专题04解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点(原卷版+解析)

专题04解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】 1【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】 7【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】 17【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 22【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】 25【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】 30【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】 36【典型例题】【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝________；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落在BC边上的F处，若∠BAE=15°，则∠FDC的大小为_____．2．（2023春·八年级课时练习）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为______．3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为___________．

【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】例题：（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，在矩形中，E在边上，将沿折叠，点A恰好落在矩形的对称中心O处，若，则的长为_____．【变式训练】1．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．2．（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点是矩形的边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点恰好在边上．（1）写出图中与相等的角______；（2）若，，则折痕AE的长为______．4．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG．(1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，现进行如下折叠：（1）沿着过点B的直线折叠，使点落在BC边上，此时折痕BE的长为______；（2）沿着过点B的直线折叠，使点落在矩形内部，且恰好使点E、、C三点在同一直线上，此时折痕BE的长为______．6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）折叠后，DC的对应线段是，CF的对应线段是；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．7．（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）如图，将一张长方形纸片放在直角坐标系中，使得与x轴重合，与y轴重合，点D为边上的一点（不与点A、点B重合），且点，点．(1)如图1，折叠，使得点B的对应点落在对角线上，折痕为，求此刻点D的坐标．(2)如图2，折叠，使得点A与点C重合，折痕交与点D，交于点E，求直线的解析式．【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则_________．2．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接(1)求的度数：(2)求的长度3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．(1)求证：．(2)如图2，E为的中点，连接．①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）如图1，菱形纸片的边长为，，将菱形沿，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线上的点P（如图2）．若，则六边形的面积为______．

【变式训练】1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．2．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】例题：（2023春·天津西青·九年级校考阶段练习）如图，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，使点落在对角线上，连接，，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C．是等边三角形 D．【变式训练】1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是(

)

A． B． C． D．2．（2023春·八年级单元测试）如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形点在上．与交于点则的长是____．3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】例题：（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则AE的长为_____．【变式训练】1．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，将矩形绕点旋转，使点落在对角线上的处，延长交于点．若，，则的长为______．

2．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点.(1)求证：；(2)连接，若，求的度数．3．（2023春·福建三明·八年级统考期中）在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转，得到长方形．（1）如图1，当点落在边上时，延长交于点，求证：；（2）如图2，当时，求的值；（3）如图3，当点落在线段上时，与交于点，求的面积．【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】例题：（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，将正方形绕顶点A顺时针旋转得到正方形，与相交于点E，连接，相交于点F．(1)填空：______度；(2)求证：四边形是菱形．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．(1)求证：，．(2)若，，求的长．(3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．2．（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H．(1)如图1，当点G在上时，求证：；(2)将正方形绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线右侧时，判断的数量关系并证明；②当时，若，请直接写出线段的长．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）已知四边形和四边形均为正方形，连接，，直线与交于点．(1)如图1，当点在上时，线段和的数量关系是___________，的度数为___________.(2)如图2，将正方形绕点A旋转任意角度.①请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；②当点H在直线AD左侧时，连接AH，则存在实数m，n满足等式，直接写出___________，___________；(3)若，，则正方形AEFG绕点A旋转过程中，点F，H是否重合？若能，请直接写出此时线段BG的长，若不能，说明理由.

专题04解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】 1【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】 7【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】 17【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 22【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】 25【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】 30【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】 36【典型例题】【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝________；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．【答案】

