第4章三角形证明 题型解读3 三角形“三线”题型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

《三角形证明》题型解读3：三角形“三线”题型【知识梳理】1.角平分线（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心）2.中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点（重心）（3）三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形3.高线（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）（3）锐角三角形的三条高在三角形内部，且相交于一点；直角三角形一条是斜边上的高，另两条高就是两直角边；钝角三角形，有一条高在三角形内部，其余两条高是界外高。注意：识别或画三角形的高时，一定要清楚三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，再看是哪条边上的高，是界内高还是界外高。（3）等底等高的两个三角形的面积相等。（4）利用“等面积法”求高的长度.【典型例题】例1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=70º，∠C=40º，则∠ADC=____【解析】：利用角平分线的确定义及三角形内角和定理、外角定理即可求解。【解题过程】：∵∠B=70º，∠C=40º，∴∠BAC=180º-70º-40º=70º，∵AD是角平分线，∴∠BAD=70º÷2=35º，在△ABD中，利用外角定理可得：∠ADC=∠B+∠BAD=70º+35º=105º.例2.(1)如图1，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点P，试探究∠BPC与∠A的关系？(2)如图2，在△ABC中，BP是∠ABC的平分线，CP是ΔABC的外角∠ACD的平分线，试探究：∠BPC与∠A的关系？(3)如图3，在△ABC中，BP，CP分别是ΔABC的两个外角的平分线，试猜测：∠BPC与∠A的关系，并直接写出你的结论.【解析】初中几何题中求角与角的关系，总体有两种思路方向：①直接由几何性质或定理得出；②通过等量代换或等式性质转化得出；此题是第②种思路方向，解决这种思路方向的题，一般是固定一个角，把另一个角的图形位置，通过几何性质定理，逐渐拉近与固定角的图形位置，当这两个角的图形位置靠得越近时，它们的关系基本就能找出来。此题中的（1）、（2）小题的证明，我们可以任选一个角固定，如固定∠P的位置，把∠A的图形位置，通过角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角定理，往∠P的图形位置“靠”，当两个角“拉到同一个三角形时”，它们间的关系可就找出来了。【解题过程】（1）在△ABC中，由三角形内角和定理可得：∠A=180º-（∠ABC+∠ACB)，∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠A=180º-2（∠PBC+∠PCB)，在△ABC中，∵∠PBC+∠PCB=180º-∠P，∴∠A=180º-2(180º-∠P)=2∠P-180º，即∠P=90º+1/2∠A.（2）在△ABC中，由外角定理可得：∠A=∠ACD-∠ABC，∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线，∴∠A=2（∠PCD-∠PBC)，在△PBC中，由外角定理可得：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∴∠A=2(∠P+∠PBC-∠PBC)=2∠P，即∠P=1/2∠A.(3)∠P=90º-1/2∠A.理由是：在△ABC中，由三角形内角和定理可得：∠A=180º-（∠ABC+∠ACB)=180º-[(180º-∠EBC)+(180º-∠FBC)]，∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的角平分线，∴∠A=180º-[(180º-2∠PBC)+(180º-2∠PCB)]=2(∠PBC+∠PCB)-180º，在△ABC中，∵∠PBC+∠PCB=180º-∠P，∴∠A=2(180º-∠P)-180º=180º-2∠P，即∠P=90º-1/2∠A.例3.如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∠CAB=90º,试求：(1)△ABE的面积是_______；(2)△ACE和△ABE的周长差是______.【解析】（1）由AE是中线，可得BE的长，欲求△ABE的面积，需先求AD的长，由“等面积法”可求出AD的长；（2）分别把△ACE和△ABE的周长表示出来，由于BE=EC、AE=AE，故知△ACE和△ABE的周长差，其实质就是线段AC与AB的差，由题已知条件即可求解；【解题过程】（1）∵∠CAB=90º,AD是△ABC的高，∴△ABC的面积=AC×AC÷2=BC×CD÷2，∴AC×AB=BC×CD，∵AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∴8×6=10×CD，∴CD=4.8cm，∵AE是中线，∴BE=BC÷2=5cm,∴△ABE的面积=BE×AD÷2=5×4.8÷2=12cm.（2）∵△ACE的周长=AC+AE+EC,△ABE的周长=AB+BE+AE，又∵BE=EC，∴△ACE和△ABE的周长差=AC-AB=8-6=2cm.例4.如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，连接DE、EF，则△ABC和△DEF的面积比是______.【解析】由“等底等高面积相等”可得：S△EFC=S△EFD,S△ADE=S△CDE,S△ABD=S△ACD,即可求出△ABC和△DEF的面积比.【解题过程】∵F是DC的中点，∴S△EFC=S△EFD,∵E是AC的中点，∴S△ADE=S△CDE,∵D是BC的中点，∴S△ABD=S△ACD,∴S△ABC=S△DEF×8,∴S△ABC:S△DEF=8:1.例5.在△ABC中，将AB延长一倍到D，BC延长两倍到E，CA延长三倍到F，连接DEF，若△ABC的面积为1，求△DEF的面积.【解析】依“高相等时，两个三角形的面积比会等于各自的底边之比”即可解题。【解题过程】连接FB，∵AF=3AC,S∆∴S∆∵AD=2AB，∴S∆连接DC，∵BD=AB,∴S∆∵BE=3BC，∴S∆连接DC，∵CE=2BC,∴S∆∵CF=4AC，∴S∆∴S例7.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）解析：依高的概念可解答，选B例8.如图，△ACB中，∠ACB=90º，∠1=∠B.（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长.【解析】（1）欲证CD是高，只需证∠CDB=90º，利用∠1=∠B、∠ACB=90º及等量代换即可求解；（2）用等面积法求解CD的长。【解题过程】（1）∵∠ACB=90º，∴∠1+∠DCB=90º，∵∠