空间向量运算的坐标表示高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一

1.3.2空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算(1)空间向量的坐标:一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.注意:向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如向量a=(x,y,z),点A(a,b,c).(2)类比平面向量的坐标运算学习空间向量的坐标运算:空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算公式与平面向量的类似,学习中可以类比推广.推广时注意向量坐标表示的元素个数不同,向量在平面上用二元有序实数对表示,如a=(x,y),而在空间中,向量用三元有序实数组表示,如b=(x,y,z).2.空间向量数量积及其性质的坐标表示(1)两个空间向量平行、垂直与两个平面向量平行、垂直的表达式实质上是一致的.判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直即可.(2)空间两条直线夹角的取值范围与向量夹角的取值范围不同,当两直线方向向量的夹角为钝角时,两直线的夹角是与此钝角互补的锐角.探究点一

空间向量的坐标运算解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6).a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7.(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14.(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.例1(1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).

C

B图1-3-10变式

(3)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a+3b)·(a-2b)=

.

[解析](3)由a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),得2a+3b=(26,-13,-2),a-2b=(-8,4,-8),故(2a+3b)·(a-2b)=26×(-8)+(-13)×4+(-2)×(-8)=-244.-244[素养小结]利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则,同时掌握下列技巧:(1)在运算中注意相关公式的灵活运用,如(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等.(2)进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算.探究点二

空间向量平行、垂直的坐标表示及应用

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点.求证:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点.求证:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点.求证:①AB1∥GE,AB1⊥EH;②A1G⊥DF,A1G⊥DE.

D

变式

(3)如图1-3-11,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是侧棱CC1上的任意一点,在线段A1C1上是否存在一个定点P,使得D1P总垂直于AE,请说明理由.图1-3-11

[素养小结]利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量,再研究平行、垂直关系.(4)根据运算结果解释相关问题.拓展

已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点,若OA⊥BD,OA⊥BE,则球O的表面积为

.

16π探究点三

利用空间向量的坐标运算求夹角及长度例3

如图1-3-12,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求异面直线EF与CG所成角的余弦值;(2)求线段CF的长.图1-3-12

B[素养小结]利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤:(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标.(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算.(4)转化:转化为夹角与距离问题.拓展

如图1-3-13①所示,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,得到图1-3-13②.(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2)设E为BC的中点,求直线AE与直线DB所成角的余弦值.图1-3-13

1.求解向量运算的坐标表示问题通常利用坐标运算的公式即可.例1已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2),a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6),a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7,(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14,(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.

C2.注意区别向量平行与垂直的坐标表示.例3设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,a·b,并确定λ,μ的关系,使λa+μb与z轴垂直.解:2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16).3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28).a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=-21.由(λa+μb)·(0,0,1)=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,知λ=2μ,故只要λ,μ满足λ=2μ即可使λa+μb与z轴垂直.例4已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),分别求满足下列条件的实数k的值:(1)(ka+b)∥(a-3b);(2)(ka+b)⊥(a-3b).

3.利用向量的坐标解决探究性问题,一般先假设满足题意的元素存在,再建立坐标系,转化为向量求解.

1.已知a=(1,2,1),b=(2,-4,1),则2a+b等于 (

)A.(4,-2,0) B.(4,0,3)C.(-4,0,3) D.(4,0,-3)[解析]2a+b=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3),故选B.B

D

C

A5.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),