2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.3诱导公式一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第五章三角函数5.3诱导公式第1课时诱导公式(1)考点1诱导公式的理解1.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是()。A.sinα=sinβB.sin(α-2π)=sinβC.cosα=cosβD.cos(2π-α)=-cosβ答案:C解析:由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故cosα=cosβ。2.已知f(x)=sinx,下列式子中成立的是()。A.f(x+π)=sinx B.f(2π-x)=sinxC.fx-π2=-cosxD.f答案:C解析:f(x+π)=sin(x+π)=-sinx,f(2π-x)=sin(2π-x)=-sinx,fx-π2=sinx-π2=-sinπ2-x=-cosx,f(π-x)=sin(π-x)=sin3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中肯定成立的是()。A.cos(A+B)=cosC B.sin(A+B)=-sinCC.cosA2+C=sinB D.sin答案:D解析:∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,∴A,B都不正确。同理,B+C=π-A,∴sinB+C2=sinπ2-4.已知函数f(x)=cosx2,则下列等式中成立的是()A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)答案:D解析:对于A,f(2π-x)=cos2π-x2=cosπ-x2=-cosx2≠f(x),A不成立;对于B,f(2π+x)=cos2π+x2=cosπ+x2=-cosx2≠f(x),B不成立;对于C,f(-x)=cos-x2考点2诱导公式二~四的应用5.(2024·天津一中高一上期末考试)化简sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的结果为()。A.1 B.2sin2αC.0 D.2答案:D解析:原式=(-sinα)2-(-cosα)·cosα+1=sin2α+cos2α+1=2。6.(2024·河北保定一中高一期中考试)已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπA.{-1,1,-2,2} B.{1,-1}C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2}答案:C解析:当k为偶数时,A=2;当k为奇数时,A=-2。故A构成的集合为{-2,2}。7.(2024·银川调考)sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是()。A.14 B.34 C.114答案:A解析:原式=sin230°+sin245°+2sin(180°+30°)+cos2(180°+45°)=122+222+(-2sin30°)+-222=18.(2024·成都七中月考)下列三角函数:①sinnπ+43③sin2nπ+π⑤sin(2n+1)π其中函数值与sinπ3的值相同的是()A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤答案:C解析:①sinnπ+43π=(-1)nsin43π=(-1)n+1sinπ3;②cos2nπ+π6=cosπ6=sinπ3;③sin2nπ+π3=sinπ3;④cos9.(2024·郑州调考)已知sinα-π4=32,则sin5π4A.12 B.-12 C.32 答案:C解析:sin5π4-α=sinπ-α10.(2024·成都诊断)若cos(-100°)=a,则tan80°等于()。A.-1-a2C.-1+a2a答案:A解析:cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=a,∴cos80°=-a。又sin280°+cos280°=1,sin80°>0,∴sin80°=1-cos280°=1-(-a)2=11.(2024·重庆调考)已知cos(508°-α)=1213,则cos(212°+α)=答案:12解析:由于cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=1213所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=121312.(2024·武汉四月调考)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满意f(2024)=-1,则f(2024)的值为。

答案:1解析:∵f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=-1,∴f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=asin[π+(2024π+α)]+bcos[π+(2024π+β)]=-[asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)]=1。13.(2024·天津一中期中)化简1-2sin10°答案:1解析:原式=(sin10°-cos10°14.(2024·东北育才中学检测)化简下列各式:(1)cos(答案:原式=-=-cosα(2)cos190°·答案:原式=cos=-=-12-考点3诱导公式五、六的应用15.已知cosπ2+φ=32,且|φ|<π2,则tanφA.-33 B.33 C.-3 答案:C解析:由cosπ2+φ=-sinφ=32,得sinφ=-32。又|φ|<π2,∴φ=-π316.(2024·浙江温州高一下期末考试)若cosπ12-θ=13,则sin5πA.13 B.223 C.-13答案:A解析:∵cosπ12-θ=13,∴sin5π12+θ=sinπ217.(2024·石家庄模拟)已知sin10°=k,则cos620°的值等于()。A.k B.-k C.±k D.不能确定答案:B18(2024·济南调考)已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπA.233 B.13 C.-13答案:D解析:cosπ12-α=cosπ2-5π12+α=sin5π12+α。又-π<α<-π2,∴-7π12<考点4诱导公式二~六的综合应用19.