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文档简介
专题06整式的加减重难点题型专训(十一大题型)【题型目录】【知识梳理】【经典题型一同类项的判断】【例1】(2022秋·湖南永州·七年级统考期中)下列各组单项式中,是同类项的是(
)A.与 B.与C.与 D.与【变式训练】1.(2022秋·安徽阜阳·七年级校考阶段练习)下列各组单项式中,是同类项的是(
)A.与 B.与 C.与 D.与2.(2022·全国·七年级假期作业)在下列单项式中:①;②;③;④;⑤;⑥,说法正确的是()A.②③⑤是同类项 B.②与③是同类项C.②与⑤是同类项 D.①④⑥是同类项3.(2020秋·江苏连云港·七年级江苏省新海高级中学校考期末)有下列四对单项式:(1)与;(2)与;(3)与;(4)与.其中所有不是同类项的序号为4.(2020秋·七年级校考课时练习)在多项式中,同类项有;5.(2023秋·六年级单元测试)若与的和是单项式,则m+n=.6.(2022秋·全国·七年级期末)若与是同类项,试求的值.7.(2021秋·江苏·七年级专题练习)把(x-y)看成一个整体合并同类项:5(x-y)2+2(x-y)-3(x-y)2+(x-y)-3.5.【经典题型二合并同类项问题】【例2】(2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末)下列运算中,正确的是(
)A. B. C. D.【变式训练】1.(2023秋·山东枣庄·七年级统考期末)已知关于,的整式与的和为单项式,则的值为(
)A.1 B.0 C. D.2.(2022秋·江苏扬州·七年级校考期中)下列合并同类项中,正确的是(
)A. B. C. D.3.(2022秋·山东德州·七年级校考期末)已知m、n为常数,代数式化简之后为单项式,则的值有个.4.(2022秋·云南楚雄·七年级统考期末)若,则.5.(2023·全国·九年级专题练习)合并同类项=.6(2022秋·江苏常州·七年级统考期中)计算:(1)(2)(3)7.(2023·江苏·七年级假期作业)定义一种新运算:对于任意有理数和,有,为常数且,如:.(1)①=(用含有m,n的式子表示);②若,求的值;(2)请你写出一组m,n的值,使得对于任意有理数,,均成立.【经典题型三已知同类项求指数中字母或代数式的值】【例3】(2023秋·全国·七年级专题练习)如果单项式与的和仍然是一个单项式,则的值为(
)A. B. C. D.【变式训练】1.(2023秋·云南昆明·七年级统考期末)若与是同类项,则的值为(
)A. B. C. D.2.(2023秋·河北承德·七年级统考期末)若单项式与的和仍是单项式,则的值为(
)A.-21 B.21 C.-29 D.293.(2023秋·天津和平·七年级天津市第二南开中学校考期末)若与是同类项,则的值是.4.(2023秋·山东济宁·七年级校考期末)若单项式与的差仍是单项式,则.5.(2023秋·陕西延安·七年级校考期末)已知单项式与单项式是同类项,求的值.6.(2023秋·七年级单元测试)如果关于x、y的两个单项式2mxay3和-4nx4yb是同类项(其中xy≠0)(1)求a、b的值;(2)如果这两个单项式的和为0,求(m-2n-1)2018的值.【经典题型四去括号与添括号】【例4】(2023·上海·七年级假期作业)下列去括号或添括号正确的是(
)A. B.C. D.【变式训练】1.(2023秋·湖南永州·七年级统考期末)下列各项中,去括号正确的是()A. B.C. D.2.(2023秋·全国·七年级专题练习)在下列去括号或添括号的变形中,错误的是(
)A.a-(b-c)=a-b+c B.a-b-c=a-(b+c)C.(a+1)-(-b+c)=1+b+a+c D.a-b+c-d=a-(b+d-c)3.(2023秋·广东广州·七年级校联考期末)当时,的值为6,当时,这个多项式的值是.4.(2023·全国·九年级专题练习)若,,.5.(2023秋·四川乐山·七年级统考期末)有理数a、b、c在数轴上的对应点位置如下图,且,化简:6.(2023秋·云南昭通·七年级统考期中)阅读材料:我们知道,类似地,我们把看成一个整体,则.我们称这种解题方法为“整体思想”.(1)把看成一个整体,合并________;(2)已知,求的值;(3)已知,,,求的值.【经典题型五已知字母的值求代数式的值】【例5】(2022秋·广东汕头·七年级统考期末)若与互为相反数,则的值是(
)A. B.8 C. D.9【变式训练】1.(2023春·浙江·九年级专题练习)如果四个互不相同的正整数,,,满足,则的最大值为(
