2024年九年级数学上学期期末考点练习二次函数图象和性质含解析

二次函数图像和性质学问点一二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a 留意：二次项系数a≠0，而b ，二次函数y=ax等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．a ，  b ，  c是常数，a是二次项系数，典例1下列函数是二次函数的是（）A．y=x（x+1） B．x2y=1C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5【答案】A【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；B、整理后：y=1xC、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数属于一次函数，故本选项错误.故选A．典例2二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．【答案】﹣5、3、1【详解】解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．故答案为：-5、3、1．典例3（2024春门头沟区）已知函数为二次函数，求m的值．【答案】m=﹣1【分析】依据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．【详解】解：由题意：m-1≠0m2+1=2∴m=-1时，函数为二次函数．学问点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2第一种：二次函数y=axa的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下0 y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．其次种：二次函数y=axa的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0 y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下0 y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．第三种：二次函数y=ax-ha的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a<0向下h X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．第四种：二次函数y=ax-ha的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上h X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下h X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．二次函数y=axy=ax-h2+k典例1二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为（）A.（0，0） B.（0，﹣1） C.（﹣2，﹣1） D.（﹣2，1）【答案】B【详解】解：∵y=-2x∴其图象关于y轴对称，∴其顶点在y轴上，当x=0时，y=-1，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.典例2关于二次函数y=x+2A．开口向下 B．最低点是C．对称轴是直线x=2 D．对称轴的右侧部分是上升的【答案】D【详解】对于二次函数y=x+2∵a=1＞0，所以开口向上，故A错误；最低点是（-2,0），故B错误；对称轴是直线x=-2，故C错误；对称轴的右侧部分，y随x的增大而增大，∴是上升的，D正确；故选D.典例3抛物线y=-2(x-3)A．2,-3 B．3,0C．-2,-3 D．-3,0【答案】B【详解】∵y=-2(x-3)∴依据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为3,0.故选：B．学问点三二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=ax-h2+k保持抛物线y=ax2的形态不变，将其顶点平移到h ，平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．【概括】左加右减，上加下减典例1（2024春沙雅县期中）函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2【答案】B【详解】解：函数y=﹣2x2先向右平移1个单位可得到：y=﹣2(x-1)2，再向下平移2个单位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，故答案选择B.典例2在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为()A．y=-2(x+1)2C．y=-2(x-1)2【答案】A【详解】将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为y=-2(x+1)2故选A.学问点四抛物线y=ax抛物线y=ax求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）公式法：y=ax∴顶点是（-b2a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=ax-h2+k的形式，得到顶点为(h,k【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.典例1关于抛物线，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为 B．对称轴是直线C．若，则随的增大而增大 D．当时，【答案】D【详解】解：由抛物线y=-2x-3=（x-1）2-4，可知，

顶点坐标为（1，-4），

对称轴为x=1，

x＞1时y随x增大而增大，

抛物线开口向上，

∴A、B、C推断正确；y=0时，（x-1）2-4=0，解得，∴抛物线与x轴的交点是（-1,0）和（3,0），∵抛物线开口向上，∴当-1<x<3时，y<0，∴D错误.

故选：D．学问点五抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系（二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，⑴当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．【总结起来】a确定了抛物线开口的大小和方向，a的正负确定开口方向，a的大小确定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b确定了抛物线的对称轴．在a>0的前提下，当b>0时，-b2a<0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，-b2a=0当b<0时，-b2a>0，即抛物线对称轴在y在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，-b2a>0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，-b2a=0当b<0时，-b2a<0，即抛物线对称轴在y【总结起来】在a确定的前提下，b确定了抛物线对称轴的位置．常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．【总结起来】c确定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a ，典例1在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，则一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确，典例2在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】解：A、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以推断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意；B、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以推断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向上，对称轴x=-b2a＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确；

C、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以推断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=-b2a＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意；

D、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以推断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意．巩固训练一、选择题（共10小题）1．如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(aA．B．C．D．【答案】B【解析】分析：可先依据一次函数的图象推断a的符号，再推断二次函数图象与实际是否相符，推断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应当开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应当开口向上，对称轴x=﹣-22aC．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应当开口向上，对称轴x=﹣-22a＞0，和xD．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应当开口向上．故选项错误．故选B．2．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】A【详解】①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x=-∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④依据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．【名师点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是娴熟驾驭①二次项系数a确定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c确定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．3．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2﹣5B．y=（x+2）2+5C．y=（x﹣2）2﹣5D．y=（x﹣2）2+5【答案】A【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．若二次函数y=ax2+bx+a2-2（A．1B．2C．-2【答案】C【详解】由图可知，函数图象开口向下，∴a＜0，又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2-2=0，解得a1=2（舍去），a2=-2，故选C．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，视察图象推断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．5．关于二次函数y=2xA．图像与y轴的交点坐标为0,1B．图像的对称轴在y轴的右侧C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为-3【答案】D【解析】详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．6．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2【答案】A【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．故选A．【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，有下列5个结论①abc>0；②b-a>c；A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【详解】①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab由图象可知：c>0，∴abc<0②当x=-1时，y=a-b+c<0，∴b-a>c，故②正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故③正确；④∵x=-b∴b=-2a，∵a-b+c<0，∴a+2a+c<0，3a<-c，故④不正确；⑤当x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=a所以a+b+c>a故a+b>am2+bm故②③⑤正确，故选B．【名师点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+8．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准探讨．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．9．下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的【答案】C【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣b2a=12，C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=12∴当x＞12故选C．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，娴熟驾驭相关学问10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．故选B．二、填空题（共5小题）11．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【解析】试题分析：依据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：依据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），依据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．12．已知关于x的二次函数y=(x-h)2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h【答案】32【详解】∵y=x-h2+3∴当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h=3，解得：h=32②若h<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即1-解得：h=2；(舍去)③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即3-解得：h=6,h=2(舍去)；故答案为:

3【名师点睛】本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类探讨.13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．【答案】(－2，0)【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是x=m设A点坐标为(x,0),由A.

B关于对称轴x=m2对称得解得x=−2，即A点坐标为(−2,0)，故答案为：(−2,0).14．点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．【答案】y2＜y3＜y1【详解】∵y=2x2-4x+c，∴当x=-3时，y1=2×（-3）2-4×（-3）+c=30+c，当x=2时，y2=2×22-4×2+c=c，当x=3时，y3=2×32-4×3+c=6+c，∵c＜6+c＜30+c，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．【名师点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，驾驭函数图象上点的坐标满意函数解析式是解题的关键．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a﹣c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．【答案】①③④⑥【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.∵抛物线对称轴在y轴右侧，