90°

2.8【分析】（1）由折叠得∠，再根据平角的定义可得结论；（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解由折叠得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案为：90°；（2）∵四边形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵点E为AB的中点，且AB=2∴∵点A与点G重合，∴∵点B与点H重合∴又∴∴点G与点H重合∵∠∴三点在同一条直线上过点D作，交BC的延长线于点O，如图，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折叠得，，设，则∴，在中，∴解得，∴故答案为2.8【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落在BC边上的F处，若∠BAE=15°，则∠FDC的大小为_____．【答案】22.5°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AFE=75°，可得∠C，根据AF=AD，求出∠AFD，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案．【详解】解：∵菱形ABCD沿AE折叠，B落在BC边上的点F处，∴AD=AB=AF，∠AEB=90°=∠AEF，∠FAE=∠BAE=15°，∴∠B=∠AFE=75°，在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE=75°，∠C=180°-∠B=105°，∵AF=AD，∴∠ADF=∠AFD==52.5°，∴∠DFB=∠AFE+∠AFD=127.5°，∴∠FDC=∠DFB-∠B=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了菱形中的翻折问题，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．2．（2023春·八年级课时练习）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为______．【答案】##【分析】根据菱形性质和，可得，，，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：在菱形中，，，，，如图，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，如图所示：，，，，，，由翻折可知：，，，，，，解得，，在中，，，，，，，，在中，根据勾股定理，得：，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为___________．

【答案】【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答．【详解】解：过点作与的延长线交于点E，

∵四边形是菱形，∴，，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，由折叠的性质知：，在中，，∴，解得：，，即的长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】例题：（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，在矩形中，E在边上，将沿折叠，点A恰好落在矩形的对称中心O处，若，则的长为_____．【答案】【分析】连接，由O是矩形中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到，由矩形的性质得到，由勾股定理求出的长即可．【详解】解：连接，∵O是矩形中心，∴B，O，D共线，∵沿翻折到，∴，∵四边形是矩形，O是它的中心，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．【变式训练】1．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．【答案】37【分析】由折叠的性质得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性质求出，即可得出的度数．【详解】解：四边形是长方形，，由折叠的性质得：，，，，，为的中点，，，，；故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出的度数是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．【答案】或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，∴，∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设，则，在中，∵，∴解得：；②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，∴．故答案为：或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点是矩形的边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点恰好在边上．（1）写出图中与相等的角______；（2）若，，则折痕AE的长为______．【答案】

和

【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠知，由此得到，即可证明，再由平行线的性质得到，则；（2）由矩形的性质得到，由折叠知，，利用勾股定理求出，则，在中，根据勾股定理得，解得，则．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，，由折叠知，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：和；（2）∵四边形是矩形，∴，由折叠知，，∴，∴，在中，根据勾股定理，∴解得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，灵活应用所学知识是解题的关键．4．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG．(1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根据FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，从而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，即可得证；（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的长，可得DF=1，设EF=x，则CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．【详解】（1）证明：（1）∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF==8，∴DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+（6-x）2=x2，解得x=，∴CE=，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=×2=．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，现进行如下折叠：（1）沿着过点B的直线折叠，使点落在BC边上，此时折痕BE的长为______；（2）沿着过点B的直线折叠，使点落在矩形内部，且恰好使点E、、C三点在同一直线上，此时折痕BE的长为______．【答案】3【分析】（1）根据折叠的性质，可得出三角形ABE是边长为3的等腰直角三角形，根据勾股定理可求出BE的长；（2）根据三角形的面积公式可得出EC＝BC＝5，再根据勾股定理求出DE，AE，最后再根据勾股定理求出BE即可．【详解】解：（1）由折叠可得，AB＝A′B，AE＝A′E，∠ABE＝∠A′BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°＝∠BA′E，∴∠ABE＝∠A′BE＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得，，故答案为：3；（2）由折叠可得，AB＝A′B＝3，∠A＝∠BA′E＝90°，∵点E、A′、C三点在同一直线上，∴S△EBC＝BC•AB＝EC•A′B，∴EC＝BC＝5，在Rt△DCE中，由勾股定理可得，，∴AE＝AD﹣DE＝5﹣4＝1，在Rt△ABE中，，故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点．有一定的综合性．6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）折叠后，DC的对应线段是，CF的对应线段是；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．【答案】（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6【分析】（1）根据折叠的性质即可得出；（2）由折叠的性质可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°；（3）根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF=BE=10，继而可求得CF=BC﹣BF．【详解】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；故答案为：BC′，C′F．（2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；（3）∵AB=8，DE=10，∴BE=10，∴AE==6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．【点睛】本题考查了矩形折叠的性质，平行线的性质定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相关知识．7．（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）如图，将一张长方形纸片放在直角坐标系中，使得与x轴重合，与y轴重合，点D为边上的一点（不与点A、点B重合），且点，点．(1)如图1，折叠，使得点B的对应点落在对角线上，折痕为，求此刻点D的坐标．(2)如图2，折叠，使得点A与点C重合，折痕交与点D，交于点E，求直线的解析式．【答案】(1)；(2)直线的解析式为．【分析】（1）根据勾股定理求得，设，则，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理得出关于n的方程，解方程求得n的值，即可求得D的坐标；（2）设，则，根据折叠的性质，在中，利用勾股定理得出关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得作出直线的解析式．【详解】（1）解：∵点，点，∴，∴，设，则，由折叠的性质可知，，∴，由折叠的性质可知，在中，，∴，解得，∴，∴；（2）解：设，则，根据折叠的性质可知，在中，，∴，解得，∴，∴，设直线的解析式为，代入得，，解得，∴直线的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用等，求得D的坐标是解题的关键．【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，，由折叠得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则_________．【答案】67.5【分析】根据正方形的性质求出，再根据折叠的性质得，进而根据等腰三角形的性质得出答案．【详解】∵四边形为正方形，∴，，平分，∴，根据折叠可知，，∴，∴．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．2．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接(1)求的度数：(2)求的长度【答案】(1)(2)【分析】（1）根据沿折叠至，可得,，证明可得，根据对折可得，即可得出的度数；（2）令，则，，在中，勾股定理即可求解．【详解】（1）∵将沿折叠至，∴,，∵四边形是正方形，∴，在与中，，∴，∴，