)A. B. C. D.2.(2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第四中学校考期末)已知,,且,则(
)A. B. C.或 D.或3.(2023春·江苏徐州·七年级统考期中)若、满足,则.4.(2023秋·广东河源·七年级统考期末)若,,,且,,则5.(2023·江苏·七年级假期作业)已知,,且,求的值.6.(2023·上海·七年级假期作业)已知:,其中为常数,当时,;当时,.求的值.【经典题型六已知式子的值求代数式】【例6】(2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中)当时,;当时,则(
)A. B. C. D.【变式训练】1.(2023春·江苏扬州·七年级统考期中)已知,那么的值是(
)A.2021 B.2022 C.2023 D.20242.(2023春·浙江·七年级专题练习)已知实数满足,有下列结论:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则,其中结论正确的有(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.(2023秋·重庆南岸·七年级校考期末)若,互为倒数,,互为相反数,的绝对值为2,则.4.(2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期中)当时,的值为,则的值为.5.(2023秋·山东济宁·七年级统考期末)阅读材料:“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,如把某个多项式看成一个整体进行合理变形,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,例:化简.解:原式参照本题阅读材料的做法进行解答:(1)若把看成一个整体,合并的结果是________;(2)已知,求的值;(3)已知,,,求的值.6.(2023春·广西南宁·七年级统考期末)阅读材料:我们知道:,类似地,我们把看成一个整体,则,“整体思想”是中学教学课程中的一种重要的思想方法,它在方程、多项式的求值中应用极为广泛.(1)尝试应用:把看成一个整体,合并的结果是______.(2)已知,求的值.(3)拓展探索:已知,,,求的值.【经典题型七整式的加减运算】【例7】(2023春·云南昭通·七年级统考期末)某同学在完成化简:的过程中,具体步骤如下:解:原式①②③以上解题过程中,出现错误的步骤是(
)A.① B.② C.③ D.①,②,③【变式训练】1.(2023·上海·七年级假期作业)若,,则和的大小关系是(
)A. B. C. D.无法确定2.(2023秋·山东济南·七年级统考期末)有依次排列的3个整式:x,,,对任意相邻的两个整式,都用右边的整式减去左边的整式,所得之差写在这两个整式之间,可以产生一个新整式串:x,7,,,,则称它为整式串1;将整式串1按上述方式再做一次操作,可以得到整式串2;以此类推通过实际操作,得出以下结论:①整式串2为:x,,7,x,,,,,;②整式串3的和为;③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2;④整式串2022的所有整式的和为;上述四个结论正确的有(
)个A.1 B.2 C.3 D.43.(2023·江苏·七年级假期作业)计算的结果是.4.(2023秋·湖北孝感·七年级统考期末)已知,,则.5.(2023春·云南昭通·七年级校联考期末)计算:(1)(2)(3)先化简,再求值:,其中.6.(2023·河北唐山·统考模拟预测)已知:整式.(1)化简整式;(2)若,①求整式;②在“□”的“□”内,填入“,,,”中的一个运算符号,经过计算发现,结果是不含一次项的整式,请你写出一个符合要求的算式,并计算出结果.【经典题型八整式加减的应用】【例8】(2023春·浙江温州·七年级校联考期中)如图,小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④.若长方形②与③的周长和为,则正方形与正方形④的周长和为(
)
A. B. C. D.【变式训练】1.(2023秋·河北保定·七年级统考期末)如图,两个面积分别为10,17的图形叠放在一起,两个阴影部分的面积分别为a,,则的值为(
)
A.7 B.14 C. D.2.(2023春·浙江·七年级统考期末)如图,小明将长方形纸片①剪去两个部分,得到数字“6”(图②),小明将剪去的部分拼成长方形③,图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤,经过测量和计算,小明发现长方形③与长方形⑤的周长相等,则长方形⑤中长与宽的比值是(
