专题01平方根-原卷版+解析

专题01平方根【思维导图】◎考点题型1算术平方根1、算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即X²＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。2、算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作根号a，其中a是被开方数。例．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（）A．，0或1 B．1 C．或1 D．0或1变式1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期中）下列说法不正确的是（

）A．的平方根是； B．是81的算术平方根C．的平方根是； D．变式2．（2022秋·广东茂名·八年级校联考阶段练习）下列说法中，正确的个数有（

）（1）﹣64的立方根是﹣4；（2）49的算术平方根是7；（3）的平方根为；（4）的平方根是．（5）-5是25的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）下列说法正确的是（

）A．一定是非负数 B．立方根等于它本身的数是和1C．的平方根是 D．81算术平方根是◎考点题型2算术平方根的非负性算术平方根具有非负性，若干个非负性的和为0，说明每个式子均为0.例．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）已知，则的算术平方根（

）A．2 B．4 C． D．变式1．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为（

）．A．1 B． C．2018 D．变式2．（2023春·七年级单元测试）已知实数a，b满足：，则等于（

）A．65 B．64 C．63 D．62变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）若实数x、y、z满足，则的平方根是（

）A．36 B． C．6 D．◎考点题型3估计算术平方根的取值范围例．（2022秋·重庆合川·九年级校考期中）估计的运算结果应在（）A．5到6之间 B．6到7之间 C．5到7之间 D．7到8之间变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）一个正方形的面积是19，它的边长a的值（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（

）．A．小于 B．等于 C．在和之间 D．大于变式3．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（

）A．5与6之间 B．4与5之间 C．3与4之间 D．2与3之间◎考点题型4求算数平方根的整数部分和小数部分例．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．变式1．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．变式2．（2022·八年级单元测试）写出一个比大且比小的整数是____．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）的整数部分是______．小数部分是_______．◎考点题型5算术平方根的实际应用例．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（

）A．总是偶数 B．总是奇数C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数变式1．（2023春·七年级课时练习）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（

）A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋变式2．（2019春·浙江·八年级期中）如图所示长方形中，，长方形内放置两个边长都为的正方形与正方形，若两个正方形重叠部分面积为，长方形未被两个正方形盖住部分面积之和为（阴影部分的面积之和），已知：，则a的值为（

）A． B． C．3.5 D．4变式3．（2022秋·八年级课时练习）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x值为64时，输出的y值是（

）A．4 B． C．2 D．◎考点题型6平方根

1、平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。2、平方根的性质与表示：①表示：正数a的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做a的负平方根。②性质：一个正数有两个平方根：（根指数2省略）且他们互为相反数。【注意】：0有一个平方根，为0，记作负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：例．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）已知的立方根是3，的算术平方根是3，则的平方根是（

）A． B． C． D．变式1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）在下列结论中，正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是x C． D．变式2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）已知，，且，则（

）A． B．或 C．4 D．4或10变式3．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）若，且，则的值为（

）A．或 B．或10 C．4或10 D．4或◎考点题型7求代数式的平方根例．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则的平方根为（

）A．±2 B．4 C．2 D．±4变式1．（2018春·湖北荆门·七年级统考期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．变式2．（2019春·重庆巴南·七年级校考期中）若一个正数的平方根为和，则（

）A．7 B．16 C．25 D．49变式3．（2023春·七年级课时练习）下列各数中，不一定有平方根的是()A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1◎考点题型8利用平方根解方程例．（2020秋·九年级课时练习）方程x2﹣5＝0的实数解为（

）A． B． C． D．±5变式1．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知(x1)216，则x的值是（

）A．3 B．7 C．3或5 D．7或8变式2．（2015秋·陕西西安·八年级阶段练习）若x满足x2=，则x的值为（）A． B．- C．± D．±变式3．（2020秋·甘肃武威·七年级校考阶段练习）若（－1）2＝4，那么的值为（）A．27 B．3或－1 C．25或－1 D．－1或27◎考点题型9平方根的应用例．（2022秋·七年级单元测试）一个正数x，的平方根分别是3a+2与4-a,则这个正数x的值为（

）A．3 B．7 C．9 D．49变式1．（2023春·七年级课时练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536变式2．（2019春·山东临沂·七年级校联考期中）若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（

）A．3 B．1或3 C．1 D．1或-3变式3．（2019春·福建南平·七年级校考期中）已知是169的平方根，且，则的值是（

）A．11 B．±11 C．±15 D．65或专题01平方根【思维导图】◎考点题型1算术平方根1、算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即X²＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。2、算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作根号a，其中a是被开方数。例．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（）A．，0或1 B．1 C．或1 D．0或1【答案】D【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1．【详解】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1．故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，分清算术平方根的概念易与平方根的概念是解决此题关键．变式1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期中）下列说法不正确的是（

