浙江专用2025届高考数学一轮复习专题七平面向量7.2平面向量的数量积及向量的综合应用试题含解析

PAGEPAGE1§7.2平面对量的数量积及向量的综合应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一平面对量的数量积1.已知向量AB=(1,2),AC=(-3,1),则AB·BC=()A.6B.-6C.-1D.1答案B2.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在n方向上的投影为()A.13B.8C.855答案D考点二平面对量数量积的应用3.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且tanθ=22,若向量m=2e1-3e2,则|m|=()A.9B.10C.3D.10答案C4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满意AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案C5.已知|a|=10,a·b=-530A.2π3B.3π4答案C6.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2A.-53B.1C.2D.答案B7.已知点P(-1,3),O为坐标原点,点Q是圆O:x2+y2=1上一点,且OQ·PQ=0,则|OP+OQ|=()A.3B.5C.7D.7答案C8.已知平面对量a,b,c满意|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为()A.0B.3C.2D.7答案D综合篇知能转换【综合集训】考法一求向量模的方法1.(2024甘安静宁一中第三次模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,则|b|=()A.2B.5C.2D.5答案D2.(2024重庆4月调研测试(二诊))已知向量a,b满意|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=()A.2B.23C.4D.12答案A3.(2024豫北名校期末联考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满意c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=()A.25B.5C.2D.1答案A考法二求平面对量夹角的方法4.(2024云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b夹角的余弦值为()A.31010B.-31010答案C5.(2024吉林长春质量监测(一),6)已知平面对量a、b满意|a|=|b|=1,若(2a-b)·b=0,则向量a、b的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.120°答案C6.(2024山东,12,5分)已知e1,e2是相互垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.

答案37.(2024河南安阳二模,15)已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=23,动点P位于线段AB上,则当PA·PO取最小值时,向量PA与PO的夹角的余弦值为.

答案-21应用篇知行合一【应用集训】1.(2024福建,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4ACA.13B.15C.19D.21答案A2.(2024广东广州华南师大附中月考,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=2π3,P是弧AB上的一点,且满意OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则PM·PNA.22B.32答案C3.(2024河南十所名校尖子生其次次调研,15)已知A,B,C均位于同一单位圆O上,且BA·BC=|AB|2,若PB·PC=3,则|PA+PB+PC|的取值范围为.

答案[5,7]【五年高考】考点一平面对量的数量积1.(2024课标Ⅱ,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=()A.-3B.-2C.2D.3答案C2.(2024课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B3.(2024天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=.

答案-1考点二平面对量数量积的应用4.(2024课标Ⅰ,7,5分)已知非零向量a,b满意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π答案B5.(2024课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,A.30°B.45°C.60°D.120°答案A6.(2024北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D7.(2024课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-4答案B8.(2024天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为()A.2116B.32C.答案A9.(2024山东,8,5分)已知非零向量m,n满意4|m|=3|n|,cos<m,n>=13A.4B.-4C.94D.-答案B10.(2024安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满意AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥BC答案D11.(2024课标Ⅲ,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos<a,c>=.

答案212.(2024课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.

答案-213.(2024江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是答案314.(2024天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为.

答案3老师专用题组考点一平面对量的数量积1.(2024课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满意|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A2.(2024天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为()A.-58B.18C.1答案B3.(2024四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满意BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=()A.20B.15C.9D.6答案C4.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=.

答案25.(2024上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为.

答案-36.(2024湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=.

答案97.(2024天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,则AE·AF答案29考点二平面对量数量积的应用8.(2024浙江,9,4分)已知a,b,e是平面对量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满意b2A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A9.(2024四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满意|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满意|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+6答案B10.(2024浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3答案C11.(2012课标,13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.

答案3212.(2024浙江,15,6分)已知向量a,b满意|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.

答案4;2513.(2024广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-2(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3解析(1)因为m⊥n,所以m·n=22sinx-2即sinx=cosx,又x∈0,π2(2)易求得|m|=1,|n|=sin因为m与n的夹角为π3所以cosπ3=m·n则22sinx-22cosx=sinx-又因为x∈0,π2,所以x-π所以x-π4=π6,解得x=【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2025届山东夏季高考模拟,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=()A.3B.2C.-2D.-3答案A2.(2025届山东青岛期初调研,2)已知向量AB=(1,1),BC=(-2,1),则|AC|=()A.5B.5C.3D.3答案B3.(2025届广东广雅中学、执信中等学四校联考,9)在△ABC中,|CA|=1,|CB|=2,∠ACB=23π,点M满意CM=CB+2CA,则MA·MBA.0B.2C.23D.4答案A4.(2025届山东德州一中开学考,4)若向量a=(1,2),b=(1,m),且a-b与b的夹角为钝角,则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(-∞,2)C.(-2,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案D5.(2025届四川双流中学9月月考,10)若向量a,b是非零向量,则“|a+b|=|a-b|”是“a,b的夹角为90°”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案C6.(2024陕西榆林一中模拟,4)已知向量a,b满意|a|=1,|b|=2,|a+b|=6,则|a-b|=()A.2B.2C.3D.5答案A7.(2024江西金太阳全国大联考,3)已知单位向量a,b满意|a+b|-2a·b=0,则|a+2b|=()A.3B.2C.9D.4答案A8.(2024江西南昌NCS项目一模,10)已知平面对量a,b,a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),且a·b>0,若对随意的实数λ,|a-λb|的最小值为3,则此时|a-b|=()A.1B.2C.2D.3答案D9.(2025届浙江杭州二中开学考,8)如图,已知等腰梯形ABCD中,AB=2DC=4,AD=BC=5,E是DC的中点,F是线段BC上的动点,则EF·BF的最小值是()A.0B.-95C.-4答案B二、多项选择题(每题5分,共15分)10.(2025届山东德州一中开学考,12)已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为32A.e1,e2的夹角是π3B.e1,e2的夹角是π3C.|e1+e2|=1或3D.|e1+e2|=1或3答案BC11.(改编题)已知非零向量e1,e2,a,b满意a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),则以下结论正确的是()A.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2B.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2C.存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线D.不存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线答案AD12.(2025届百师联盟期中联考)已知向量a=(sinα,cosα),b=(1,2),则下列命题正确的是()A.若a∥b,则tanα=1B.若a⊥b,则tanα=1C.若f(α)=a·b取得最大值,则tanα=1D.|a-b|的最大值为5+1答案ACD三、填空题(每题5分,共20分)13.(2025届皖江名校联盟八月摸底,13)已知向量a=(2,3),b=(-1,m),且a与(a+b)垂直,则m=.

答案-1114.(2025届浙江超级全能生第一次联考,13)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|e1+2e2|=,|e1+λe2|(λ∈R)的最小值为.

答案7;315.(2024新疆乌鲁木齐地区第一次诊断)在△ABC中,CA=2CB=2,CA·CB=-1,O是△ABC的外心,若CO=xCA+yCB,则x+y=.

答案1316.(2025届北京一零一中