)
A. B. C. D.3.(2023春·重庆忠县·七年级统考期末)如图长方形由图1、2、3、4、5拼成,设图1、2、3是边长分别为a,b,c的正方形,图4是长方形,图5是正方形.对于判断:①;②图4的周长为;③;④长方形的周长为,其中正确的是(填编号).4.(2023春·浙江绍兴·七年级统考期末)如图1,周长为20的长方形纸片剪成①,②,③,④号正方形和⑤号长方形,并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中,则没有覆盖的阴影部分的周长为
5.(2023秋·河南南阳·七年级校联考期末)疫情肆虐,为了满足市场上对口罩的需求,某厂家决定生产、两种款式的口罩,每天两种口罩的生产量共个,两种口罩的成本和售价如下表:成本(元/个)售价(元/个)A0.51B2.54设每天生产种口罩个.(1)①每天生产种口罩__________________个;②用含的代数式表示该工厂每天的生产成本,并进行化简;(2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润(利润=售价-成本),并将所列代数式进行化简;(3)当时,求每天获得的利润.6.(2023春·山西吕梁·七年级统考期末)阅读下面材料并解决问题.我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小.当不能直接比较时就要考虑进行一定的转化,其中“求差法”就是常用的方法之一、所谓“求差法”,就是通过先求差、变形,然后利用差的符号来确定它们的大小.例如要比较代数式,的大小,只要求出它们的差,判断出差的符号就可确定与的大小关系,即:若,则;若,则;若,则.请你应用以上材料解决下列问题:(1)用“求差法”探究大小关系时,所体现出的数学思想是()A.分类讨论
B.数形结合
C.化归思想
D.建模思想(2)制作某产品有两种用料方案,方案一:用块型钢板、块型钢板;方案二:用块型钢板、块型钢板.已知型钢板的面积比型钢板的面积大.若设每块型钢板的面积为,每块型钢板的面积为,从省料角度考虑,应选哪种方案?请说明理由.(3)试比较图和图中两个矩形的周长和的大小.(的长度不确定)
【经典题型九整式的加减中的化简求值问题】【例9】(2022秋·河北·七年级校联考阶段练习)小明在计算多项式减去多项式时,误计算成加上这个多项式,结果得到答案,若,互为倒数,则多项式的值为(
)A. B. C. D.【变式训练】1.(2023春·浙江杭州·七年级校考期中)若整式,则整式的值是(
)A.0 B.5 C.10 D.152.(2023·全国·七年级假期作业)若为最大的负整数,的倒数是-0.5,则代数式值为(
)A.-6 B.-2 C.0 D.0.53.(2023·全国·九年级专题练习)已知,则代数式的值是.4.(2023·全国·九年级专题练习)若,则化简并代入后的结果是.5.(2023秋·云南临沧·七年级统考期末)先化简,再求值:,其中,.6.(2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末)已知,.(1)化简的值;(2)当,时,求的值.【经典题型十整式加减中的无关型问题】【例10】(2022秋·八年级单元测试)关于x,y的代数式中不含有二次项,则k的值为(
)A.3 B. C.4 D.【变式训练】1.(2023秋·全国·七年级专题练习)若代数式的值与x、y的取值无关,那么k的值为(
)A. B.1 C. D.02.(2023秋·河北邯郸·七年级统考期末)已知:关于,的多项式不含二次项,则的值是(
)A.-3 B.2 C.-17 D.183.(2023·全国·九年级专题练习)若多项式与多项式相加后不含二次项,则的值为.4.(2023秋·山东枣庄·七年级校考期末)若关于a,b的多项式中不含项,则m=.5.(2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习)已知代数式.(1)当时,求的值;(2)若的值与y的取值无关,求x的值.6.(2023春·江西吉安·七年级统考期中)七年级学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关,求a的值”,通常的解题方法是:把看作字母,a看作系数合并同类项,因为代数式的值与x的取值无关,所以含x项的系数为0,即原式,所以,则.