广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习标准示范卷5含解析

PAGE标准示范卷(五)(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，则a－b＝()A．(3,1) B．(－3,7)C．(3，－7) D．(1，－1)B[a－b＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．]2．等差数列{an}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝()A．7 B．8C．9 D．10D[公差为d＝a3－a2＝1，a8＝a2＋(8－2)d＝4＋6＝10.]3．已知集合P＝{y|y＝x2＋2x－1，x∈N}，Q＝{y|y＝－x2＋2x－1，x∈N}，则()A．P∩Q＝∅ B．P∩Q＝{－1}C．P∩Q＝{0} D．P∩Q＝NB[由x2＋2x－1＝－x2＋2x－1得x＝0，∵当x＝0时，x2＋2x－1＝－x2＋2x－1＝－1，∴P∩Q＝{－1}，故选B．]4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝－x B．y＝cosxC．y＝xeq\f(2,5) D．y＝－x2D[函数y＝－x是奇函数，y＝cosx在(0，＋∞)上不具有单调性，y＝xeq\f(2,5)在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x2在(0，＋∞)上单调递减，故选D．]5．若cosx＝－eq\f(3,5)，且eq\f(π,2)<x<π，则tanx＋sinx的值是()A．－eq\f(32,15) B．－eq\f(8,15)C．eq\f(8,15) D．eq\f(32,15)B[由题意，知cosx＝－eq\f(3,5)，且eq\f(π,2)<x<π，所以sinx＝eq\r(1－cos2x)＝eq\f(4,5)，则tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\f(4,3)，所以tanx＋sinx＝－eq\f(4,3)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(8,15)．]6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与A．45° B．60°C．90° D．120°B[如图，取A1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°，故选B．]7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0A[如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是()A．8 B．4C．2 D．1C[这组数据的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，s2＝eq\f(1,6)[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s＝2.]9．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(6),2)，左顶点到一条渐近线的距离为eq\f(2\r(6),3)，则该双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1C．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,12)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1A[e＝eq\f(\r(6),2)，即c＝eq\f(\r(6),2)a，a＝eq\r(2)b，渐近线方程为eq\f(x2,2b2)－eq\f(y2,b2)＝0，即eq\r(2)y＝±x，因为左顶点到一条渐近线的距离为eq\f(|a|,\r(3))＝eq\f(2\r(6),3)，解得a＝2eq\r(2)，b＝2，即该双曲线的标准方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1，故选A．]10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，则a∶b∶c＝()A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．2∶eq\r(3)∶1 D．1∶eq\r(3)∶2D[在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，可得A＝30°，B＝60°，C＝90°.∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1＝1∶eq\r(3)∶2.]11．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(8,15) D．eq\f(32,15)A[∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，∴－eq\f(p,2)＝－2，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，依据斜率公式得kAF＝eq\f(0－3,2＋2)＝－eq\f(3,4).]12．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么数列{an}的前7项和S7＝()A．22 B．24C．26 D．28D[∵等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，解得a4∴S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝7a4＝28.]13．若x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤8，,x＋3y≤9，,x≥0，y≥0，))则z＝x＋2y的最大值为()A．9 B．8C．7 D．6C[在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x＋3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即A(3,2)．将z＝x＋2y变为y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(z,2)，作直线y＝－eq\f(x,2).由图可知，当直线l移动到点A(3,2)时，z有最大值，此时zmax＝3＋2×2＝7，故zmax＝7.]14．若正方形ABCD的边长为1，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2B[因为正方形ABCD的边长为1，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝1.]15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，则c＝()A．4 B．eq\r(15)C．3 D．eq\r(17)D[cosC＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq\r(17).]16．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2bA．6 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．8B[∵2a>0,2b>0，a＋b∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2).]二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)17．设复数z满意eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于.1[1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝eq\f(i－1,1＋i)＝eq\f(－1－i2,2)＝i，∴|z|＝|i|＝1.]18．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2,log3x2－1，x≥2))，则f(f(2))的值为.2[f(f(2))＝f(log3(22－1))＝f(1)＝2e1－1＝2.]19．计算：log21＋log24＝.2[原式＝log21＋log222＝log21＋2log22＝0＋2×1＝2.]20.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为.4[圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时，等号成立．]21．已知空间直角坐标系中，A是x轴上的一点，点B(－1,1,0)，且|AB|＝eq\r(5)，则点A的坐标是.(1,0,0)或(－3,0,0)[设A(x,0,0)，因B点坐标为(－1,1,0)，则|AB|＝eq\r(x＋12＋0－12＋0－02)＝eq\r(5)，解得x＝1或x＝－3.]三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)22．(本小题满分20分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参与某社区服务活动．(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．[解](1)抽取的5人中男同学的人数为5×eq\f(30,50)＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．(2)记3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.从5人中随机选出2名同学，全部可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事务，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).23．(本小题满分20分)如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M