专题17图形的相似(真题1个考点模拟13个考点)(原卷版+解析)

专题17图形的相似（真题1个考点模拟13个考点）一．相似三角形的判定与性质（共2小题）1．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．52．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．一．比例的性质（共3小题）1．（2023•无为市一模）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023•合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（2023•安徽模拟）已知，求k2﹣3k﹣4的值．二．比例线段（共3小题）4．（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为．5．（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝cm．6．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝．三．黄金分割（共5小题）7．（2023•庐阳区一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m8．（2023•濉溪县模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，则AD的值为（）A． B． C． D．9．（2023•雨山区一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为cm．10．（2023•庐阳区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA＝（）A． B． C． D．11．（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm．四．平行线分线段成比例（共6小题）12．（2023•镜湖区校级一模）如图，如图，在△ABC中，D、E分别在边AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，则EC的长度为（）A．4 B．6 C．12 D．1513．（2023•蚌山区模拟）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（）A． B． C． D．14．（2023•舒城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值为（）A．2 B． C． D．15．（2023•蜀山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE与中线CD交于点F，若AC＝16，BC＝12，则的值为（）A． B． C． D．16．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．17．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝；若∠CMF＝60°，则＝．五．相似多边形的性质（共3小题）18．（2023•潜山市模拟）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（）A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差 B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差 C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差 D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差19．（2023•舒城县二模）将一张平行四边形ABCD（AD＜AB＜2AD）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是（）A． B． C．或 D．或或20．（2023•庐阳区校级一模）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元 B．1080元 C．720元 D．2160元六．相似三角形的性质（共4小题）21．（2023•南陵县校级一模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（）A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜322．（2023•定远县二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（）A．3 B．5 C．15 D．4523．（2023•凤台县校级二模）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（）A． B． C． D．24．（2023•池州三模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是边AC上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．​（1）判断：△ABC为（填“锐”“直”或“钝”）角三角形；（2）如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．七．相似三角形的判定（共6小题）25．（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．26．（2023•萧县一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（）A．AB2＝AD•AC B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．＝27．（2023•霍邱县一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：​（1）AP＝；（2）当△QEP∽△ABP时，PQ＝．28．（2023•舒城县模拟）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为．29．（2023•雨山区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．（1）FG＝；（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝．30．（2023•萧县三模）如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，连接DE交BC于点M，连接BG交CE于点N，交DE于点O，则下列结论不正确的是（）A．BG⊥DE B．当CN＝EN时，CN2＝ON•NG C．当∠BDE＝∠BCE时，△BMD∽△BNC D．当∠BCE＝60°时，八．相似三角形的判定与性质（共17小题）31．（2023•霍邱县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若，AB＝4，则的值为（）A． B． C． D．32．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）A． B． C． D．33．（2023•宣城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G．（1）求证：AE⊥EF；（2）若，⊙O的半径为2，求BF的长．34．（2023•无为市三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，点B为的中点，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交DB的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的长．