第05讲一元二次方程根与系数的关系(5种题型)(原卷版+解析)

第05讲一元二次方程根与系数的关系（5种题型）【知识梳理】韦达定理：如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得,．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．【考点剖析】题型1：求根与系数关系例1．（2020秋·广东揭阳·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值得为___________．题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值例2．（2023·山东济宁·统考二模）已知方程的两根分别为、，则的值为（

）A．1 B． C．2023 D．例3．（2023·江苏南京·统考二模）已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______．例4．（2023·湖北鄂州·统考二模）若实数分别满足，且，则代数式的值为______．题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）例5．（2023·河北邯郸·统考三模）已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值为____________，的值是__________．例6．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____.题型4：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值例7．（2023·北京海淀·统考二模）已知关于的一元二次方程．(1)判断方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．例9.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．例10.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．【过关检测】一、单选题1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（）A．19 B．18 C．16 D．152．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为(

)A．11 B． C．11或 D．11或或13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．4．（2023·云南昆明·统考二模）一元二次方程的两个根分则为和，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值是（

）A． B． C． D．6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，且代数式的值为，则k的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·湖北咸宁·统考一模）已知关于的一元二次方程（k为常数），下列说法错误的是（

）A．该方程有两个不相等的实数根 B．该方程有两个异号实数根C．抛物线与直线必相交 D．该方程有两实根但不互为相反数8．（2023春·浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程：，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．（2023·四川成都·校考三模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．10．（2023·湖南永州·校考三模）已知，分别为一元二次方程的两个实数解，则的值为______．11．（2023·新疆博尔塔拉·校考二模）已知，是方程的两根，则的值为__________．12．（2023·山东济南·统考三模）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是______．13．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．14．（2023·山东日照·统考二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；15．（2023·江西吉安·统考一模）已知方程的两个解分别为，则的值为_______．16．（2023·江苏泰州·统考二模）关于x的方程的两个实根分别为，，则_______．17．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则________．18．（2023·江苏泰州·统考二模）是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是______19．（2023·四川成都·统考二模）已知，是方程的两个实数根，且，则______．20．（2023·四川成都·统考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为___________．21．（2023·江西抚州·校联考三模）设m，n是方程的两个实数根，则的值为______．三、解答题22．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即．比较两边系数可得：______，______．任务：(1)填空：______，______．(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．解：对于一元二次方程，当时，有两个实数根______，______．……(3)已知关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出的值．23．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：．可以发现：．从而可知构造的方程两个根分别是1和利用根与系数的关系得：_____；_____；…请你根据小刚的思路完整地解答本题．24．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明：对于任意实数，该方程总有实数根；(2)若这个一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围．25．（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．26．（2023·湖北随州·统考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，．(1)求m的取值范围；(2)若，求m的值．27．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______；(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；(3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______．28．（2022春·八年级单元测试）已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．第05讲一元二次方程根与系数的关系（5种题型）【知识梳理】韦达定理：如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得,．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．【考点剖析】题型1：求根与系数关系例1．（2020秋·广东揭阳·九年级统考期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值得为___________．【答案】【分析】直接利用根与系数的关系求得即可．【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，∴故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值例2．（2023·山东济宁·统考二模）已知方程的两根分别为、，则的值为（

）A．1 B． C．2023 D．【答案】B【分析】由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可．【详解】解：∵方程的两根分别为、，∴，，，∴∴．故选：B．【点睛】本题考查根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．例3．（2023·江苏南京·统考二模）已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______．【答案】3【分析】根据根与系数的关系，进行计算即可．【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查根与系数的关系，因式分解，代数式求值．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．例4．（2023·湖北鄂州·统考二模）若实数分别满足，且，则代数式的值为______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：设是的根，则，，∴【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系式．题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）例5．（2023·河北邯郸·统考三模）已知，是关于的方程的两实数根，且，，则的值为____________，的值是__________．【答案】2/【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵，是关于的方程的两实数根，∴，，∵，，∴，即，∴．故答案为：2；【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．例6．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____.【答案】【分析】先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根据根的范围，求出的取值范围.【详解】解：，去分母得，，设的两个根为，，由根与系数的关系可知，，，∴，∵，，均大于1且小于2，∴，，∴．∴．∴．故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键.题型4：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值例7．（2023·北京海淀·统考二模）已知关于的一元二次方程．(1)判断方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析(2)，另一个根为【分析】（1）求得，根据，可得，进而即可求解；（2）把代入方程，求出的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，即，∴该方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程的一个根为，∴，解得：，设方程的另一个根为，∵，，，∴，∴另一个根为．【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．【答案】．【解析】解：设直角三角形的三边长为，，，且是斜边长，由题知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周长．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．例9.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．【答案】．【解析】因为方程有两根，所以，即；由韦达定理，可得：，，因为且，所以，，即，解得：．【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．例10.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．【答案】．【解析】解：设方程的两根为，，由，，可得：，即，而由韦达定理可得，，所以，即．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．【过关检测】一、单选题1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（）A．19 B．18 C．16 D．15【答案】A【分析】根据题意，，可以看作一元二次方程的两根，则，，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，，∴，可以看作一元二次方程的两根，∴，，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为，两根之积为．2．（2023·四川绵阳·统考三模）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为(

