D正确．解题大招二利用三角形的中线解决与周长有关的问题的方法三角形的中线分成的两个三角形的周长之间的关系：例2在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm的两部分,求△ABC的各边长．解：设AB＝AC＝xcm，则AD＝CD＝eq\f(1,2)AC＝0.5xcm.(1)如图①，若AB＋AD＝12cm，则x＋0.5x＝12.解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，则CD＝4cm.故BC＝15－4＝11(cm)．此时AB＋AC＞BC，三角形存在，所以三边长分别为8cm，8cm，11cm.(2)如图②，若AB＋AD＝15cm，则x＋0.5x＝15.解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，则CD＝5cm.故BC＝12－5＝7(cm)．显然此时三角形存在，所以三边长分别为10cm，10cm，7cm.综上所述，△ABC的三边长分别为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm.解题大招三判断图形是否具有稳定性的方法(1)判断一个图形是否具有稳定性，就看它的基本组成部分是不是三角形．若是，则具有稳定性；若不是，则不具有稳定性．(2)要使除三角形外的其他多边形具有稳定性，需要将其分割为若干个三角形．例3如图，小明家有一个由六条钢管连接而成的钢架ABCDEF，为了使这一钢架稳固，他计划在钢架的内部用三根钢管连接使它不变形，请帮助小明解决这个问题．(用三种不同的方法画图说明)解：要使钢架稳固，需要将钢架分割为几个三角形，如图所示．(答案不唯一)培优点一利用三角形的中线解决面积问题三角形的中线分成的两个三角形的面积之间的关系：例1如图，△ABC的中线AD，CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是2，则△ACF的面积是2.分析：中线的性质：分成的两个三角形面积相等→S△CBE＝S△ACDeq\o(→,\s\up7(面积的和差))S△ACF＝S四边形BDFE.解析：∵CE和AD为△ABC的中线，∴AE＝BE，BD＝CD，∴S△CBE＝eq\f(1,2)S△ABC，S△ACD＝eq\f(1,2)S△ABC，∴S△CBE＝S△ACD，∴S△ACD－S△CDF＝S△CBE－S△CDF，即S△ACF＝S四边形BDFE＝2.故答案为2.培优点二利用面积法探究三角形中高的关系同一个三角形的面积相等，所以在三角形的任意两条边长和这两条边上的高这四个