35．（2023•全椒县二模）如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点E恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB与DE相交于点F，求证：CE•BE＝CA•BF；（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，请画出符合条件的图形，并求DE的长．36．（2023•庐阳区校级三模）已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，则AB+AC的最小值为（）A． B． C． D．1037．（2023•黄山二模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB＝4，CD＝6，则OM﹣EF值为（）A． B． C． D．38．（2023•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，连接DE交AC于点F，过点F作FG⊥DE交AB于点G，则下列结论正确的是（）A．AG＝GF B． C． D．39．（2023•瑶海区三模）如图，正方形ABCD和正方形BPQR有重叠部分，R点在AD上，CD与QR相交于S点，若正方形ABCD和正方形BPQR的边长分别为4和5，则阴影部分面积为（）A． B． C． D．40．（2023•天长市校级二模）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EF⊥FG且EF＝FG．​（1）如图1，当点G在CD上时，求证：DG＝BE；（2）如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．41．（2023•濉溪县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在边AC上．以点D为圆心，DC为半径作⊙D与AB相切于点F，已知∠CED＝∠ABC．（1）求证：BD＝ED；（2）连接AD，若AC＝6，AB＝10，求线段AE的长．42．（2023•天长市校级三模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求证：AB∥CD；（2）如图2，点E在AB边上，EM垂直平分AD，垂足为M；EN垂直平分BC，垂足为N，若∠BAD＝∠ABC，求证：AC＝BD；（3）如图3，E，F分别为AC，BD的中点，EF两端延长分别交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面积分别为S1，S2，直接写出的值．​43．（2023•池州三模）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G．（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，．①若M为BC中点，求证：EN＝NC；②求AG的长；（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠HED＝∠CED，且HF＝2GH，求EF的长．44．（2023•瑶海区校级一模）将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在点F处，折痕为DE，其中AB＝2，AD＝3．（1）如图（1），若点F恰好在边BC上，连接AF，求证：△ABF∽△DAE；（2）如图（2），若E是AB的中点，EF的延长线交BC于点G，求BG的长．45．（2023•无为市一模）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．（1）求证：∠DAC＝∠DEA；（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．46．（2023•庐阳区校级一模）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求的值．47．（2023•合肥模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CF＝DF．（1）求证：△ACD∽△BCF；（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．①求证：∠PMN＝135°；②若AD＝2，求△PMN的面积．九．相似三角形的应用（共2小题）48．（2023•芜湖模拟）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A．cm B．1cm C．cm D．cm49．（2023•庐阳区一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h＝（）A．cm B．2cm C．cm D．3cm一十．作图-相似变换（共2小题）50．（2023•大观区校级二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．（1）作出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；（2）画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．51．（2023•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）请画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1.（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2．一十一．位似变换（共2小题）52．（2023•庐阳区一模）△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）53．（2023•杜集区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC位似，位似中心为原点O，已知点A（﹣1，﹣1），C（﹣4，﹣1），A'C'＝6，则点C'的坐标为（）A．（2，2） B．（4，2） C．（6，2） D．（8，2）一十二．作图-位似变换（共2小题）54．（2023•利辛县模拟）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）．（1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；（2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为；（3）请用无刻度直尺将线段AB三等分．55．（2023•花山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．一十三．相似形综合题（共5小题）56．（2023•镜湖区校级二模）如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：（1）求证：△AFD≌△DCE；（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．①求证：EF•DF＝GF•CF；②求GE：GC的值．57．（2023•花山区二模）点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E，延长BD交AC于点F．（1）如图1，若AB＝AC，证明：DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC+∠BAC＝180°，证明：＝；（3）如图3，若∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，DF＝4，＝，求BD的值．58．（2023•无为市四模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．（1）求证：△ADE≌△FCD；（2）如图2，连接DB交AE于点G，且AG＝DC．①连接CG，求证：四边形BFCG是菱形；②若DB∥CF，求的值．59．（2023•天长市校级二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点D、点E，点F在DA的延长线上，连接BF交CE的延长线于点M，AD＝2CD．（1）若AE＝2，则BD＝；（2）若BM：MF＝6：7，EM＝1，则AF＝．60．（2023•濉溪县模拟）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，连接BF，CD，CF，已知EC＝ED，FB＝FC，∠CED＝∠CFB．（1）求证：∠ECF＝∠BFD；（2）连接AF，若AB＝CD，AF＝DF，求证：AF＝AE；（3）在（2）的条件下，若DF＝kEF，求的值（用含k的代数式来表示）．

