专题18平行线的性质-原卷版+解析

专题03平行线的性质【思维导图】◎考点题型1平行线的性质:定理1：两直线平行，同位角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）例．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，直线，，，则（）A． B． C． D．变式1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，交于E，则的度数为（

）A． B． C． D．变式2．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）如图，若ab，cd，则图中与∠1互补的角有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个变式3．（2023春·七年级课时练习）如图，直线ABCD，BC平分∠ABD．若∠1=54°，则∠2=（

）A．72° B．62° C．52° D．75°◎考点题型2平行线的性质:定理2：两直线平行，内错角相等．∵a∥b，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）例．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠1，且∠1＋∠2＝180°。则下列结论：①CEBF；②∠A＝∠D；③ABCD；④∠C＝∠B，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为(

)．A． B． C． D．变式2．（2022·北京门头沟·统考一模）如图，．点在直线上，点在直线上，过点作于，如果，那么的大小为（

）A． B． C． D．变式3．（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（

）A．38° B．45° C．58° D．60°◎考点题型3平行线的性质:定理3：两直线平行，同旁内角互补．∵a∥b，∴∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）【注】平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．例．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（

）A．∠1＋∠3＝90° B．∠2＋∠3＝90°C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＝∠2变式1．（2022春·四川泸州·七年级统考期末）如图，，，则当时，的度数是（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．变式3．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，，若，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．◎考点题型4根据性质求角之间的关系例．（2023春·七年级课时练习）如图，AD⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（

）A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．不能确定变式1．（2023春·七年级课时练习）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（

）A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°变式2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E=∠A+∠C;③如图3，ABCD，则∠A+∠E－∠1=180°；④如图4，ABCD，则∠A=∠C+∠P．以上结论正确的个数是(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3．（2022春·贵州毕节·七年级统考期中）如图，已知，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，于G，过点G作，则以下结论：①；②；③．其中正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个◎考点题型5根据性质求角度例．（2023春·七年级课时练习）如图，∠BAC=40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°变式1．（2022春·甘肃金昌·八年级校考期中）已知□ABCD中，若∠A＝70°，则∠B，∠C的度数分别为（

）A．110°，70° B．70°，110° C．100°，80° D．70°，20°变式2．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（

）A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°变式3．（2020秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如果两个角的两边分别平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别是（

）A．48°，72°或80°，120° B．48°，72°或72°，108° C．72°，108° D．80°，120°◎考点题型6平行线在生活中的应用例．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°变式1．（2023春·七年级课时练习）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°变式2．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（）．A． B． C． D．变式3．（2020·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市实验学校校考二模）将一副三角板和一张对边平行的纸条（a∥b）按如图摆放，则∠1的度数是（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°◎考点题型7根据判定和性质求角度例．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A． B． C． D变式1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，若，则（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·七年级单元测试）如图，，设，，正确的选项是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则变式3．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）一副三角尺如图所示摆放，∠α的大小为（

）度A．90 B．100 C．105 D．120◎考点题型8根据判定和性质证明例．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：（已知），，（①____________）平分，∴②____________．（角平分线的定义）．（③____________）（已知），∴④____________．（⑤__________）．（两直线平行，同位角相等）．（等量代换）变式1．（2023春·七年级单元测试）如图，已知．(1)求证：；(2)若平分，于点A，，求的度数．变式2．（2022秋·宁夏银川·八年级校考期末）如图，已知，，，判断直线，的位置关系，并说明理由．变式3．（2022春·甘肃兰州·七年级统考期末）如图，已知：，说明为什么与相等．解：因为（已知），所以（

），所以___________（两直线平行，内错角相等），因为（已知），（

），所以（

），所以___________（

），所以___________（两直线平行，同位角相等），所以（等量代换）．◎考点题型9平移平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离平移的性质（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。例．（2023春·七年级单元测试）冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（

）A． B． C． D．变式1．（2022春·安徽蚌埠·七年级统考期末）用四根火柴棒可摆成如图所示的象形字“口”，平移此象形字火柴棒后，变成的象形字是（

）A． B． C． D．变式2．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，，沿方向平移至，若，．四边形的周长为（