(2024·西安月考)假如sin(π+α)=12,那么cos32π-αA.12 B.-12 C.32 答案:A解析:∵sin(π+α)=-sinα=12,∴sinα=-12,∴cos32π-20.(2024·宁波调考)若sin(π+α)+cosπ2+α=-m,则cosπ2-α+2sin(3π-αA.-23m B.23m C.-32m 答案:D21(2024·西安调考)已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为()A.-223 B.223 C.-答案:A解析:由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°。又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-1-cos222.(2024·北京东城区期末测试)若tan(π-α)=2,则2sin(3π+α)·cos5π2+α+sin32π-α答案:223(2024·南京质检)已知sinα是方程5x2-7x-6=0的实根,α是第三象限角,则sin-α-答案:3解析:5x2-7x-6=0的两实根x1=-35,x2=2,故sinα=-35又α为第三象限角,故cosα=-45,所以原式=cosα(-第2课时诱导公式(2)考点1给角求值问题1.(2024·浙江杭州高一上期末)sin315°+sin(-480°)+cos(-330°)的值为()。A.12 B.-12 C.-22答案:C解析:原式=sin(360°-45°)+sin(-360°-120°)+cos(-360°+30°)=-sin45°-sin60°+cos30°=-22-32+32=-22.(2024·宁波一中月考)计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=()。A.89 B.90 C.892 答案:C解析:∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1,…,∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos23°+cos22°+cos21°=44+12=89【归纳总结】给角求值的运算规则:负化正,大化小,化到锐角再查表。3.(2024·江苏启东中学月考)计算:cos(-585°)答案:2-2解析:原式=cos585°sin(360°+135°)-sin(3604.(2024·合肥二中月考)若k为整数,则sinkπ-23π·答案:-34解析:分k为奇数和k为偶数两种状况进行探讨。(1)当k=2n(n∈Z)时,原式=sin2nπ-23π·cos2nπ+π6=-sin23πcosπ(2)当k=2n+1(n∈Z)时,原式=sin2nπ+π-2π3·cos2nπ+π+π6=sinπ3cos所以sinkπ-23πcoskπ+π考点2给值求值问题5.(2024·成都七中月考)已知sinα-π4=13,则cosπ4A.223 B.-232 C.1答案:D解析:∵π4+α-α-π4=π2,∴cosπ4+α=sin6.(2024·江西赣州十三县十四校高一上联考)设tanα=3,则sin(α-πA.3 B.2 C.1 D.-1答案:B解析:sin(α-π)+cos(π7.(2024·安徽江南六校高一联考)已知函数f(x)满意f(cosx)=1-cos2x,则f(sin15°)=。

答案:1+32解析:∵f(cosx)=1-cos2x,∴f(sin15°)=f(cos75°)=1-cos150°=1-cos(180°-30°)=1+cos30°=1+328.(2024·黑龙江鹤岗一中高一上期末考试)已知f(α)=sin((1)化简f(α);答案:f(α)=sinα·cos(2)若α是第三象限角,且cosα-3π2=15,求f答案:因为α是第三象限角,且cosα-3π2所以sinα=-15,cosα=-265,所以f(α)=-cosα考点3利用诱导公式化简求值问题9.(2024·南宁一中月考)cos(α+π)·siA.1 B.-1 C.sinα D.tanα答案:B解析:原式=-cosα·sin210.化简sin400°sin(-答案:cos50° 解析:sin400°sin(-230°)cos850°11.(2024·陕西西安铁一中单元测评)化简cosα-π2sin52π+α·sin(答案:-sin2α解析:原式=cosπ2-αsin2π+π2+α·(-sinα)·cos(-α)=sinαsinπ2+α·(-sinα)考点4利用诱导公式证明三角恒等式问题12.(2024·武汉二中月考)求证:tan(2π答案:证明:左边=tan(-α)-所以原式成立。考点5诱导公式的综合问题13.(2024·河北武邑中学高一周考)若sin(π-θ)<0,tan(π+θ)>0,则θ的终边在()。A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案:C解析:因为sin(π-θ)=sinθ<0,且tan(π+θ)=tanθ>0,所以θ的终边在第三象限,故选C。14.(2024·青岛调考)已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-33π4,则a,b,cA.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b答案:A解析:∵a=tan-7π6=-tanπ+π6=-tanπ6=-33,b=cos23π4=cos6π-π4=cosπ4=22,c=sin-33π15.(2024·西安调考)假如f(sinx)=cos2x,那么f(cosx)=()。A.-sin2x B.sin2xC.-cos2x D.cos2x答案:C解析:f(cosx)=fsinπ2-x=cos2π216.(2024·江西南昌莲塘一中月考)已知sinx+π6=14,则sin5π6-答案:5解析:∵sin5π6-x=sinπcos2π3-x=1-sin2π3-x=1-sin2π2又sinx+π6=14,∴sin5π6-x+cos2π3-x=sinx17.(2024·吉林四平高一上期末联考)已知函数f(x)=-cosπx,x>0,f(答案:3解析:f43=-cos4π3=cosπ3=12,f-43=f-43+1+1=f-13+1=f-13+1+1+1=f23+2=-cos2π3+2=cosπ318.(2024·哈尔滨测评)化简:sin4k-14π-α+cos4答案:0解析:原式=sinkπ-π当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则原式=sin(2n=sinπ-π=sinπ4+=sinπ4+=sinπ4+α当k为偶