）A．的平方根是； B．是81的算术平方根C．的平方根是； D．【答案】B【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行计算即可．【详解】解：A．的平方根是，因此选项A正确，不符合题意；B．81的算术平方根是，即9是81的算术平方根，因此选项B错误，符合题意；C．的平方根是，因此选项C正确，不符合题意；D．的立方根为，因此选项D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确判断的前提．变式2．（2022秋·广东茂名·八年级校联考阶段练习）下列说法中，正确的个数有（

）（1）﹣64的立方根是﹣4；（2）49的算术平方根是7；（3）的平方根为；（4）的平方根是．（5）-5是25的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别对每小题进行分析，即可得出答案．【详解】解：（1）的立方根是，原说法正确；（2）49的算术平方根是7，原说法正确；（3）没有平方根，原说法错误；（4）的平方根是，原说法错误；（5）-5是25的平方根，原说法正确；正确的有（1）（2）（5）；故选：C．【点睛】此题考查了立方根、平方根和算术平方根，熟练掌握立方根、平方根和算术平方根的定义是解题的关键．变式3．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）下列说法正确的是（

）A．一定是非负数 B．立方根等于它本身的数是和1C．的平方根是 D．81算术平方根是【答案】A【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求解判断即可．【详解】解：A、一定是非负数，说法正确，符合题意；B、立方根等于它本身的数是，1和0，说法错误，不符合题意；C、的平方根是，说法错误，不符合题意；D、81算术平方根是9，说法错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，熟知相关定义是解题的关键．◎考点题型2算术平方根的非负性算术平方根具有非负性，若干个非负性的和为0，说明每个式子均为0.例．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）已知，则的算术平方根（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【详解】解：根据题意得：，且，解得：，则，的算术平方根是．故选：C．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．变式1．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）已知实数x，y满足，则代数式的值为（

）．A．1 B． C．2018 D．【答案】A【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性可得，从而可得，再代入计算即可得．【详解】解：，，解得，则，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、代数式求值，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．变式2．（2023春·七年级单元测试）已知实数a，b满足：，则等于（

）A．65 B．64 C．63 D．62【答案】A【分析】根据非负数的性质得的二元一次方程组，然后求出其值，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：∵实数a，b满足：，∴且，即，解方程组得：，∴；故选：A．【点睛】此题考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法、代数式的求值，熟练掌握平方式与算术平方根的非负性质、加减消元解二元一次方程组是解答此题的关键．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）若实数x、y、z满足，则的平方根是（

）A．36 B． C．6 D．【答案】B【分析】利用非负性求各未知数的值，进一步计算即可求解．【详解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，∴的平方根是，故选：B．【点睛】本题主要考查非负性的运用，平方根，能够利用非负性求出数值是解题关键．◎考点题型3估计算术平方根的取值范围例．（2022秋·重庆合川·九年级校考期中）估计的运算结果应在（）A．5到6之间 B．6到7之间 C．5到7之间 D．7到8之间【答案】B【分析】先估算的大小，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴估计的运算结果应在6到7之间，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算，正确的估算的大小是解题的关键．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）一个正方形的面积是19，它的边长a的值（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间【答案】B【分析】根据算术平方根的意义，得到边长为，估算的大小即可求解．【详解】解：∵一个正方形的面积是19，它的边长为a，∴，∵，∴，故选B．【点睛】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，估算的大小是解题的关键．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（

）．A．小于 B．等于 C．在和之间 D．大于【答案】C【分析】根据题意可得它的边长为厘米，在估算出，即可求解．【详解】解：∵正方形的面积是34平方厘米，∴它的边长为厘米，∵，∴，∴它的边长在在和之间．故选：C【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．变式3．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（

）A．5与6之间 B．4与5之间 C．3与4之间 D．2与3之间【答案】B【分析】由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为由可得的取值范围．【详解】解：设正方形的边长为a，∵正方形的面积是17，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，以及平方根的定义和估算无理数的大小，根据题意得出正方形的边长是解此题的关键．◎考点题型4求算数平方根的整数部分和小数部分例．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．【答案】35【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴的最大整数为35．故答案为：35．【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键．变式1．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．【答案】

【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．【详解】解：，，则．故答案是：3，．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．变式2．（2022·八年级单元测试）写出一个比大且比小的整数是____．【答案】2，3（写一个即可）【分析】由，可直接进行求解．【详解】解：，，比大且比小的整数是：2，3．故答案为：2，3（写一个即可）．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握一个数的算术平方根的整数部分与小数部分的求法是解题的关键．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）的整数部分是______．小数部分是_______．【答案】

3

【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为3，∴的小数部分为；故答案为3，．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．◎考点题型5算术平方根的实际应用例．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（

）A．总是偶数 B．总是奇数C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数【答案】B【分析】由题意可知，，，代入，根据非负数的算术平方根求解即可．【详解】由题意可知，，，而,则，由于是自然数，所以是奇数，故选B【点睛】本题考查了一个非负数的算术平方根，根据题意将，代入是解题的关键．变式1．（2023春·七年级课时练习）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（