）A．14 B．16 C．18 D．20变式3．（2023春·七年级课时练习）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（）①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④四边形DHCF的面积为32.5．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个◎考点题型10平移作图例．（2023春·七年级课时练习）如图所示，下列关于△ABC与△A′B′C′的说法不正确的是（）A．将△ABC先向右平移4格，再向上平移1格后可得到△A′B′C′B．将△ABC先向上平移1格，再向右平移4格后可得到△A′B′C′C．将△A′B′C′先向下平移1格，再向左平移4格后可得到△ABCD．将△A′B′C′向左平移6格后就可得到△ABC变式1．（2014秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，1），B（-1，-2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A/B/，设点为线段A/B/上任意一点，则满足的条件为（）A．，B．，C．，D．，变式2．（2013春·吉林白城·九年级阶段练习）已知：如图的顶点坐标分别为A（-4，-3）B（0，-3）C（-2,1），如将B点向右平移2个单位再向上平移4个单位到达B1点，若设的面积为，的面积为，则，的大小关系为（）A．> B．= C．< D．不能确定变式3．（2018秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点C的坐标是（﹣1，1），先把△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于轴对称的△A2B2C2，则点C的对应点C2的坐标是（）A．（4，1） B．（4，-1） C．（﹣6，1） D．（-6，-1）专题03平行线的性质【思维导图】◎考点题型1平行线的性质:定理1：两直线平行，同位角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）例．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，直线，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由的度数求出的度数，再由对顶角相等，由的度数求出的度数，利用三角形的内角和定理即可求出的度数．【详解】解：∵，∴，又∵，∴．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记相关知识点（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）．变式1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，交于E，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，根据平行线的性质得到，根据平角的意义即可求出答案．【详解】解：，，，，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角的意义，解题的关键是求出的度数．变式2．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）如图，若ab，cd，则图中与∠1互补的角有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据平行线的性质，利用两直线平行同位角相等，再根据补角定义结合图形即可得到与∠1互补的角有4个．【详解】解：如图所示：，，，，，由图及补角定义可知，；；；，；；；，即图中与∠1互补的角有4个，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质及补角定义，熟练掌握两直线平行同位角相等是解决问题的关键．变式3．（2023春·七年级课时练习）如图，直线ABCD，BC平分∠ABD．若∠1=54°，则∠2=（

）A．72° B．62° C．52° D．75°【答案】A【分析】利用ABCD，内错角相等得∠CBA=∠1=54°，由角平分线的定义得∠ABC=∠CBD=54°，则∠2=∠CDB=180°−∠ABC−∠CBD=72°．【详解】解：∵ABCD，∴∠CBA=∠1=54°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠CBD=54°，∴∠CDB=180°−∠ABC−∠CBD=72°，∵∠2=∠CDB，∴∠2=72°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质求出∠ABC=∠CBD=54°是解题的关键．◎考点题型2平行线的性质:定理2：两直线平行，内错角相等．∵a∥b，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）例．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠1，且∠1＋∠2＝180°。则下列结论：①CEBF；②∠A＝∠D；③ABCD；④∠C＝∠B，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据邻补角互补和平行线的判定可得，欲证明，只需推知即可；由平行四边形的判定与性质可知．【详解】证明：∵∠1＋∠2＝180°，又∵∠CGD＋∠2＝180°，∴∠CGD＝∠1，∴，故①正确；∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠1=∠DGC，又∵∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，故②正确；∴，故③正确；∵，∴，∵，∴，∴，故④正确．综上分析可知，正确的结论有4个，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握平行的判定和性质，找出相应的同位角、内错角和同旁内角．变式1．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，一只电子猫从点出发，沿北偏东方向走了到达点，再从点向南偏西方向走了到达点，那么的度数为(

)．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，判断出，再根据，求出．【详解】解：如图：，，，，故选A．【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质、角的加减等知识点，熟悉方向角的定义及角的加减是解答本题的关键．变式2．（2022·北京门头沟·统考一模）如图，．点在直线上，点在直线上，过点作于，如果，那么的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用平角定义求出∠GEA的度数，再根据直角定义求出∠AEF度数，根据平行线性质得到∠EFD的度数【详解】∵∠GEB=120°，∴∠GEA=180°-∠GEB=60°，∵GE⊥EF，∴∠GEF=90°，∴∠AEF=30°，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠AEF=30°故选D【点睛】本题考查了平行线，余角，邻补角，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质，余角与补角的定义变式3．（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（

）A．38° B．45° C．58° D．60°【答案】A【分析】过点作，根据平行线的性质求得，进而根据即可求解【详解】如图，过点作，则∠BAC＝30°故选A【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．◎考点题型3平行线的性质:定理3：两直线平行，同旁内角互补．∵a∥b，∴∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）例．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（