)A．11 B． C．11或 D．11或或1【答案】C【分析】先根据根与系数的关系得到，再把两边平方后利用完全平方公式变形得到，然后将代入求关于k的方程，最后再利用判别式确定k的取值．【详解】解：∵关于的方程的两个实数根∴，∵∴∴，整理得：，解得，当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；当时，方程变形为，即，，方程有两个不相等的实数解；∴k的值为11或．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，若方程两个为，则是解答本题的关键．3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得，，根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴∴，∴∴，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．4．（2023·云南昆明·统考二模）一元二次方程的两个根分则为和，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：一元二次方程化为一般形式为∵一元二次方程的两个根分则为和，∴，，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，，．5．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．【详解】原式∵，是方程的两个实数根∴则原式故选：A．【点睛】此题考查了分式的化简求值，韦达定理，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，且代数式的值为，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据异分母分式的加减进行化简，解方程即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴∵∴解得：，（经检验，是原方程的解）故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握解分式方程，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．（2023·湖北咸宁·统考一模）已知关于的一元二次方程（k为常数），下列说法错误的是（

）A．该方程有两个不相等的实数根 B．该方程有两个异号实数根C．抛物线与直线必相交 D．该方程有两实根但不互为相反数【答案】D【分析】根据根的判别式，韦达定理，依次判断即可解答．【详解】解：A：根据，可得，所以该方程有两个不相等的实数根，故A选项正确；B：根据韦达定理，可得，所以异号，故B选项正确；C：将与，连理可得方程，即，根据A选项说明，可得方程有两个不相等的实数根，所以抛物线与直线有交点，故C选项正确；D：根据韦达定理可得，当时，，即互为相反数，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，韦达定理，熟知相关公式是解题的关键．8．（2023春·浙江·八年级期末）已知关于x的一元二次方程：，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的求根公式对每个选项进行一一判断即可．【详解】解：∵，∴Δ＝4+4a，∴①当时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝，∵，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．二、填空题9．（2023·四川成都·校考三模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________．【答案】5【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴，，即：，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．10．（2023·湖南永州·校考三模）已知，分别为一元二次方程的两个实数解，则的值为______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据分式的加法进行计算，进而代入即可求解．【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数解，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11．（2023·新疆博尔塔拉·校考二模）已知，是方程的两根，则的值为__________．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的两根∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．12．（2023·山东济南·统考三模）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是______．【答案】1【分析】设该方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可．【详解】解：设该方程的另一个根为，根据题意得，解得，即该方程的另一个根为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．13．（2023·湖北恩施·统考二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则__________．【答案】【分析】先根据根与系数的关系得到，，再由求出，，则，即可得到．【详解】解：∵，∴，∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．14．（2023·山东日照·统考二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；【答案】【分析】根据根的判别式、根与系数的关系列出关于的不等式组，通过解该不等式组，求得的取值范围．【详解】解：∵的一元二次方程两个实数根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了解不等式组，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．（2023·江西吉安·统考一模）已知方程的两个解分别为，则的值为_______．【答案】【分析】先根据根与系数的关系求出和的值，然后再对因式分解后代入计算即可．【详解】解：∵方程的两个解分别为，∴，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．16．（2023·江苏泰州·统考二模）关于x的方程的两个实根分别为，，则_______．【答案】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，代入求得答案．【详解】解：∵一元二次方程的两个实根分别为，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：是方程的两根时，17．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则________．【答案】【分析】根据一元二次方程的根与系数关系进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，∴，故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，如果为一元二次方程的两根，则，，熟练掌握内容是关键．18．（2023·江苏泰州·统考二模）是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是______【答案】【分析】设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系可得：，即，即可求解．【详解】解：设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．19．（2023·四川成都·统考二模）已知，是方程的两个实数根，且，则______．【答案】【分析】先根据根与系数的关系得到，，再利用可求出，则可计算出，然后计算代数式的值．【详解】解：根据题意得，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．20．（2023·四川成都·统考二模）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，则m的值为___________．【答案】【分析】设，利用勾股定理和菱形的性质得到，再根据题意得到分别是关于x的一元二次方程的两根，则由根与系数的关系得到，，进而根据完全平方公式的变形建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，四边形是边长为5的菱形，对角线交于O，∴，，设，在中，由勾股定理得，∴，∵菱形的对角线的长分别是关于x的一元二次方程两根的2倍，∴分别是关于x的一元二次方程的两根，∴，，∵，∴，∴，即，解得或；又∵，即，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形求值，正确建立方程是解题的关键．21．（2023·江西抚州·校联考三模）设m，n是方程的两个实数根，则的值为______．【答案】【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，∴，，，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．三、解答题22．（2023·河南南阳·统考二模）【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，，则有恒等式，即．比较两边系数可得：______，______．任务：(1)填空：______，______．(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．解：对于一元二次方程，当时，有两个实数根______，______．……(3)已知关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出的值．【答案】(1)，(2)，，见解析(3)或4【分析】（1）由得，求解即可得到答案；（2）将方程两边同时除以可得，再配方可得，由，直接开平方法解方程即可得到答案；（3）由（1）中的结论，可得，再由关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，得到，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：由可得：，，故答案为：，；（2）解：，，，，，，，，，故答案为：，；（3）解：，，，关于x的方程的两根之和与两根之积的和等于2，，解得：或的值为：－1或4．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练运用完全平方公式及配方法是解题的关键．23．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：．小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：．可以发现：．从而可知构造的方程两个根分别是1和利用根与系数的关系得：_____；_____；…请你根据小刚的思路完整地解答本题．【答案】；；见解析【分析】令，则，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出代数式的值．【详解】解：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程：．可以发现：．从而可知构造的方程两个根分别是1和.利用根与系数的关系得：；；∴．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．24．（2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明：对于任意实数，该方程总有实数根；(2)若这个一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据一元二次方程判别式为即可解答；（2）根据一元二次方程的一根大于，另一根小于得到方程有两个不相等的实数根其两根与的差的积小于零，列出不等式即可解答．【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，∴，∴对于任意实数，该方程总有实数根；（2）解：设方程的两个实数根为，∴，，∵这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，∴，∴，解得：，∴的取值范围．【点睛】本题考查了根的判