）A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋【答案】A【分析】首先根据面积确定大长方形的长和宽，然后再利用长方形的面积减去两个小正方形的面积．【详解】解：两个面积分别为16和5的正方形，大正方形的边长为4，小正方形的长为，阴影部分的长方形的宽为，长为，阴影部分图形的面积和为：，故选：A．【点睛】此题主要考查了算术平方根，关键是正确理解题意，确定长方形的长和宽．变式2．（2019春·浙江·八年级期中）如图所示长方形中，，长方形内放置两个边长都为的正方形与正方形，若两个正方形重叠部分面积为，长方形未被两个正方形盖住部分面积之和为（阴影部分的面积之和），已知：，则a的值为（

）A． B． C．3.5 D．4【答案】A【分析】求出四边形ABCD和四边形AEFG以及四边形CHIJ的面积，再根据S乙=SABCD-SAEFG-SCHIJ+S甲，得出方程，即可求出a值．【详解】解：∵AB=4cm，BC=6cm，∴四边形ABCD的面积为4×6=24cm2，∵四边形AEFG和四边形CHIJ的面积都为a2，∴S乙=SABCD-SAEFG-SCHIJ+S甲，即S乙=24-a2-a2+S甲∵S甲=S乙，∴S甲=24-a2-a2+S甲，解得：a=（负值已舍去），故选A．【点睛】本题考查了算术平方根，图形的面积，解题的关键是掌握阴影部分的面积之和的表示方法．变式3．（2022秋·八年级课时练习）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x值为64时，输出的y值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】依据运算程序进行计算即可．【详解】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．故选：B．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．◎考点题型6平方根

1、平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。2、平方根的性质与表示：①表示：正数a的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做a的负平方根。②性质：一个正数有两个平方根：（根指数2省略）且他们互为相反数。【注意】：0有一个平方根，为0，记作负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：例．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）已知的立方根是3，的算术平方根是3，则的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据立方根和算术平方根的定义，求出的值，再求出的平方根即可．【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是3，∴，∴，∴的平方根是；故选A．【点睛】本题考查平方根和立方根．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．变式1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）在下列结论中，正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是x C． D．【答案】C【分析】根据开方运算，逐一进行判断即可．【详解】解：A、的平方根是，选项错误，不符合题意；B、的算术平方根是，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查开方运算．熟练掌握正数的平方根有两个，算术平方根是非负数，立方根只有一个，符号与被开方数的符号相同，是解题的关键．注意，含根号的要先化简．变式2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）已知，，且，则（

）A． B．或 C．4 D．4或10【答案】B【分析】首先根据平方根和绝对值的定义可知，，再结合可得，进而求出的值即可获得答案．【详解】解：∵，，∴，，又∵，∴，∴或，当时，，当时，．故选：B．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及平方根、绝对值的知识，解题关键是根据得出，进而确定的值．变式3．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）若，且，则的值为（

）A．或 B．或10 C．4或10 D．4或【答案】A【分析】由平方根和绝对值的定义可求出x和y的值，再根据，舍去不合题意的x和y的值，最后代入中求值即可．【详解】∵，∴．∵，∴．∴当时，；当时，．综上可知的值为或．故选A．【点睛】本题考查平方根，绝对值，有理数的大小比较、代数式求值．依据平方根，绝对值的定义结合有理数的大小比较得出两组x、y的值是解题关键．◎考点题型7求代数式的平方根例．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则的平方根为（

）A．±2 B．4 C．2 D．±4【答案】D【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；【详解】∵，∴，解得，∴，∴；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．变式1．（2018春·湖北荆门·七年级统考期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．【答案】D【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案．【详解】由题意得：这个自然数a为：，∴,故的平方根用m表示为：，故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.变式2．（2019春·重庆巴南·七年级校考期中）若一个正数的平方根为和，则（

）A．7 B．16 C．25 D．49【答案】D【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值．【详解】∵一个正数x的平方根为和，∴（）+（）=0，解得：a=7.∴=7，=-7，∴x=(±7)

=49.故选D.【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值.变式3．（2023春·七年级课时练习）下列各数中，不一定有平方根的是()A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1【答案】D【分析】根据平方根的性质解答即可.【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；C、>0，∴该数有平方根；D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；故选：D.【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.◎考点题型8利用平方根解方程例．（2020秋·九年级课时练习）方程x2﹣5＝0的实数解为（

）A． B． C． D．±5【答案】C【分析】利用直接开平方法求解可得．【详解】解：∵x2﹣5＝0，∴x2＝5，则x＝，故选：C．【点睛】本题考查解方程，熟练掌握计算法则是解题关键.变式1．（2022秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）已知(x1)216，则x的值是（

）A．3 B．7 C．3或5 D．7或8【答案】C【分析】先依据平方根的性质得到x+1=±4，求解即可．【详解】根据题意得x+1=±4，x=-1±4，得x=3或-5．故选C．【点