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PAGE23-东北三省四市教研联合体2025届高三数学模拟考试试题理(含解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由已知得到,再与A求交集即可.【详解】由已知,,故.故选:B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本计算实力,是一道基础题.2.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘分母共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生运算实力,是一道简单题.3.2024年某校迎国庆70周年歌咏竞赛中,甲乙两个合唱队每场竞赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.12【答案】D【解析】【分析】中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【点睛】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的学问,是一道简单题.4.的绽开式中的系数为()A.5 B.10 C.20 D.30【答案】C【解析】【分析】由知,绽开式中项有两项,一项是中的项,另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知,,因为绽开式的通项为,所以绽开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查求二项式定理绽开式中的特定项,解决这类问题要留意通项公式应写精确,本题是一道基础题.5.《算数书》竹简于上世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解实力、创新实力.6.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()A.56 B.72 C.88 D.40【答案】B【解析】【分析】,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道简单题.7.下列说法正确的是()A.命题“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,满意,则C.随机变量听从正态分布(),若,则D.设是实数,“”是“”的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题可推断选项A;可能相交,可推断B选项;利用正态分布的性质可推断选项C;或,利用集合间的包含关系可推断选项D.【详解】命题“,”的否定形式是“,”,故A错误;,,则可能相交,故B错误;若,则,所以,故,所以C错误;由,得或,故“”是“”的充分不必要条件,D正确.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假推断,涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等,是一道简单题.8.已知双曲线:(,)的右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.【详解】由已知,,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,所以圆心M到渐近线距离为,故,所以离心率为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算实力,是一道简单题.9.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的随意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用协助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、协助角公式等学问,是一道简单题.10.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则在方程表示双曲线的条件下,方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设事务A为“方程表示双曲线”,事务B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”,分别计算出,再利用公式计算即可.【详解】设事务A为“方程表示双曲线”,事务B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”,由题意,,,则所求的概率为.故选:A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题,涉及到双曲线的定义,是一道简单题.11.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令,则,由图象分析可知在上有两个不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令,则,如图与顶多只有3个不同交点,要使关于的方程有六个不相等的实数根,则有两个不同的根,设由根的分布可知,,解得.故选:B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中档题.12.已知定义在上的函数满意,且当时,.设在上的最大值为(),且数列的前项的和为.若对于随意正整数不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知先求出,即,进一步可得,再将所求问题转化为对于随意正整数恒成立,设,只需找到数列的最大值即可.【详解】当时,则,,所以,,明显当时,,故,,若对于随意正整数不等式恒成立,即对于随意正整数恒成立,即对于任意正整数恒成立,设,,令,解得,令,解得,考虑到,故有当时,单调递增,当时,有单调递减,故数列的最大值为,所以.故选:C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的推断等学问,是一道较为综合的数列题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若曲线(其中常数)在点处的切线的斜率为1,则________.【答案】【解析】分析】利用导数的几何意义,由解方程即可.【详解】由已知,,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的基本运算实力,是一道基础题.14.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.【答案】【解析】【分析】留意平移是针对自变量x,所以,再利用整体换元法求值域(最值)即可.【详解】由已知,,,又,故,,所以的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题,涉及到图象的平移变换、协助角公式的应用,是一道基础题.15.如图所示,在边长为4的正方形纸片中,与相交于.剪去,将剩余部分沿,折叠,使、重合,则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为________.【答案】【解析】【分析】将三棱锥置入正方体中,利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知,将三棱锥置入正方体中,如图所示,,故正方体体对角线长为,所以外接球半径为,其体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积问题,一般在处理特别几何体的外接球问题时,要考虑是否能将其置入正(长)方体中,是一道中档题.16.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是________.【答案】【解析】分析】利用公式计算出,其中为的周长,为内切圆半径,再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知,,,,设内切圆的圆心为,半径为,则,故有,解得,由,或(舍),所以的内切圆方程为.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题,涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等学问,考查学生的运算实力,是一道中档题.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必需作答.第22~23题为选考题,考生依据要求作答.17.在中,为边上一点,,.(1)求;(2)若,,求.【答案】(1);(2)4【解析】【分析】(1),利用两角差的正弦公式计算即可;(2)设,在中,用正弦定理将用x表示,在中用一次余弦定理即可解决.【详解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴设,,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查学生的运算求解实力,是一道简单题.18.某大型单位实行了一次全体员工都参与的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成果为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成果“优秀”的概率;(2)依据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并依据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计全部员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②若从全部员工中任选3人,记表示抽到的员工成果为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)①82,②分布列见解析,【解析】【分析】(1)从20人中任取3人共有种结果,恰有1人成果“优秀”共有种结果,利用古典概型的概率计算公式计算即可;(2)①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和;②要留意听从的是二项分布,不是超几何分布,利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】(1)设从20人中任取3人恰有1人成果“优秀”为事务,则,所以,恰有1人“优秀”的概率为.(2)组别分组频数频率120.01260.03380.04440.02①,估计全部员工的平均分为82②的可能取值为0、1、2、3,随机选取1人是“优秀”的概率为,∴;;;;∴的分布列为0123∵,∴数学期望.【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题,涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等学问,是一道简单题.19.已知抛物线:的焦点为,过上一点()作两条倾斜角互补的直线分别与交于,两点,(1)证明:直线的斜率是-1;(2)若,,成等比数列,求直线的方程.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)设,,由已知,得,代入中即可;(2)利用抛物线的定义将转化为,再利用韦达定理计算.【详解】(1)在抛物线上,∴,设,,由题可知,,∴,∴,∴,∴,∴(2)由(1)问可设::,则,,,∴,∴,即(*),将直线与抛物线联立,可得:,所以,代入(*)式,可得满意,∴:.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,在处理直线与抛物线位置关系的问题时,通常要涉及韦达定理来求解,本题查学生的运算求解实力,是一道中档题.20.如图,在直角中,,通过以直线为轴顺时针旋转得到().点为斜边上一点.点为线段上一点,且.(1)证明:平面;(2)当直线与平面所成的角取最大值时,求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)先算出的长度,利用勾股定理证明,再由已知可得,利用线面垂直的判定定理即可证明;(2)由(1)可得为直线与平面所成的角,要使其最大,则应最小,可得为中点,然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,进一步得到正弦值.【详解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由题意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以为坐标原点,以,,的方向为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴与平面所成的角是,∴最大时,即,点为中点.,,,,,,,设平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,同理,设平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,∴,,故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值,考查学生的运算求解实力,是一道中档题.21.已知函数(),是的导数.(1)当时,令,为的导数.证明:在区间存在唯一的微小值点;(2)已知函数在上单调递减,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)设,,留意到上单增,再利用零点存在性定理即可解决;(2)函数在上单调递减,则在恒成立,即在上恒成立,构造函数,求导探讨的最值即可.【详解】(1)由已知,,所以,设,,当时,单调递增,而,,且在上图象连续不断.所以在上有唯一零点,当时,;当时,;∴在单调递减,在单调递增,故在区间上存在唯一的微小值点,即在区间上存在唯一的微小值点;(2)设,,,∴在单调递增,,即,从而,因为函数在上单调递减,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上单调递减,,当时,,则在上单调递减,,符合题意.当时,在上单调递减,所以肯定存在,当时,,在上单调递增,与题意不符,舍去.综上,的取值范围是【点睛】本题考查利用导数探讨
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