新课标人教a版高中数学（选修2-3）全册教案

课题：1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（1）

第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年一月一日执行时间：一年一月一日

教学目标：批注

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

过程与方法：培养学生的归纳概括能力；

情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的

学习方式。

教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.

教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：引导学生形成“自主学习"与''合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：

引入课题

先看下面的问题：

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？

②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要

的数学计数方法.总的来说，就是研究按某•规则做某事时，一共有多少种

不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计

数原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

1分类加法计数原理

（1）提出问题

问题1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编

号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车

有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少

种不同的走法？

探究：你能说说以上两个问题的特征吗？

（2）发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有功

种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m+n

种不同的方法.

（3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有

一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

分析：由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择

一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原

理的条件.解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中

有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法.又由于没有一个

强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的

专业选择共有

5+4=9(种).

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.

那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有叫种不同的

方法，在第2类方案中有加2种不同的方法，在第3类方案中有加3种不同的

方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情有〃类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，

那么应当如何计数呢？

一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有外种不同的方法，在第

2类办法中有丐种不同的方法……在第n类办法中有巩种不同的方法.那么

完成这件事共有

N-+m2-l------Fmn

种不同的方法.

理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，

各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何

一种方法都可以单独完成这件事.

例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近

路线共有多少条？

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类

又需两步完成，所以，

第一类，ml=1X2=2条

第二类，m2=1X2=2条

第三类，m3=1X2=2条

所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2

+2=6条

练习

1.填空：

(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成,

另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选

法的种数是—；

(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条,

从A村经B的路线有一条.

教学后记：

课题：1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（2）

第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年一月一日执行时间：一年—月一日

教学目标：批注

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

过程与方法：培养学生的归纳概括能力；

情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的

学习方式。

教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.

教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：

(1)提出问题

问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以4,4，…，

为，台2,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

用列举法可以列出所有可能的号码：

A4

AA5

4

A

AO

我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个

数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6X9=54个

不同的号码.

探究：你能说说这个问题的特征吗？

(2)发现新知

分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有

m种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共

有

N=mxn

种不同的方法.

(3)知识应用

例1.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代

表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选

女生.

解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；

第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择.

根据分步乘法计数原理，共有

30X24=720

种不同的选法.

探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有外种不同的方法，做

第2步有加2种不同的方法，做第3步有加3种不同的方法，那么完成这件事共

有多少种不同的方法？

如果完成一件事情需要“个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那

么应当如何计数呢？

一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有町种不同的方法，做第

2步有加2种不同的方法……做第n步有加“种不同的方法.那么完成这件事共

有

xx•••x

N=m2

种不同的方法.

理解分步乘法计数原理：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步

骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成

后，才算完成这件事.

3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干

类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何•类中的任

何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的

是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其

中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是

合作完成.

例2.如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某­

种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案

有多少种？-------------R---------------------------

解：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，

第一步，ml=3种，

第二步，m2=2种，

第三步，m3=1种，

第四步，m4=1种，

所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N=3X2X1

义1=6

变式

1,如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的

某一种,允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色

方案有多少种？

2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？

2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4

名.(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C

村，不同(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多

少种不同的选法？

教学后记：

课题：1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（3）

第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：—年_月一日执行时间：一年—月一日

教学目标：批注

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

过程与方法：培养学生的归纳概括能力；

情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习"与''合作学习”等良好的

学习方式。

教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.

教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：

例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文

艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【分析】

①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成

了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.

②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中

的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这

件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.

③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的

书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都

只完成了这

件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完

成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.

解：（1）从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1

本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方

法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计

数原理，不同取法的种数是

N-m1+m2+m3=4+3+2=9;

(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1

步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺

书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步

乘法计数原理，不同取法的种数是

N=肛x网xe=4X3X2=24.

(3)N=4x3+4x2+3x2=26。

例2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙

上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完

成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，

从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数

原理，不同挂法的种数是

N=3X2=6.

6种挂法可以表示如下：

左边右边得到的挂法

一乙左甲右乙

甲vC；

丙左甲右丙

一甲左乙右甲

乙-^

j丙左乙右丙

一甲左丙右甲

丙V一

一乙左丙右乙

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同

方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中

各种方法相互独立，用其中任何种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原

理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成

才算做完这件事.

例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车

牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必

须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须

合成一组出现，3个数字也必须合成•组出现.那么这种办法共能给多少辆汽

车上牌照？

分析：按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在

右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.

