北京市人民大学附属中学2025届高三数学上学期8月练习试题含解析

PAGEPAGE21北京市人民高校附属中学2025届高三数学上学期8月练习试题（含解析）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再利用交集的运算求解.【详解】由题意得A={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知i为虚数单位，若iz=−1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依据复数的运算求出以及对应复平面内的点，即可得出答案.【详解】，则复数在复平面内对应的点为即复数z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A【点睛】本题主要考查了依据复数的几何意义求复数所在象限，属于基础题.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（）A.1 B.C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式进行计算可得答案.【详解】依据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱如图，等腰直角三角形斜边上的高为1，斜边长为2，棱柱的高为2，则棱柱的体积,故选：C【点睛】本题考查依据三视图求几何体的体积问题，考查空间想象实力，属于基础题.4.绽开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项绽开式的通项求解即可.【详解】的绽开式通项为，当出现项时，，得，故含项的系数为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，较简单，解答时要敏捷运用绽开项的通项公式.5.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是依据日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长改变如图所示，相邻两个节气晷长削减或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（）注：“相差”是指差的确定值A.立春和立冬的晷长相同B.立夏和立秋的晷长相同C.与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D.与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长【答案】D【解析】【分析】依据对称性推断出说法不正确的选项.【详解】依据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.所以说法错误的是D.故选：D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题.6.点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据抛物线的性质，的最小值等价于的最小值，即焦点到直线的距离.【详解】由题可知是抛物线的准线，交点，由抛物线的性质可知,，如图，当在一条直线上时，取得最小值为，利用点到直线距离公式可以求出，所以的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.7.“”是“”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性求出两个条件的不等式解集，利用集合间的基本关系推断充分性和必要性.【详解】令，，在上单调递增，且，等价于，即，令，，在上单调递增，且，等价于，即，“”是“”的充分必要条件，“”是“”的充分必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的推断，将条件转化为利用集合间关系推断是解决此类问题的常用方法.8.以为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角．角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据三角函数的定义得，，进而得，再结合三角恒等变换和三角函数的性质得.【详解】解：依据三角函数的定义得,由于角的终边顺时针旋转得到角，故,所以，所以因为，所以，所以，即.故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题.9.若圆P的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆心P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】依据题意，分析圆的圆心以及半径，由勾股定理分析可得，当最小时，最小，由点与圆的位置关系分析的最小值，计算可得答案．【详解】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径过点作圆的切线，切点为，则当最小时，最小又由点在圆上，则的最小值为则的最小值为；故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．10.气象意义上从春季进入夏季的标记为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下：①甲地5个数据的中位数为26，众数为22；②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.则从气象意义上确定进入夏季的地区是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】①依据众数的定义至少出现2次，假设有一天低于22，再由中位数推断；②设温度由低到高为：，依据方差的定义得到，假设有一天低于22，再由平均数推断；③设温度由低到高为：，由平均数的定义得到，假设假设有一天低于22，再由中位数推断；【详解】①因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不行能是26，所以甲地确定进入夏季；②设温度由低到高为：，依据方差的定义，所以，若有一天低于22，不妨设，则只有21，25，26，26，26，而不满意平均数26，故没有低于22的，所以乙地进入夏季；③设温度由低到高为：，由题意得：，由平均数定义得：，即，若，取，则，不满意中位数26，故没有低于22的，所以丙地确定进入夏季；故选：D【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，还考查了逻辑推理运算求解的实力，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.双曲线的焦距是__________．【答案】10【解析】【分析】依据双曲线的标准方程求解即可.【详解】解：依据双曲线的标准方程得，所以，即，所以双曲线的焦距为.故答案为：【点睛】本题考查由双曲线的标准方程求焦距，是基础题.12.已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）．【答案】(1).100(2).【解析】【分析】先依据求出等差数列的通项公式，计算前10项和即可，由等差数列的通项公式及是公比为c的等比数列求出，即可求前10项和.【详解】因为是等差数列，，所以，解得，所以，所以因为是公比为c的等比数列，且，所以，故，当时，，当时，，综上,故答案为：100；【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了分组求和，属于中档题.13.已知为等腰直角三角形，，OC为斜边的高．（1）若P为线段OC的中点，则__________．（2）若P为线段OC上的动点，则的取值范围为__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)由条件可知,,又，代入中，利用向量的数量积的定义可求解答案.(2)当P为线段OC上的动点时，设,,利用向量的数量积的运算性质和定义可求解.【详解】为等腰直角三角形，为斜边的高,则为边的中线，所以,.(1)当为线段OC的中点时，在中,为边上的中线,则

所以(2)当P为线段OC上的动点时，设,.