由对折得，∴；（2）令，则，，∵，∴，，在中，

，

解得：．∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．(1)求证：．(2)如图2，E为的中点，连接．①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②线段的长为2【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【详解】（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，．，沿折叠得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）证明：如图2所示：沿折叠得到，为的中点，，，，，，，即，；②解：设，则，，正方形边长为6，为的中点，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，即线段的长为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）如图1，菱形纸片的边长为，，将菱形沿，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线上的点P（如图2）．若，则六边形的面积为______．

【答案】【分析】由菱形的性质可得，，，，，由折叠的性质可得，，，可证四边形是平行四边形，可得，，由面积和差关系可求解．【详解】解：如图，

∵四边形是菱形，，∴，，cm，，∴，,∴∴．∵，∴，，∵将菱形沿，折叠，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得：，

∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴六边形面积，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，求出的长是本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由正方形面积为2，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案．【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示，∵正方形面积为2，∴，由折叠的性质：，∴图中阴影部分的周长为：．故选:D．【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．2．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．【答案】30【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，由勾股定理得，CF=4，，即，解得，AD=10，∴BF=6，CF=4，图中阴影部分面积=．故答案为：30【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】例题：（2023春·天津西青·九年级校考阶段练习）如图，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，使点落在对角线上，连接，，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C．是等边三角形 D．【答案】D【分析】由菱形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，由“”可证，即可求解．【详解】解：四边形是菱形，，，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式训练】1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解．【详解】解：如图所示，延长交轴于点，

∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，∴，∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，∴，则，∴∴，在中，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2．（2023春·八年级单元测试）如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形点在上．与交于点则的长是____．【答案】【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，，由直角三角形的性质求出OB=AB=1，由直角三角形的性质得出，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE的长【详解】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，，OA=OC，AC⊥BD，∴∴∴由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，∴∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证：；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CF=，（1）中的结论不变．理由见解析．【分析】（1）延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=即CF=2FN=；（2）过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可．【详解】（1）如图１，延长EF交CD于M点，∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF∴四边形GFMD是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，∴MN=,根据勾股定理，得FN=，∵MC=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=；（2）如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，∴△AGD≌△DNC(SAS）∴AG=NC∠DNC=∠AGD∴△DGN为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG，∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN-∠DNG,∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF，∴四边形GFNC为平行四边形∴CF=GN，则GN=，∴CF=，结论（1）不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键．【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】例题：（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则AE的长为_____．【答案】【分析】根据旋转不变性得到AB′＝AB＝5，设AE＝CE＝x，在中结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴AB′＝AB＝5，∵DE＝B′E，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，∴DE＝5﹣x，∵∠D＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，即，解得：x＝，即AE的长为（也可以写作4.1），故答案为：．【点睛】本题考查了利用旋转的性质结合勾股定理求线段长．解题过程中涉及到矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握几何图形旋转不变性及勾股定理求线段长是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，将矩形绕点旋转，使点落在对角线上的处，延长交于点．若，，则的长为______．

