天津市二中2024-2025学年高二数学上学期9月开学考试试题含解析

PAGE14-天津市二中2024-2025学年高二数学上学期9月开学考试试题（含解析）一､选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.)1.当时，复数在平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用的范围求出、的范围即可确定答案【详解】，，点在第四象限．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，关键是确定的正负来确定象限，属于基础题.2.已知向量，，若，则实数（）A.-1 B.1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】依据已知向量坐标，将应用坐标表示，由知，结合数量积的坐标公式求参数值【详解】∵向量，∴又∴，即，解得故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示求参数，依据向量垂直，由数量积的坐标公式列方程求参数3.在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依据正弦定理和三角形内角的范围，即可求出结果.【详解】由正弦定理可知，所以，又，所以或.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事务中，是对立事务的是（）A.至少有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；恰好有2个白球 D.至少有1个白球；都是白球【答案】A【解析】【分析】依据对立事务的定义推断．【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事务会发生，是对立事务.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事务.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事务，但不是对立事务.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事务.故选：A.5.同一平面上三个单位向量两两夹角都是，则与的夹角是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据向量的数量积，可得，，然后利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由,所以,,则所以即.设与的夹角为,则,又,所以与的夹角为.故选：D.【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属基础题.6.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设正方体的边长为，则，解得．所以其外接球的半径，则体积，故选C7.已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则【答案】C【解析】【分析】依据平面与平面的位置关系，即可推断A、C是否正确；根面面平行的判定定理，即可推断B是否正确；依据面面垂直和线面垂直的关系和线面的位置关系，即可推断D是否正确.【详解】对于A，，则，故A错误；对于B，若，且，相交，，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则或，故D错误．【点睛】本题主要考查了线面、面面位置关系以及面面平行判定定理的应用，属于基础题.8.出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事务是相互独立的,并且概率都是,则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据相互独立事务概率乘法公式，计算出所求概率.【详解】因为这位司机在第一,二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,所以未遇到红灯的概率都是,所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查相互独立事务概率计算，属于基础题.9.在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.【详解】做于H点，连接AH，因为，，又因为，，依据线面角的定义得到为所求角，在中，由等面积法得到，线面角的正弦值为：故答案为B.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．10.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】模为2，依据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面对量数量积的取值范围，涉及到的学问点有向量数量积的定义式，属于简洁题目.二､填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.已知是虚数单位，复数的共轭复数，求___________.【答案】【解析】【分析】依据复数的除法运算先求出，再依据共轭复数的关系即可求出结果.【详解】因为所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.12.在中，内角所对的边分别为，求角___________.【答案】【解析】【分析】对原式化简可得，再依据余弦定理，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.13.已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据第25百分位数是________．【答案】4.7【解析】【分析】把这组数据按从小到大的依次排列，依据第p百分位数的定义可得答案.【详解】把这组数据按从小到大的依次排列，可得：4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1共6个数据，由，所以这组数据的第25百分位数是第2项，即4.7.故答案为：4.7.【点睛】本题考查第p百分位数定义，属于基础题.14.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参与一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________｡【答案】0.030,3【解析】因为,身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为人.15.如图是棱长为的正方体的平面绽开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为________．【答案】【解析】【分析】结合正方体的平面绽开图，作出正方体的直观图，可知是正三角形，从而可知直线与所成角为，即可得到答案.【详解】作出正方体的直观图，连接，，易证三角形是正三角形，而，故直线与所成角为，则直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了异面直线的夹角的求法，属于中档题.16.如图在直角梯形中，为中点，若，则___________.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用向量坐标运算性质、向量基本定理即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨设，则．，∵，∴，∴，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了平面对量坐标运算性质、平面对量基本定理，考查了推理能与计算实力，属于基础题．三､解答题(本题共3个小题，共36分)17.已知单位向量的夹角，向量.（1）若，求的值；（2）若，求向量的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据题意，设，又不共线，依据系数关系，列出方程，即可求出的值；（2）依据题意，设向量的夹角为；由数量积的计算公式可得、以及，又由，即可求出结果．【详解】（1）依据题意，向量，若，设，则有，则有，解可得；（2）依据题意，设向量的夹角为；若，则，所以，所以，又，则，所以，又，所以，又由，所以；故向量的夹角为．【点睛】本题考查了平面对量共线定理和平面对量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．18.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）干脆利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由（1）及正弦定理即可得到答案；（3）先计算出、，进一步求出、，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（1）在中，由，，及余弦定理得，又因，所以；（2）在中，由，，及正弦定理可得；（3）由知角为锐角，由，可得，进而，，所以【点睛】本题考查了正弦定理､余弦定理及其应用，考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养.解题关键熟记有关公式，进行合理转化.19.如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连结，交于点.连结，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）由四边形是正方形，所以，又由因为底面，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；（3）由，求得，进而利用面积公式，即可求解．【详解】（1）连结，交于点.连结，因为四边形是正方形，所以为的中点，又为的中点，所以为的中位线