专题17图形的相似（真题1个考点模拟13个考点）一．相似三角形的判定与性质（共2小题）1．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．2．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先作出两个直角三角形，再判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∴∴PA＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．一．比例的性质（共3小题）1．（2023•无为市一模）若3a＝4b（ab≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项．【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），∴a：4＝b：3，∴，故选：A．【点评】本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积，熟记比例的性质是解题的关键．2．（2023•合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】把化成1﹣＝，即可求出的值．【解答】解：∵，∴1﹣＝，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是关键．3．（2023•安徽模拟）已知，求k2﹣3k﹣4的值．【分析】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得：＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝，当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．二．比例线段（共3小题）4．（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为6．【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出结果．【解答】解：设线段a和b的比例中项为c，∵a＝9，b＝4，∴＝，∴c2＝ab＝4×9＝36，解得：c＝±6，又∵线段不能是负数，∴﹣6舍去，∴c＝6，故答案为：6．【点评】考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解决问题的关键．5．（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝2cm．【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×1，解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去）．则c＝2cm．故答案为：2．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．6．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝3﹣．【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得BP＝AB，即可得出结论．【解答】解：∵点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项，∴BP2＝AB•AP，∴BP＝AB＝＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．三．黄金分割（共5小题）7．（2023•庐阳区一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为xm，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．8．（2023•濉溪县模拟）如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，则AD的值为（）A． B． C． D．【分析】先证明AD＝BD，设AD＝BD＝x，则BC＝2+x．作AE⊥BC于点E，根据AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2列方程求解即可．【解答】解：∵∠ADB＝108°，∴∠CDA＝180°﹣108°＝72°．∵AB＝AC＝CD＝2，∴∠CAD＝∠CDA＝72°，∴∠B＝∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝36°，∴AD＝BD．设AD＝BD＝x，则BC＝2+x．如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝CD＝2，∴，∴．∵AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴，解得，（舍去）．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．9．（2023•雨山区一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为（12﹣4）cm．【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，∴，∴AP＝cm，BP＝AB﹣AP＝12﹣4．故答案为：（12﹣4）．【点评】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．10．（2023•庐阳区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA＝（）A． B． C． D．【分析】过B作BE⊥AC于E，设CD＝2a，证△BDC∽△ABC，得BC：AC＝CD：BC，再证CB＝BD＝AD，然后证点D是线段AC的黄金分割点，求出AD＝（+1）a，即可解决问题．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E，设CD＝2a，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠C＝∠C，∠CDB＝∠ABC＝72°，∴△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∵∠A＝∠ABD＝36°，∠C＝∠BDC＝72°，∴CB＝BD＝AD，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点，∴＝，∴AD＝＝＝（+1）a，∴AB＝AC＝AD+CD＝（3+）a，∵BE⊥AC，BD＝CD，∴DE＝CE＝CD＝a，∴AE＝AD+DE＝（2+）a，∴cosA＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点D为线段AC的黄金分割点是解题的关键．11．