【答案】1【分析】如图所示，连接，由矩形的性质和勾股定理得到，，，由旋转的性质得到，四边形是矩形，证明，则可得，则．【详解】解：如图所示，连接，∵在矩形中，，，∴，，，由旋转的性质可得，四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：1．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，证明，利用等面积法求出的长是解题的关键．2．（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点.(1)求证：；(2)连接，若，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据矩形的性质得出，，根据旋转的性质得出，，再证明即可；（2）根据矩形的性质得出，由全等三角形的性质得出，再计算即可得出答案．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，由旋转性质，得：，，∴，，∵在矩形中，，∴，在和中，，∴，（2）解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度数为．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出全等是解题的关键．3．（2023春·福建三明·八年级统考期中）在长方形中，，，将长方形绕点顺时针旋转，得到长方形．（1）如图1，当点落在边上时，延长交于点，求证：；（2）如图2，当时，求的值；（3）如图3，当点落在线段上时，与交于点，求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）60°：（3）.【分析】（1）只需要证明△EFM≌△ADE即可得到答案；（2）连接DG，证明△CDG≌△BAG，得到△ADG为等边三角形，从而可以得到答案；（3）连接AC，证明△ABC≌△AEC，得到∠EAC=∠BAC=∠ACD，从而得到CN=AN，再根据勾股定理计算即可得到答案．【详解】解：（1）由旋转的性质得：BC=EF，∠B=∠FEA∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠FEA=90°，BC=AD=EF∵∠FEM+∠AED=90°，∠DAE+∠AED=90°∴∠FEM=∠DAE∴△EFM≌△ADE（HL）∴EM=AE（2）如图所示，连接DG∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD∵GC=GB∴∠GCB=∠GBC∴∠DCG=∠ABG∴△CDG≌△BAG∴DG=AG由翻折的性质可得：AD=AG∴AD=AG=DG∴△ADG为等边三角形∴∠DAG=60°∴∠DAE=30°∴∠BAE=60°∴α=60°（3）如图所示，连接AC由矩形的性质和翻折的性质可得：AB=AE，∠AEF=∠B=90°∵∠AEF=∠B=90°∴∠AEC=∠B=90°又∵AB=AE∴△ABC≌△AEC（HL）∴∠EAC=∠BAC∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD∴∠EAC=∠ACD∴NC=AN设DN=x，则NC=AN=CD-DN=5-x在直角三角形AND中，∴解得∴【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】例题：（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，将正方形绕顶点A顺时针旋转得到正方形，与相交于点E，连接，相交于点F．(1)填空：______度；(2)求证：四边形是菱形．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据正方形的性质求出相关角度，再根据角度之间的关系求出即可．（2）先证出四边形是平行四边形，再连接，构造全等三角形证邻边相等即可．【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形∴∵∴∴（2）解：连接．∵四边形和四边形是正方形∴∵∴∴（方法不唯一，直接写由（1）得也可以）在正方形中，∴∴，即．同理，∴．∴四边形是平行四边形在和中∴∴∴平行四边形是菱形【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定等知识点，熟记相关性质与判定是解题关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图1，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．(1)求证：，．(2)若，，求的长．(3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)；(3)与的面积之差不变，且．【分析】（1）根据证明，得，再根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；（2）由，在中求得，从而得和的长，最后利用勾股定理即可求得结果；（3）如图3，过A作于P，过C作于Q，先证明，得，