2025版高考数学一轮总复习课后限时集训64随机事件的概率含解析

课后限时集训(六十四)随机事务的概率建议用时：40分钟一、选择题1．设事务A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，则A，B之间的关系肯定为()A．两个随意事务 B．互斥事务C．非互斥事务 D．对立事务B[因为P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系肯定为互斥事务．故选B.]2．(多选)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,5)，下面结论正确的是()A．甲不输的概率eq\f(7,10) B．乙不输的概率eq\f(4,5)C．乙获胜的概率eq\f(3,10) D．乙输的概率eq\f(1,5)ABCD[甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,5)，对于A，甲不输的概率为：P＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10)，故A正确；对于B，乙不输的概率为：P＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故B正确；对于C，乙获胜的概率为：P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，故C正确；对于D，乙输的概率就是甲胜的概率，∴乙输的概率为：P＝eq\f(1,5)，故D正确．故选：ABCD.]3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为()A．0.45 B．0.67C．0.64 D．0.32D[从中摸出一球，为红球的概率为eq\f(45,100)＝0.45.故摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]4．(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是()A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事务B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事务C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事务D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事务BC[从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，对于A，“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生，不是互斥事务，故A错误；对于B，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事务，故B正确；对于C，“至少一个黑球”和“都是红球”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事务，故C正确；对于D，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事务，故D错误．故选：BC.]5．掷一个骰子的试验，事务A表示“出现小于5的偶数点”，事务B表示“出现小于5的点数”，若eq\x\to(B)表示B的对立事务，则一次试验中，事务A∪eq\x\to(B)发生的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\x\to(B)表示“出现5点或6点”的事务，因此事务A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]二、填空题6．依据某医疗探讨所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人须要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为________．65%[因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%.]7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事务“抽到的产品不是一等品”的概率为________，“抽到二等品或三等品”的概率为________．0.350.3[∵事务A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事务“抽到的产品不是一等品”的概率为1－P(A)＝1－0.65＝0.35.“抽到二等品或三等品”的概率为P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3.”]8．某城市2024年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为稍微污染，则该城市2024年空气质量达到良或优的概率为________．eq\f(3,5)[由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率为P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).]三、解答题9．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45D[设[25,30)上的频率为x，由全部矩形面积之和为1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)C[20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为eq\f(1,4).]3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数/人01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率为________；(2)至少3人排队等候的概率为________．(1)0.56(2)0.44[记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：(利用互斥事务求概率)记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：(利用对立事务求概率)记“至少3人排队等候”为事务H，则其对立事务为事务G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.]4．某商店安排每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获得利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天的需求量n(单位：件，n∈N*)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112频数91115105(ⅰ)假设商店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润的平均数；(ⅱ)若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于500元的概率．[解](1)当日需求量n≥10时，利润y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；当日需求量n＜10时，利润y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30n＋200n≥10，n∈N*，,60n－100n＜10，n∈N*.))(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，这50天中有9天的日利润为380元，有11天的日利润为440元，有15天的日利润为500元，有10天的日利润为530元，有5天的日利润为560元，所以这50天的日利润的平均数为eq\f(1,50)×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若当天的利润大于500元，则日需求量大于10件，则当天的利润大于500元的概率P＝eq\f(10＋5,50)＝eq\f(3,10).1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地随意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．eq\f(8,15)eq\f(14,15)[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事务，取得两个同色球，只需两互斥事务有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事务A“至少取得一个红球”与事务B“取得两个绿球”是对立事务，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)