（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为4﹣4cm．【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝4﹣4（cm），故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．四．平行线分线段成比例（共6小题）12．（2023•镜湖区校级一模）如图，如图，在△ABC中，D、E分别在边AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，则EC的长度为（）A．4 B．6 C．12 D．15【分析】由DE∥BC，得，进而即可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，∴EC＝6．故选B．【点评】本题主要考查平行线截线段成比例定理，掌握平行线截得的对应线段成比例是解题的关键．13．（2023•蚌山区模拟）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（）A． B． C． D．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴FH＝HC，∵DH∥BF，AE＝AD，∴，∴AF：FC＝1：6，∴的值故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14．（2023•舒城县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值为（）A．2 B． C． D．【分析】过C作CN∥AB交AE延长线于N，过E作EM∥BD交AC于M，推出AC＝CN＝5，由相似三角形的性质得到BE：EC＝4：5，由平行线分线段成比例定理，得到CD：DM＝9：4，而AD＝CD，由此AD：DM＝9：4，于是即可解决问题．【解答】解：过C作CN∥AB交AE延长线于N，过E作EM∥BD交AC于M，∴∠BAE＝∠N，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠N＝∠CAE，∴CN＝CA＝5，∵AB∥CN，∴△ABE∽△NCE，∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，∵EM∥BD，∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，∴DC：DM＝9：4，∵D是AC的中点，∴AD＝CD，∴AD：DM＝9：4，∵OD∥EM，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，关键是通过平行线的性质，角平分线定义得到AC＝CN，由相似三角形的性质求出BE：EC．15．（2023•蜀山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE与中线CD交于点F，若AC＝16，BC＝12，则的值为（）A． B． C． D．【分析】作EH⊥AB于H，延长CD到M，使DM＝CD，连接BM，由勾股定理求出AB的长，由三角形面积公式求出CE的长，由△BDM≌△ADC（SAS），得到BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，得到CE∥MB，推出△CEF∽△MBF，因此＝＝＝．【解答】解：作EH⊥AB于H，延长CD到M，使DM＝CD，连接BM，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20，∵BF平分∠ABC，∴EH＝EC，∵△ABC的面积＝△ABE的面积+△BCE的面积，∴AC•BC＝AB•EH+BC•CE，∴16×12＝20CE+12CE，∴CE＝6，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDM，∴△BDM≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，∴CE∥MB，∴△CEF∽△MBF，∴＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线，构造全等三角形，相似三角形．16．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．【分析】（1）由DC∥AP，得到＝，代入数据求得AP＝90，于是得到结论；（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，根据平行线分线段成比例定理得到＝，得到方程＝，求出AP＝，解一元二次方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ•AP＝1350米2；（2）设DQ＝x米，则AQ＝x+20，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝，由题意得××（x+20）＝1600，化简得3x2﹣200x+1200＝0，解x＝60或．经检验：x＝60或是原方程的根，∴DQ的长应设计为60或米．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．17．（2023•庐阳区一模）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF于M．若E为AB中点，则＝2；若∠CMF＝60°，则＝2．【分析】（1）连接BD，根据相似三角形计算即可；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以过C作CN⊥AM所在直线，利用角平分线的性质求解即可．【解答】解：（1）连接BD，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，∴△MCD∽△MEB，∴，∵E为AB中点，∴；（2）过点C作CN⊥AF，交AF的延长线于点N，如图2，在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，∵sin60°＝，cos60°＝，∴，，即CM＝2MN，∵AE＝CF，BA＝BC，∴BA﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），∴∠FAB＝∠ECB，∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM＝FM，∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°∴∠FAB＝∠FCN，∴∠MCF＝∠NCF，过点F作FG⊥CE于点G，∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，∴cos∠FMG＝cos∠MCN＝，∵，∴，∵＝，MF＝EM，∴＝＝2+2×＝2+2×＝2+．故答案为：2；2+．【点评】本题考查的是正方形的综合题，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线CN．五．相似多边形的性质（共3小题）18．（2023•潜山市模拟）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（）A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差 B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差 C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差 D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差【分析】分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，∵四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，∴CD＝3AF＝3ME，BC＝3FG＝3BJ，△BCD～△BJI，相似比k＝3，则S平行四边形BCDN＝3S平行四边形MEFA＝2S△BCD，9S△BJI＝S△BCD，∵S△ADN＝S△ADM，∴S四边形ABCD﹣S四边形ADEF＝S▱BCDN﹣S▱MEFA＝S△BCD＝12S△BIJ，选项C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形性质，相似三角形性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．