）A．∠1＋∠3＝90° B．∠2＋∠3＝90°C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＝∠2【答案】C【分析】根据平行线的性质定理求解．【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1=∠2，∴选项D不符合题意；∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴选项A不符合题意；∴∠2+∠3=90°，∴选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4=180°，但∠3≠∠2∴∠2+∠4≠180°选项C不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．变式1．（2022春·四川泸州·七年级统考期末）如图，，，则当时，的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据和得到，再根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查利用平行线的性质求角度，涉及到垂直的定义、余角定义等知识点，熟练掌握两直线平行同旁内角互补是解决问题的关键．变式2．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期末）直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对顶角相等得∠DFE=55°，然后利用平行线的性质，得到∠BEF=125°，即可求出的度数．【详解】解：由题意，根据对顶角相等，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的求出．变式3．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，，若，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质进行求解即可得到答案.【详解】解：∵BE∥CD∴∠2+∠C=180°，∠3+∠D=180°∵∠2=50°，∠3=120°∴∠C=130°，∠D=60°又∵BE∥AF，∠1=40°∴∠A=180°-∠1=140°，∠F=∠3=120°故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.【注】平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．◎考点题型4根据性质求角之间的关系例．（2023春·七年级课时练习）如图，AD⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（

）A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．不能确定【答案】A【分析】先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据余角的定义即可得．【详解】解：，，，，，则与的关系是互为余角，故选：A．【点睛】本题考查了垂直、平行线的性质、余角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．变式1．（2023春·七年级课时练习）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（

）A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180°【答案】C【分析】过E作EFABCD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解】解：过点E作EFAB，∴∠α+∠AEF=180°，∵ABCD，∴EFCD，∴∠FEC=∠ECD，∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，∴∠α+∠β-∠γ=180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．变式2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E=∠A+∠C;③如图3，ABCD，则∠A+∠E－∠1=180°；④如图4，ABCD，则∠A=∠C+∠P．以上结论正确的个数是(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】解：①过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；②过点E作直线，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；③过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P作直线，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．变式3．（2022春·贵州毕节·七年级统考期中）如图，已知，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，于G，过点G作，则以下结论：①；②；③．其中正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】由平行公理的推论可求，利用平行线的性质和垂线的定义依次判断可求解．【详解】解：∵，∴，故①正确；∵，∴∠BMN=∠MGP，∠PGH=∠GHN，∵HG⊥EF，∴∠MGP+∠PGH=90°，∴∠BMN+∠GHN=90°，故②正确；∵，∴∠PGM=∠GNH，∵∠GNH=∠DNF，∴∠PGM=∠DNF，故③正确；故选D．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角、内错角相等是解答此题的关键．◎考点题型5根据性质求角度例．（2023春·七年级课时练习）如图，∠BAC=40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质结合即可求解.【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=40°，∴∠CAD==20°，∵BD∥AC，∴∠D=∠CAD=20°.故选：A【点睛】此题考查角平分线的定义和平行线的性质，掌握相应的性质是解答此题的关键.变式1．（2022春·甘肃金昌·八年级校考期中）已知□ABCD中，若∠A＝70°，则∠B，∠C的度数分别为（

）A．110°，70° B．70°，110° C．100°，80° D．70°，20°【答案】A【分析】依据平行四边形的性质，相邻的角度数和是180度，相对的角相等，即可解决.【详解】由分析可知，；；∴∠B的度数是110°，∠C的度数是70°．故选A．【点睛】解决本题的关键是理解平行四边形的性质，相邻的角度数和是180度，相对的角相等．变式2．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）∠1与∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的4倍少30°，则∠1的度数为（

）A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°【答案】D【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠1表示∠2，然后列方程求解．【详解】解：∵∠1与∠2的两边分别平行∴或又∵∠1比∠2的4倍少30°或解得：或故选：D【点睛】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补．变式3．（2020秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如果两个角的两边分别平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别是（

）A．48°，72°或80°，120° B．48°，72°或72°，108° C．72°，108° D．80°，120°【答案】C【分析】根据题意可得这两个角互补，设其中一个角为x，则另一个角为(180°−x)，由两个角之间的数量关系列出一元一次方程，求解即可得．【详解】解：∵两个角的两边分别互相平行，∴这两个角可能相等或者两个角互补，∵一个角的等于另一个角的，∴这两个角互补．设其中一个角为x，则另一个角为(180°−x)，根据题意可得：x=(180°−x)，解得：x=72°，则另一个角为180°−x=108°，故选C．【点睛】本题考查平行线的性质、角的数量关系、一元一次方程的应用等知识．理解题意，列出方程是解题关键．◎考点题型6平行线在生活中的应用例．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【答案】B【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．【详解】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1＝∠2．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质．注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．变式1．（2023春·七年级课时练习）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（

