陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题含解析

PAGEPAGE14陕西省咸阳市试验中学2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（）A.12项 B.13项 C.14项 D.15项【答案】C【解析】【分析】依据已知数列中前若干项，可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案.【详解】数列，3，，，，…，可化为：，，，，，…，则数列的通项公式为：当时，故选：C【点睛】本题考查了归纳法求数列的通项公式，考查了学生数学归纳，数学运算的实力，属于基础题.2.在等差数列中，若，，则等于（）A.45 B.75 C.50 D.【答案】C【解析】分析：详解：依据等差数列中等差中项的性质因为所以所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简洁题．在数列中，应用等差中项或等比中项能使化简、求值更加简便、快捷．3.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（）A.-4 B.-6 C.-8 D.【答案】B【解析】【分析】把，用和公差2表示，依据，，成等比数列，得到解得.【详解】解：因为等差数列的公差为2，若，，成等比数列，即解得故选：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.4.已知等比数列中,,,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设公比为,再依据等比数列的性质求解,进而求得即可.【详解】设公比为,则,故.故选：C【点睛】本题主要考查了依据等比数列各项间的关系求解某项的问题,属于基础题.5.在各项均为正数的等比数列中，若,则的值为（）A.12 B.10 C.8 D.【答案】B【解析】因为所以，故选B点睛：本题重点考查了等比数列的重要性质，当时，,留意等式两边的项数，都是两项.6.等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A.7 B.8 C.15 D.【答案】C【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，依据等比数列前n项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．7.等差数列18，15，12，…前n项和的最大值为（）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】B【解析】【分析】先求出，再求出，即得前n项和的最大值.【详解】由题得，令.所以.所以等差数列的前6项和前7项和最大，所以前n项和的最大值为.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等差数列前项和最大值的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.8.设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（）．A. B.与是的最大值C. D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，依据，，可得，，．即可得出结论．【详解】设等差数列的公差为，，，，．，，，与是的最大值．因此A，B，D正确．对于C．，可得，因此不正确．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．9.假如将2，5，10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设加上的常数为x，依据等比数列关系，解方程即可.【详解】设加上的常数为x，则，解得.所以这三个数为，所以公比为.故选：D【点睛】此题考查等比数列，依据等比中项关系建立等式解方程组求解，属于基础题目.10.下列命题中正确的是（）A.若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列B.若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列C.若a，b，c是等差数列，则，，2c是等比数列D.若a，b，c等比数列，则，，是等差数列【答案】C【解析】【分析】将设a，b，c为特别值，对选项逐一进行解除，得到答案.【详解】对于A选项，1,2,3成等差数列，但，，不成等比数列；所以A不正确.对于B选项，1,,4成等比数列，此时无意义，所以B不正确.对于C选项，a，b，c是等差数列，即，则所以，，2c成等比数列，所以C正确.对于D选项，1,2,4成等比数列，但，，不成等差数列；所以D不正确.所以选：C.【点睛】本小题主要考查等差、等比数列变换后还是不是等比、等差数列的问题，解决的方法就是利用特别值进行解除，用定义去推断，属于基础题.11.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得a2=1+(-1)2=2,∴a3·a2=a2+(-1)3,∴a3=,∴a4=+(-1)4,∴a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.故选C.12.在圆x2+y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差，那么n的取值集合为A.{4，5，6，7} B.{4，5，6}C.{3，4，5，6} D.{3，4，5}【答案】A【解析】【分析】先求出圆的圆心和半径，依据圆的几何性质计算出过点的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n项，再依据等差数列的公差d∈[，]，求出n的取值集合．【详解】圆x2+y2=5x的圆心为C，半径为r=过点P最短弦的弦长为a1=2=4过点P最长弦长为圆的直径长an=5，∴4+（n﹣1）d=5，d=，∵d∈[，]，∴，∴4≤n≤7．故选A．【点睛】本题考察了圆的方程，圆的几何性质及等差数列的通项公式等学问，解题时要学会运用圆的几何性质解决圆的弦长问题，提高解题速度．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）13.设等比数列的前项和为，若，则________.【答案】3【解析】【分析】首先依据，求出，再计算即可.【详解】当时，，舍去.当时，，即，整理得到，.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的前项和的计算，娴熟驾驭公式为解题的关键，属于简洁题.14.等差数列中，，，则数列中肯定值最小的项是第________项．【答案】9【解析】【分析】先求出，再得出数列的单调性，从而可得答案.【详解】在等差数列中，，，则等差数列单调递减，令，得，可得数列，当时单调递减，当时的单调递增.又，所以当时，最小.故答案为：9【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和考查数列的单调性，依据数列的单调性得出数列中的最小项，属于基础题.15.已知数列的前项和，则该数列的通项公式______【答案】【解析】【分析】依据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再依据等比数列通项公式写出结果.【详解】由得：，即又，则由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列则本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.16.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，有下列三个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列.其中真命题的序号是________.【答案】①③【解析】易知①是真命题，由等比数列前n项和知②不正确，③正确．据此可得真命题的序号是①③.三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列满意，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满意，，问：与数列的第几项相等？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础学问，考查学生的分析问题解决问题的实力、转化实力、计算实力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，干脆写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.18.记等差数列的前n项和为，设，且，，成等比数列，求．【答案】或【解析】【分析】设数列的公差为d，由条件可得化简得，解出方程可得答案.【详解】设数列公差为d，由，且，，成等比数列即，即解得，或，，∴或，即或．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和公式和等比数列的概念，属于基础题.19.等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由已知可得等差数列的公差为整数．由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最终由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）由已知先写出，列出的表达式，由于可分裂为，故采纳裂项相消法求．（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（2），于是．考点：1．等差数列通项公式；2．裂项法求数列的前项和．20.用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月起先算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最终结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.【答案】详见解析.【解析】试题分析:购买当天先付款后，所欠款数可求，用20个月还清，月利率为1%，按复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前20项和，求出可得买这件家电实际付款数，以及每个月应还款数.试题解析:由题易得x(1＋1%)19＋x(1＋1%)18＋…＋x(1＋1%)＋x＝1000(1＋1%)20，即x·＝1000×(1＋1%)20，所以x＝≈55.45，即每月还款55.45元．所以买这件家电实际付款55.45×20＋150＝1259(元)，每月还款55.45元．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1)，;(2).【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最终求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知f（x）＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y＝f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对全部n∈N*都成立的最小正整数m．【答案】（1）an=6n－5（n∈N*）（2）m＝10【解析】【详解】试题分析：（1）依据条件得到Sn=3n2－2n，进行求解即可求数列{an}的通项公式；（2）求出数列{bn}的通项公式，利用裂项法进