解：将汽车牌照分为2类，-类的字母组合在左，另一类的字母组合在

右.字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：

第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；

第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；

第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；

第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；

第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；

第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有.8种选法.

根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有

26X25X24X10X9X8=11232000(个).

同理，字母组合在右的牌照也有11232000个.

所以，共能给

11232000+11232000=22464000(个).

辆汽车上牌照.

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细

分析一需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对

每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到''步

骤完整”一完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立.分

步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方

法数相乘，得到总数.

练习

1.乘积(%+%+%)(4+4+4)(C|+C2+C3+C4+C5)展开后共有多少

项？

2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字

是不变的，后四位数字都是。到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的

电话号码最多有多少个？

3.从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？

4.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求

从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

教学后记:

课题：1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（4）

第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年一月一日执行时间：一年—月一日

教学目标：

知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

过程与方法：培养学生的归纳概括能力；

情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学

习方式。

教学重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）.

教学难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解.

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：引导学生形成“自主学习"与''合作学习”等良好的学习方式。

教学过程：

例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A〜G或

U〜Z,后两个要求用数字1〜9.问最多可以给多少个程序命名？

分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1步，选首字符；第

2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.

解：先计算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有

7+6=13

种选法.

再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有

13X9X9==1053

个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.

例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现白勺化学成分一个RNA分

子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中得一个位置上都由一种称

为碱基的化学成分所占据.

总共有4种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示.在一，卜RNA分子中，各种碱

基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基.与其他位置上的碱基无

关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能，育多少种不同的RNA分

子？

iMilUlMijlL

分析：用图1.1—2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100

个位置，每个位置都可以从A,C,G,U中任选一个来占据.

解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1—2所示.从左

到右依次在每一个位置中，从A,C,G,U中任选一个填人，每个位置有4

种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分

子数目有

4-4……4=严（个）

例3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这

也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有。或1两

种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编

码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的

最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：

（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？

（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个

字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

分析：山于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择,

而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题.

解：（1）用图1.1—3来表示一个字节.

第1位第2位第3位第8位

图1.1—3

一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个

字节最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2=28=256个不同的字符；

（2）由（1）知，用一个字节所能表示的不同字符不够6763个，我

们就考虑用2个字节能够表示多少个字符.前•个字节有256种不同的表示

方法，后一个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可

以表示256X256=65536

个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.所以要表示这

些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.

例4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要

知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供

多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图L1一4,

它是•个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？

另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员

设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

图1.1一4

分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行

到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1或子模块2

或子模块3来完成；第2步可由子模块4或子模块5来完成.因此，分析

•条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.

解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径

共有

18+45+28=91（条）；

子模块4或子模块5中的子路径共有

38+43=81（条）.

又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有

91X81=7371（条）.

在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察

是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测

试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为

18+45+28+38+43=172.

再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各

个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数

为

3X2=6.

如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那

么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为

172+6=178（次）.

显然，178与7371的差距是非常大的.

你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？

巩固练习：

1.如图，从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到

丁地有4条路可通，从「地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不

同的走法？

2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

3.如图-，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某•种,允许同

一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()

A.180B.160C.96D.60.

若变为图二，图三呢？

5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多

少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

6.(2007年重庆卷)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三

个平面把空间分成(C)

A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分

课外作业：习题1.16,7,8

课堂小结

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，

是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.

2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其

中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问

题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.

3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方

法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即''不重不

漏”.

分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完

成这n个步骤，这件事才算完成.

分配问题

把一些元素分给另一些元素来接受.这是排列组合应用问题中难度较大的

一类问题.因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位.而我们所学的排

列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了.

事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素.例如，把10个全排列，

可以理解为在10个人旁边，有序号为1,2,……，10的10把椅子，每把椅子

坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅

子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：

①.每个”接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是z：，这里

其中加是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生

活中原来的意义，只要〃之加.个数为他的一个元素就是“接受单位”，于是，

方法还可以简化为这里的“多”只要N“少”.

②.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”，并且不限制一对一的分

配问题，方法是分组问题的计算公式乘以4：.

教学后记：

课题：1.2.1排列(1)第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年一月一日执行时间：一年—月一日

教学目标：批注

知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化

归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题

情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题.

教学重点：排列、排列数的概念.