）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（图a），∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．变式2．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．【详解】∵王村沿北偏东方向到李村∴∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村∴∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为故选：B．【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．变式3．（2020·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市实验学校校考二模）将一副三角板和一张对边平行的纸条（a∥b）按如图摆放，则∠1的度数是（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【答案】A【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠4＝30°，∴∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，掌握平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．◎考点题型7根据判定和性质求角度例．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A． B． C． D【答案】B【分析】首先过点C作，过点D作，由，即可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【详解】解：过点C作，过点D作，∵，∴，∴，∵，，由①②得：．即故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．变式1．（2023春·七年级课时练习）如图，已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可判定，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数．【详解】解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．故选：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．变式2．（2023春·七年级单元测试）如图，，设，，正确的选项是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可．【详解】解：如图：的顶点分别为，延长交直线与点，当，则，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；A、无法求出∠2的度数，选项错误，不符合题意；B、无法求出∠3的度数，选项错误，不符合题意；C、，，选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．变式3．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）一副三角尺如图所示摆放，∠α的大小为（

）度A．90 B．100 C．105 D．120【答案】C【分析】过点G作，根据直角三角形的性质分别求出∠A、∠E，由题意证明，易得，再根据平行线的性质计算，得到答案．【详解】解：如图，过点G作，由题易得：∠E＝90°−45°＝45°，∠A＝90°−30°＝60°，，∵∠F=∠FIB=90°，∴，∵∴∴∠EGH=∠E=45°，∠AGH=∠A=60°，∴∠α＝45°＋60°＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、直角三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．◎考点题型8根据判定和性质证明例．（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：（已知），，（①____________）平分，∴②____________．（角平分线的定义）．（③____________）（已知），∴④____________．（⑤__________）．（两直线平行，同位角相等）．（等量代换）【答案】①两直线平行，内错角相等；②；③等量代换；④；⑤同旁内角互补，两直线平行【分析】先根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，然后根据等量代换即可得．【详解】证明：（已知），，（两直线平行，内错角相等）平分，．（角平分线的定义）．（等量代换）（已知），．（同旁内角互补，两直线平行）．（两直线平行，同位角相等）．（等量代换）故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③等量代换；④；⑤同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．变式1．（2023春·七年级单元测试）如图，已知．(1)求证：；(2)若平分，于点A，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由，得出，再根据平行线的性质即可求出，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵于E，∴，由（1）知，∴，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．变式2．（2022秋·宁夏银川·八年级校考期末）如图，已知，，，判断直线，的位置关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【分析】根据垂直的定义，由，，得，．那么．又因为，所以，那么．根据平行线的性质，得．【详解】，理由如下：，，，．．又，．．∴．【点睛】本题主要考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握垂直的定义、平行线的判定是解决本题的关键．变式3．（2022春·甘肃兰州·七年级统考期末）如图，已知：，说明为什么与相等．解：因为（已知），所以（

），所以___________（两直线平行，内错角相等），因为（已知），（

），所以（

），所以___________（

），所以___________（两直线平行，同位角相等），所以（等量代换）．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质定理与判定定理，对顶角相等等知识解答即可求解．【详解】解：因为（已知），所以（内错角相等，两直线平行），所以（两直线平行，内错角相等），因为（已知），（对顶角相等），所以（等量代换），所以（同位角相等，两直线平行），所以（两直线平行，同位角相等），所以（等量代换）．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等等知识，熟知相关定理并结合图形灵活应用是解题关键．◎考点题型9平移平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离平移的性质（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。例．（2023春·七年级单元测试）冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平移后的对应点移动的距离都相等（即对应点的连线平行或在同一直线上且相等）判定．【详解】∵B图案上的每个点都移动了相同的方向，相等的距离，∴冰墩墩通过平移后得到的图案是B：故选B．【点睛】本题主要考查了平移，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质特征．变式1．（2022春·安徽蚌埠·七年级统考期末）用四根火柴棒可摆成如图所示的象形字“口”，平移此象形字火柴棒后，变成的象形字是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平移的性质，结合图形，采用排除法判断正确结果．【详解】解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合．故选：C．【点睛】本题利用了平移的基本性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置．变式2．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，，沿方向平移至，若，．四边形的周长为（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】根据平移的性质可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，然后根据AE、BD的长度求得AD＝BE＝CF＝3cm，即可求得四边形的周长．【详解】解：∵ABC沿AB方向向右平移得到DEF，∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，∵，，，∴四边形的周长，故选：C．【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，熟练掌握平移的性质是解题的关键．变式3．（2023春·七年级课时练习）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直