19．（2023•舒城县二模）将一张平行四边形ABCD（AD＜AB＜2AD）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，则平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是（）A． B． C．或 D．或或【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可．【解答】解：如图，设AD＝a，AB＝b．根据题意，AH＝AD，∴HB＝b﹣a，∵HB＝FG＝GC，∴BG＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，∴对应边成比例，分两种情况讨论：①，∴，设，分子分母同时除以，得：，解得：；②，∴，设，则：，解得：，两个答案都满足AD＜AB＜2AD，综上：平行四边形ABCD的相邻两边AD与AB的比值是或．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．20．（2023•庐阳区校级一模）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元 B．1080元 C．720元 D．2160元【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案．【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，∴面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．故选：B．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出多边形面积比是解题关键．六．相似三角形的性质（共4小题）21．（2023•南陵县校级一模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（）A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜3【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即22＝CP×4，∴CP＝1，AP＝3，∴此时，3≤AP＜4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．22．（2023•定远县二模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（）A．3 B．5 C．15 D．45【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为1：3，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，∵△ABC的周长为15，∴△DEF的周长为45．故选：D．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键．23．（2023•凤台县校级二模）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（）A． B． C． D．【分析】由条件可画图，如图所示，易得：△ADC、△ABC、△CBD均为等腰三角形，得到△ABC∽△CBD，列出比例式，解方程即可．【解答】解：如图：∵∠ABC＝∠CBD，且都为底角，∴△ABC∽△CBD，∴，即：，整理得：a2﹣ab﹣b2＝0，即：，解得或（舍去），因此．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相关知识点有：等腰三角形的性质、相似三角形对应边成比例、解一元二次方程以及整体思想，根据相似列出比例式是解题的关键．24．（2023•池州三模）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是边AC上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．​（1）判断：△ABC为钝角三角形（填“锐”“直”或“钝”）角三角形；（2）如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是3≤AP＜4．【分析】（1）由AC2+BC2＜AB2，可以判断△ABC为钝角三角形，（2）分情况讨论，由相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，即可解决问题．【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝42+22＝20，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＜AB2，∴△ABC为钝角三角形，故答案为：钝角三角形．（2）当过P（不与A、C重合）的直线与BC或AB平行时，得到两种符合题意的情况，显然此时0＜AP＜4；当过P的直线与BC不平行，与AB交于D，∴△APD∽△ABC，显然此时0＜AP≤4，当过P的直线与AB不平行，与BC交于E，∴△CPE∽△CBA，∴PC：BC＝CE：AC，设AP＝x，则PC＝4﹣x，∴（4﹣x）：2＝CE：4，∴CE＝8﹣2x，∵，∴3≤x＜4，∴AP长的取值范围是3≤AP＜4．故答案为：3≤AP＜4．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是分情况讨论，由相似三角形的对应边成比例即可求解．七．相似三角形的判定（共6小题）25．（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝135°，BC＝2；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，BC＝＝＝2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠ABC＝∠DEF．∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝∴＝＝，＝＝．∴△ABC∽△DEF．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．26．（2023•萧县一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（）A．AB2＝AD•AC B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．＝【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、若AB2＝AD•AC，则，又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故选项A不符合题意，B、若∠ADB＝∠ABC，且∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项B不符合题意，C、若∠ABD＝∠C，且∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故选项C不符合题意，D、若，无法证明△ADB∽△ABC，故选项D不符合题意，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．27．