教学难点：排列数公式的推导

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：从排列数公式及推导方法中体会“化归”的数学思想

教学过程：

一、复习引入：

1.分类加法计数原理：

2.分步乘法计数原理：

二、讲解新课：

1.问题：

问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其

中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人

中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午

活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2

种方法.根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活

动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X2=6种，如图1.2

-1所示.

上午下午相应的排法

----乙甲乙

J丙甲丙

一甲乙甲

7

~~~--丙乙丙

一甲丙甲

~~一乙丙乙

图1.2—1

把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元

素a,b中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同

的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,be,ca,cb,

共有3X2=6种.

问题2.从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可

得到多少个不同的三位数？

可以分三个步骤来解决这个问题：

第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个,

有4种方法；

第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能

从余下的3个数字中去取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字

只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.

根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次

取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4X3X2=24

种不同的排法，—因而共睡到金4个不同的三位数，如图1.2—2所示.

由此可写出所有的三位数：

123124,132,134,142,143,

213214,231,234,241,243,

312314,321,324,341,342,

412413,421,423,431,432o

同样，问题2可以归结为：

从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一

列，共有多少种不同的排列方法?

所有不同排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,edb,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

共有4X3X2=24种.

树形图如下

从〃个不同元素中，任取加（加《〃）个元素（这里的被取元素各不相同）

按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列.

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同.

3.排列数的定义：

从〃个不同元素中，任取加个元素的所有排列的个数叫做从〃个

元素中取出加元素的排列数，用符号表示.

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从〃个不同元素中，任

取加个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素

中，任取加（〃?《〃）个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号4：只表

示排列数，而不表示具体的排列.

4.排列数公式及其推导：

由4；的意义：假定有排好顺序的2个空位，从〃个元素4,4,…。”中任取

2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，

任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是

排列数4；.由分步计数原理完成上述填空共有种填法，1）.

由此，求4：可以按依次填3个空位来考虑，4；=〃（〃一1）（〃—2）,

求然以按依次填加个空位来考虑4"=〃（〃—1）（〃—2）…（〃一加+1）,

排列数公式：

第1位第2位第3位第加位

Z；=n{n.1）（〃・2）・・・（〃一加+1）1111……I

nn-ltr-2

图心5

说明：（1）公式特征：第一个因数是〃，后面每一个因数比它前面一个

少1,最后一个因数是“-相+1,共有加个因数；

(2)全排列：当〃=加时即n个不同元素全部取出的一个排列.

全排列数：=〃(〃一1)(〃一2)…24=〃！(叫做n的阶乘).

另外，我们规定0!=1.

例1.用计算器计算:(1)心(2)或；⑶，：：十用.

解：用计算器可得：

(1)10|SHIFT|国4=5040?

(2)18ISHIFTI画5=1028160；

(3)18ISHIFTl画18臼13ISHIF11画13=1028160.

山(2)(3)我们看到，=那么，这个结果有没有一般

性呢？即

,4，，，:4':加

排列数的另个计算公式：

A；"=n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

_n(n一1)(〃一2)••・(〃一加+1)(〃一/%)・•・3•2•1_n\_4：

(n-rri)(n-/w-1)•••3•2•1A：［：；

Y\I

即.

(77-W)!

例2.解方程：34=24*+6%.

解：由排列数公式得：3x(x—l)(x—2)=2(x+l)x+6x(x—l),

Vx>3,3(x-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即—17x+10=0,

2

解得x=5或x=—,•••xN3,且xeN*,.•.原方程的解为x=5.

3

例3.解不等式：图〉6图

919,

解：原不等式即——>6-------—

(9一步(11-x)!

也就是一—>-----------------------，化简得：X*2-321X+104>0,

(9-x)!(ll-x)-(10-x)-(9-x)!

解得x<8或x〉13,又•••24x49,且xwN*,

所以,原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.

求证：(：：：(磬〃

例4.1)4=<•<2)=1.3-5…(2—1).

2-n\

n\

证明:⑴(〃—加)！=〃！=4；,，原式成立.

(T7-m)!

(2〃)！_2/?-(2«-l)-(2n-2)---4-3-2-l

\Z)—■

2〃•加2〃•加

2”〃・(〃一1)・・21・(2〃-1)(2〃一3>・・3・1

2〃•加

〃!/-3…(2〃-3)(2〃-1)=1.3.5…(2〃-1)=右边

n\

二原式成立.

[OQ1

例5.化简:(1)—+—+—+•••+—；(2)lxl!+2x2!+3x3!+---+nxn!.

2!3!4!n\

⑴解：原式=1!—工+工—工+工—工+・一+―i——-

2!2!3!3!4!(77-1)!n

⑵提示：由("+1)!=(〃+1)〃！=〃义〃!+〃！，得〃x〃！=(〃+1)!—加，

原式+1・

说明：—=—1-------

n\(w-1)!n\

教学后记:

课题：1.2.1排列(2)第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年—月一日执行时间：一年一月一日

教学目标：批注

知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化

归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.