所以的取值范围为故答案为：(1).(2).【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的运算，本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,属于中档题.14.不等式对全部的都成立，则t的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】看作关于的一次函数，依据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得的范围.【详解】设，，由∴，即解得或或，故答案为：.【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.15.在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对随意；（2）对随意；（3）对随意．给出下列四个结论：①；②；③对随意；④存在．其中，全部正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】分析】依据给定的新运算得到的计算方法，再逐项计算并推断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号.【详解】由题设有，对于①，，故①错误.对于②，，由①中结果可知，故②正确.对于③，对随意，而，故，故③正确.对于④，取，则，而，故，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的推断，此题的关键是依据给出的运算规则得到的运算方法，本题属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，三棱柱中，平面，点E是棱的中点，已知．（Ⅰ）求证：平面ABC；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）首先证明四边形矩形，可得，结合，可证平面ABC（Ⅱ）分别以，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）依题意，在中，，所以，所以．又因为三棱锥中，四边形为平行四边形，所以四边形为矩形，所以．因为平面，平面，所以．又因为平面ABC，，所以平面ABC．（Ⅱ）因为平面，平面，所以．如图建立空间直角坐标系B−xyz，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，于是，设平面的法向量为，则即令，则，．于是，所以由题知二面角为锐角，所以其余弦值为【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题.17.在△ABC中，，，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求c的值及△ABC的面积．条件①：；条件②：；条件③：csinA=3．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】【分析】选择条件②，由正弦定理可得，又，由余弦定理可得，结合条件②即可求得，，从而得到三角形的面积.【详解】选择条件②，因为在△ABC中，所以．又因为所以由余弦定理得又因为，所以或−1(舍)．所以．则△ABC的面积为【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.18.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危急的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，假如10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；假如10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，，．假定各人能否完成任务相互独立．（Ⅰ）安排依次派甲乙丙执行任务，①求能完成任务的概率；②求派出人员数X的分布列和数学期望E(X)．（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X的数学期望尽可能小，你认为应当按什么次序派出甲乙丙？（干脆写出答案即可）【答案】（Ⅰ）①；②分布列见解析，；（Ⅱ）依次派出丙甲乙．【解析】【分析】（1）①依据相互独立事务概率的求法求得完成任务的概率；②写出X的可能值，求出各自的概率，列表写出分布列，依据数学期望公式求得结果；（2）依据所求概率结合X的数学期望干脆写出结论.【详解】解：（Ⅰ）设“安排依次派出甲乙丙，能完成任务”为事务A．因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为各人能否完成任务相互独立．所以或依题意，X的全部可能取值为1，2，3．所以X的分布列为X123P故X的期望（Ⅱ）依次派出丙甲乙．【点睛】本题主要考查相互独立事务的概率及离散型随机变量分布列，意在考查学生的数据处理的实力及数学运算的学科素养，属中档题.19.已知函数.（1）若，求过曲线上一点的切线方程；（2）若，在区间的最大值为，最小值为，求的最小值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）首先求导，切点为，得到切线方程，再将代入得到或，即可得到切线方程.（2）首先对求导，求出函数的单调区间，再分类探讨，得到最大值为，最小值为，即可得到的最小值.【详解】（1）当时，，所以．设切点为，所以切线方程为.因为切线过时，所以，所以，所以或.所求切线方程为或.（2）因为，，.所以．令，得或．所以，，为减函数，，，为增函数.①当时，在上单调递减．所以依题意，．，所以.②当时，在上单调递减，在上单调递增.又因为，，.当时，，所以，.当时，所以，.设，，当时，，所以在单调递减.又因为，，所以所以，当且仅当时，取得最小值.【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，其次问考查利用导数探讨函数的最值，同时考查了分类探讨的思想，属于难题.20.已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为，离心率为，点为椭圆上异于的两点，直线相交于点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在直线上，求证：直线过定点．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）先依据题意得，进而得，求解即可得出结论；（2）设，先探讨直线垂直于轴时不满意题意，再探讨不垂直于轴时，设其方程为，与椭圆方程联立得，，再依据为直线的交点得，化简得即可求出结论.【详解】解：（Ⅰ）依题意，解得所以椭圆C方程为（Ⅱ）设，则①当直线垂直于轴时，由对称性，直线交于轴，不合题意，舍去．②当直线不垂直于轴时，设其方程为．联立得．依题意，所以．因为，所以直线方程为，直线方程为依题意，设，因为为直线的交点，所以所以所以．所以．所以．所以因为，所以．所以，，直线MN方程为．所以直线过定点.【点睛】本题考查依据求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算实力，是中档题.21.已知m，n，k为正整数，，，A是由个不超过k的正整数组成的m行n列的数表，其第i行第j列为，，，满意：①对随意，，均有，，互不相等；②对随意，不存在，使得且；③当时，对随意，存在，使得．记为全部这样的数表构成的集合．（Ⅰ）写出中的一个元素；（Ⅱ）若，则当n最大时，求m的最大值；（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．问题（一）：求集合的元素个数．问题（二）：求集合的元素个数．【答案】（Ⅰ）答案不唯一，见解析；（Ⅱ）m的最大值为24；（Ⅲ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，依据题意，列出数表，写出满意要求的一个元素即可；（Ⅱ）依题意，设B某行为，探讨当B=(abcdba)时和当n≥6时，是否满意题意，即可解出n最大值，由③即可解出m的最大值；（Ⅲ）若选择问题（一），则分别求解当n=4时，n=5时，n=6时和n≥7时，X的个数，综合即可得结果；若选择问题（二），分别探讨当k=3时、当n≥2k-1时，是否满意题意，综合分析，即可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：，则中(abc)，(def)为(123)的不同排列即可，例如.（答案不唯一，满意题意即可）.（Ⅱ）依题意，设表，设(abcd)为(1234)的某个排列，设B某行为．一．当B=(abcdba)时，，所以n=6符合题意；二．当n≥6时，由①设或d．1．当时，由①，故由②，与①冲突．2．当时，由①或b．（1）当时，由②，与①冲突．（2）当时，由①，故由②．假如n≥7，则由②，与①冲突．综上，n的最大值为6，且当n=6时，X=(abcdba)，这样的X共个．由③，当n最大时，m的最大值为24．（Ⅲ）若选择问题（一）．若表，设(abcd)为(1234)的某个排列，一．当n=4时，由（Ⅱ）X=(