（2023•霍邱县一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：​（1）AP＝2；（2）当△QEP∽△ABP时，PQ＝5．【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由相似三角形的性质可求EQ＝2EP，∠APB＝∠APQ，由平行线的性质可证∠APB＝∠PAD＝∠APQ，可得AQ＝PQ，由等腰三角形的性质可得AE＝EP＝，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∵点P为BC的中点，∴BP＝CP＝2，∴AP＝＝＝2，故答案为：2；（2）∵△QEP∽△ABP，∴，∠APB＝∠APQ，∴EQ＝2EP，∵BC∥AD，∴∠APB＝∠PAD，∴∠PAD＝∠APQ，∴AQ＝PQ，又∵EQ⊥AP，∴AE＝EP＝，∴EQ＝2，∴PQ＝＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出AE的长是解题的关键．28．（2023•舒城县模拟）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为（，）或（11，35）．【分析】由两点坐标公式可求AC，BC，AB，由勾股定理可证∠ACB＝90°，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，过点M作EM⊥AP于E，∵抛物线y＝x2﹣x+c过点B（3，﹣1），∴﹣1＝﹣+c，∴c＝2，∴点A（0，2），抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，当y＝0时，则0＝x2﹣x+2，∴x1＝1，x2＝4，∴点C（4，0），∵点A（0，2），点C（4，0），点B（3，﹣1），∴AC＝2，BC＝，AB＝3，∵AB2+BC2＝20＝AC2，∴∠ABC＝90°，设点M（m，m2﹣m+2），∴ME＝m，AE＝m2﹣m+2﹣2＝m2﹣m，当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠PAM时，△ACB∽△PAM，∴tan∠ACB＝tan∠PAM＝＝，∴＝，∴m＝，∴点M（，），当∠AMP＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠PAM时，△ACB∽△APM，∴tan∠BAC＝tan∠PAM＝＝，∴＝，∴m＝11，∴点M（11，35），综上所述：点M坐标为（，）或（11，36）．故答案为：（，）或（11，35）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，二次函数的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．29．（2023•雨山区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．（1）FG＝；（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝或．【分析】（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，根据勾股定理得到BC＝＝10，根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝5，根据相似三角形的性质得到＝＝，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝5，∴AN⊥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵FG⊥BC，∴FG＝MN，∵AB•AC＝BC•AM，∴6×8＝10AM，∴AM＝，∵AN＝，∴FG＝MN＝﹣＝，故答案为：；（2）∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°，∴∠FGH+∠CGH＝90°，∵GH∥AB，∴∠HGC＝∠B，∵∠B+∠C＝90°，∴∠HGC+∠C＝90°，∴∠FGH＝∠C，∵GH∥AB，∴∠CHG＝∠AHG＝∠BAC＝90°，∴∠FHG＜90°，当△FGH和△ABC相似时，∴△FHG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴FH＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．30．（2023•萧县三模）如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，，且CD＝CG，连接DE交BC于点M，连接BG交CE于点N，交DE于点O，则下列结论不正确的是（）A．BG⊥DE B．当CN＝EN时，CN2＝ON•NG C．当∠BDE＝∠BCE时，△BMD∽△BNC D．当∠BCE＝60°时，【分析】说明△DCE∽△BCG，得∠CDE＝∠CBG．再利用三角形内角和定理可说明A选项正确；根据△ONE∽△CNG，得，可知B选项正确；当∠BDE＝∠BCE时，∠BMD≠∠BNC，不能判定△BMD∽△BNC，故C选项错误；过点B分别作BP⊥CE于点P，BQ⊥CG于点Q，设CD＝3m．分别表示出△BCE和△BCG的面积，即可说明D正确．【解答】解：A、∵四边形ABCD和四边形CEFG是矩形，∴∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝∠ECG+∠BCE，∴∠DCE＝∠BCG．又∵，∴△DCE∽△BCG，∴∠CDE＝∠CBG．∴∠CDE+∠DMC＝90°，∠CBG+∠BME＝90°，∴BG⊥DE，故A正确；B、∵BG⊥DE，∴∠EON＝90°，∴∠EON＝∠GCN．∵∠ONE＝∠CNG，∴△ONE∽△CNG，∴，∴NE•CN＝ON•NG．∵CN＝EN，∴CN2＝ON•NG，故B正确；C、当∠BDE＝∠BCE时，∵∠CGN≠∠CDM，∴∠BMD≠∠BNC，∴不能判定△BMD∽△BNC，故C错误；D、如图，过点B分别作BP⊥CE于点P，BQ⊥CG交GC的延长线于点Q，设CD＝3m．∵，∴．∵∠BCE＝60°，∴∠BCQ＝30°，∴，，∴，，∴，故D正确，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．八．相似三角形的判定与性质（共17小题）31．（2023•霍邱县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若，AB＝4，则的值为（）A． B． C． D．【分析】先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据CD⊥AB得出∠BCD＝∠A，继而可求得＝tan∠BCD的值．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝2，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A，则＝tan∠BCD＝tanA＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．32．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）​A． B． C． D．【分析】在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，根据DE＝DC，可得，再由AB∥CD得到△ABF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝DC，∴，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．33．（2023•宣城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点G．（1）求证：AE⊥EF；（2）若，⊙O的半径为2，求BF的长．