教学重点：排列、排列数的概念.

教学难点：排列数公式的推导

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

教学过程：

例L（课本例2）.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队

要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素

中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是4^=14X13=182.

例2.（课本例3）.（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1

本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不

同的送法？

解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不

同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是

4；=5X4X3=60.

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方

法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是

5X5X5=125.

例8中两个问题的区别在于：（1）是从5本不同的书中选出3本分

送3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（2）中，由于不

同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘

法计数原理进行计算.

例3.（课本例4）.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的

三位数？分析：在本问题的。到9这10个数字中，因为。不能排在百位上，

而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素.一般的，我们可以

从特殊元素的排列位置人手来考虑问题

解法1:由于在没有重复数字的三位

数中，百位上的数字不能是0,因此可以7位十位个位

分两步完成排列.第1步，排百位上的数

字，可以从1到9这九个数字中任选1-----------

,,.A；个用个

个，有况种选法；第2步，排十位和个位二

上的数字，可以从余下的9个数字中任选

2个，有4种选法（图1.2—5）.根据分步乘法计数原理，所求的三位数有

4•团=9X9X8=648（个）.

解法2:如图1.2—6所示，符合条件的三位数可分成3类.每一位数

字都不是位数有A母个，个位数字是0的三位数有揭个，十位数字是0的三

位数有揭个.根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有

《+团+团=648个.

解法3:从。到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A：。，其中0在

百位上的排列数是耳，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三

位数的个数，即所求的三位数的个数是

4：-团=10X9X8-9X8=648.

四、课堂练习：

〃！

1.若工==，则（）

3!

⑷4：(B)(Q/(0<3

2.与434不等的是（）

(^)4(5)814（C）io4(。)4?

3.若其=2〃3则加的值为（)

⑷5⑻3(Q6(D)7

彳“笛2^+34

4.计算：--——汽=_____；

9!-4媪•(*〃)！

5.若2＜誓“2,则相的解集是.

4-1

6.(1)已知=10x9x・・・x5,那么m=

(2)已知9!=362880,那么蜀=_；

(3)已知其：=56,那么〃=；

(4)已知4：=74,“那么〃=.

7.一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假

定每股岔道只能停放1列火车)？

8.一部纪录影片在4个单位轮映，每--单位放映1场，有多少种轮映次序？

答案：1.B2.B3.A4.1,15.{2,3,4,5,6}

6.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24.

课外作业：习题1.2A组1,2,3,4,5

教学总结：

排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定

顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根

据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的

排列顺序也相同.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会

“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

教学后记：

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一

个是“反过来剔”.前者指，按照要求，点点选出符合要求的方案；后者指，

先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列

数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能

运用排列数公式进行计算。

课题：1.2.1排列(3)第一课时总序第一个教案

课型：新授课编写时时间：一年一月一日执行时间：一年—月一日

教学目标：批注

知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化

归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.

教学重点：排列、排列数的概念.

教学难点：排列数公式的推导

教学用具：多媒体、实物投影仪.

教学方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

教学过程：

例1.(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共

有多少种不同的送法？

(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少

种不同的送法？

解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中

任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：4=5x4x3=60,所

以，共有60种不同的送法.

（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方

法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5x5x5=125,

所以，共有125种不同的送法.

说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分

送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，

给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有

联系，要用分步计数原理进行计窠

例2.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,

每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可

以表示多少种不同的信号？

解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有£种；

第二类用2面旗表示的信号有用种：

第三类用3面旗表示的信号有用种，

由分类计数原理，所求的信号种数是：+4+4=3+3x2+3x2x1=15,

答：一共可以表示15种不同的信号.

例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一

辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第步：把4位司机分配到四辆不同班

次的公共汽车上