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质推出∠ODF＝90°，根据等腰三角形的性质推出∠CAD＝∠ODA，则OD∥AE，根据平行线的性质及垂直的定义即可得解；（2）根据题意推出△OGD∽△EGA，△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODF＝90°，∵＝，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∴∠AEF＝∠ODF＝90°∴AE⊥EF；（2）解：∵∠CAD＝∠ODA，∠AGE＝∠OGD，∴△OGD∽△EGA，∴，∵∠AEF＝∠ODF，∠F＝∠F，∴△ODF∽△AEF，∴，∵AB＝2OB＝4，∴，∴BF＝2．【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟记切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．34．（2023•无为市三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，点B为的中点，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交DB的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AF＝6，DF＝10，求DE的长．【分析】（1）由点B为的中点，可得∠CDB＝∠ADB，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠CDB，又AF是⊙O的切线，AD为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ADB，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）由∠DAF＝90°，AF＝6，DF＝10，得AD＝8，由等面积法得AB＝，由勾股定理得BD＝＝，BE＝＝，即DE＝BD﹣BE＝．【解答】（1）证明：∵点B为的中点，∴＝，∴∠CDB＝∠ADB，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠CDB，∵AF是⊙O的切线，AD为⊙O的直径，∴∠DAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ADB，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）解：∵∠DAF＝90°，AF＝6，DF＝10，∴AD＝＝8，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴2S△ADF＝AD•AF＝DF•AB，∴AB＝＝，在Rt△ABD中，BD＝＝，由（1）知AE＝AF＝6，在Rt△ABE中，BE＝＝，∴DE＝BD﹣BE＝．答：DE的长为．【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理、等面积法等知识，解题的关键是掌握切线的性质及应用，熟练应用勾股定理解决问题．35．（2023•全椒县二模）如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点E恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB与DE相交于点F，求证：CE•BE＝CA•BF；（3）若∠BAC＝90°，AC＝4，且，请画出符合条件的图形，并求DE的长．【分析】（1）先证明∠DAB＝∠EAC，再证明△ABD≌△ACE（SAS），从而可得结论；（2）先证明∠C＝∠ABC，∠CAE＝∠BEF，可得△CAE∽△BEF，则，从而可得结论；（3）根据题意先画图，过点A作AM⊥BC于点M，求解，结合，可得，，证明，在Rt△AEM中，，再利用勾股定理可得答案．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）证明：∵AB＝AC，∴，∠C＝∠ABC，∵AD＝AE，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠ACB＝∠AED，∴∠CAE+∠ACE＝∠BEF+∠AEF，∴∠CAE＝∠BEF，∴△CAE∽△BEF，∴，∴CE•BE＝CA•BF；（3）解：如图即为所画，过点A作AM⊥BC于点M，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴，∵，∴，，∵AM⊥BC，AB＝AC，∴BM＝CM，∴，，在Rt△AEM中，，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝90°，∵，∴．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识解题是关键．36．（2023•庐阳区校级三模）已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，则AB+AC的最小值为（）A． B． C． D．10【分析】过点A作AM⊥BC，根据相似三角形的判定和性质得出AM＝3，作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，根据两点之间线段最短及勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，过点A作AM⊥BC，∵S正方形EFGH＝4，∴EF＝GF＝HG＝HE＝2，GH∥BC，∴△AHG∽△ACB，∴＝＝，∴＝，∵GF∥AM，∴△BGF∽△BAM，∴＝＝，∴AM＝3，作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，此时AB+AC＝AB+AD＝BD取得最小值，∴CD＝2AM＝6，∴BD＝＝6，∴AB+AC的最小值为6，故选：A．【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．37．（2023•黄山二模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB＝4，CD＝6，则OM﹣EF值为（）A． B． C． D．【分析】根据平行线的判定方法得到OM∥AB∥CD，根据相似三角形的性质得到OM＝，根据三角形中位线定理得到EF＝EG﹣FG＝1，于是得到结论．【解答】解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，∴OM∥AB∥CD，∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，∴＝，＝，∴＝，＝，∴+＝＝1，∴OM＝，∵EF⊥BC，∴EG∥AB∥CD，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴BG＝CG，∴CF＝AF，∴EG＝CD＝3，FG＝AB＝2，∴EF＝EG﹣FG＝1，∴OM﹣EF＝，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．38．（2023•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，连接DE交AC于点F，过点F作FG⊥DE交AB于点G，则下列结论正确的是（）A．AG＝GF B． C． D．【分析】根据矩形性质，点E是边AB的中点，判定△DCF∽△EAF，得到DF：FE＝DC：AE＝2，可得B不符合题意；结合等腰直角三角形性质得到AE＝EF，再根据等腰直角三角形的判定确定△EFG为等腰直角三角形，得EF＝FG，GE＝EF，求出AG可得选项A不符合题意；求出AG+FG＝EF，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出DG＝EF，可得选项C不符合题意；根据前面得出，AG＝EF，GE＝EF，求得AG＝AE，再根据AE＝DC，得出AG＝DC，由此得出结论．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，∴△DCF∽△EAF，∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合题意；∵DF＝2EF，∴EF＝DE，在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，则AE＝EF，∵FG⊥DE，∴△EFG为等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合题意；∴AG+FG＝EF+EF＝EF，在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，∴DG＝EF，∴AG+FG≠DG，故C不符合题意；∵AG＝EF，GE＝EF，∴＝＝，即AG＝AE，∵AE＝DC，∴＝＝，即AG＝DC，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查几何综合，涉及到矩形性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理求线段长、相似的性质与判定等知识点，根据题意求出各个线段，按照选项判定各个线段之间的关系是解决问题的关键39．（2023•瑶海区三模）如图，正方形ABCD和正方形BPQR有重叠部分，R点在AD上，CD与QR相交于S点，若正方形ABCD和正方形BPQR的边长分别为4和5，则阴影部分面积为（）A． B． C． D．【分析】根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根据面积公式求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，正方形BPQR的边长为5，在Rt△ABR中，AB＝4，BR＝5，由勾股定理得：AR＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝∠BRQ＝90°，∴∠ABR+∠ARB＝90°，∠ARB+∠DRS＝90°，∴∠ABR＝∠DRS，∵∠A＝∠D，∴△ABR∽△DRS，∴＝，∴＝，∴DS＝∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣S△ABR﹣S△RDS＝4×4﹣×4×3﹣××1＝故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR和△RDS的面积是解此题的关键．40．（2023•天长市校级二模）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接EF，EF⊥FG且EF＝FG．​（1）如图1，当点G在CD上时，求证：DG＝BE；（2）如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，而∠EFG＝90°，则∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，即可证明△AEF≌△DFG，得AF＝DG，AE＝DF，则BE＝AF，所以DG＝BE；（2）作GH⊥AD交AD的延长线于点H，可证明△HFG≌△ABF，则HF＝AB＝AD，HG＝AF，可推导出HD＝AF，则HG＝HD，所以∠HDG＝∠HGD＝45°，则∠MGN＝∠MDG＝45°，而∠GMN＝∠DMG，即可证明△MGN∽△MDG，得＝，所以MG2＝MN•MD．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥FG，∴∠EFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，在△AEF和△DFG中，，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AB﹣AE＝AD﹣DF，∴BE＝AF，∴DG＝BE．（2）如图2，作GH⊥AD交AD的延长线于点H，则∠H＝∠A＝90°，∵点E与点B重合，EF⊥FG且EF＝FG，∴BF⊥FG，BF＝FG，∴∠BFG＝90°，∴∠HFG＝∠ABF＝90°﹣∠AFB，在△HFG和△ABF中，，∴△HFG≌△ABF（AAS），∴HF＝AB＝AD，HG＝AF，∴HF﹣DF＝AD﹣DF，∴HD＝AF，∴HG＝HD，∴∠HDG＝∠HGD＝45°，∵∠MDH＝90°，∴∠MDG＝45°，∵∠MGN＝∠GBF＝45°，∴∠MGN＝∠MDG，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴＝，∴MG2＝MN•MD．【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解直角的关键．41．（2023•濉溪县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在边AC上．以点D为圆心，DC为半径作⊙D与AB相切于点F，已知∠CED＝∠ABC．（1）求证：BD＝ED；（2）连接AD，若AC＝6，AB＝10，求线段AE的长．【分析】（1）连接DF，根据⊙D与AB相切于点F得到DF⊥AB，结合∠C＝90°，即可得到∠DFB＝∠DCE＝90°，结合∠CED＝∠ABC，DC＝DF，得到△DFB≌△DCE（AAS），即可得到证明；（2）根据DC＝DF，AD＝AD得到Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），即可得到AC＝AF，结合AC＝6，AB＝10即可得到BF，即可得到答案；【解答】（1）证明：连接DF，∵⊙D与AB相切于点F，∴DF⊥AB，∴∠DFB＝∠DCE，又∠CED＝∠ABC，DC＝DF，∴△DFB≌△DCE（AAS），∴BD＝ED；（2）解：在Rt△ADC和Rt△ADF中，∵DC＝DF，AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC＝AF，在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝10，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，由（1）△DFB≌△DCE，∴CE＝FB＝4，∴AE＝AC﹣CE＝6﹣4＝2；【点评】本题考查圆的切线性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形全等的性质转换线段关系．42．（2023•天长市校级三模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，AC平分∠BAD，若AB＝AC＝BD，AD＝AO，求证：AB∥CD；（2）如图2，点E在AB边上，EM垂直平分AD，垂足为M；EN垂直平分BC，垂足为N，若∠BAD＝∠ABC，求证：AC＝BD；（3）如图3，E，F分别为AC，BD的中点，EF两端延长分别交BC，AD于H，G．若，△CEH，△ABE的面积分别为S1，S2，直接写出的值．​【分析】（1）先根据等腰三角形性质求出∠BAC＝∠ABO＝36°，根据角平分线的定义可知∠DAC＝∠BAC，再利用全等三角形的判定与性质得到∠ACD＝∠ABD，从而可得∠ACD＝∠BAC即可证明AB∥CD；（2）连接EC，ED，根据线段的垂直平分线得到EA＝ED，EB＝EC，再证明∠AEC＝∠DEB，再利用全等三角形的判定与性质即可解答；（3）根据全等三角形的判定与性质得到AG＝CP，BH＝DQ，再利用平行线的性质得到∠CPH＝∠DIQ，∠CHP＝∠DQG，进而得到△CHP∽△DQG，最后利用相似三角形的性质即可解得．【解答】（1）证明：设∠BAC＝∠CAD＝α，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝2α，∵AD＝AO，∴∠AOD＝∠ADO＝2α，在△AOD中，5α＝180°，∴α＝36°，∠AOD＝72°，∵∠AOD＝∠OAB+∠OBA，∴∠ABO＝36°，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，在△ACD和△ABO中，，∴△ACD≌△ABO（SAS