(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关,求m值;(2)已知,且的值与x无关,求y的值;【能力提升】(3)7张如图1的小长方形,长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为,左下角的面积为,当的长变化时,的值始终保持不变,求a与b的等量关系.【经典题型十一整式加减运算的综合】【例11】(2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中)已知两个整式,,用整式与整式求和后得到整式,整式与整式作差后得到整式,整式与整式求和后得到新的整式,整式与整式作差后得到新的整式,…,依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式.下列说法:①当时,;②整式与整式结果相同;③;④.正确的个数是(
)A. B. C. D.【变式训练】1.(2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末)有依次排列的两个不为零的整式,用后一个整式与前一个整式求和后得到新的整式,用整式与前一个整式作差后得到新的整式,用整式与前一个整式求和后得到新的整式,依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式.下列说法:①当时,;②;③;④.其中,正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.32(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习)对于若干个数,先将每两个数作差,再将这些差的绝对值进行求和,这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”,例如,对于1,2,3进行“差绝对值运算”,得到:.①对,3,5,9进行“差绝对值运算”的结果是35;②x,,5的“差绝对值运算”的最小值是;③a,b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种;以上说法中正确的个数为(
)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中)一个四位数(其中a,b,c,d均为不小于1,且不大于9的整数),若(),且k为整数,称m为“k型数”,例如,对于4675,∵,则4675为“5型数”;对于3526,∵,则称3526为“型数”;若四位数m是“3型数”,是“型数”,将m的百位数字与十位数字交换位置,得到一个新的四位数数n,n也是“3型数”,则满足条件的所有四位数m为.4.(2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末)定义:对于任意一个三位自然数m,若m满足十位数字比百位数字大1,个位数字比十位数字大1,那么称这个三位数为“向上数”;对于任意一个三位自然数n,若n满足十位数字比百位数字小1,个位数字比十位数字小1,那么称这个三位数为“向下数”.将“向上数”m的7倍记为,“向下数”n的8倍记为,若是整数,则称每对m,n为“七上八下数对”.在所有“七上八下数对”中,的最大值是.5.(2023春·重庆云阳·八年级校联考期中)对于一个三位自然数,将各个数位上的数字分别倍后取个位数字,得到三个新的数字,,,我们对自然数规定一个运算:例如:,其各个数位上的数字分别倍后再取个位数字分别是:,则.根据材料内容,那么.若已知两个三位数,为整数,且,,若能被整除,则的最大值是.6.(2023春·广东清远·八年级校联考期中)我们把形如:,,,的正整数叫“轴对称数”,例如:22,131,2332,40604……(1)写出一个最小的五位“轴对称数”.(2)设任意一个位的“轴对称数”为,其中首位和末位数字为,去掉首尾数字后的位数表示为,求证:该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除.(3)若一个三位“轴对称数”个位数字小于或等于4与整数的和能同时被5和9整除,求出所有满足条件的三位“轴对称数”.7.(2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习)材料一:若一个四位数M的各个数位数字之和为16,并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2,百位数字与个位数字之差的绝对值等于2,则这个四位数M为“差2数”.例如:,∵,且,∴6244是“差2数”.又如:,∵,∴4725不是“差2数”.材料二:若一个四位数N的各个数位数字成比例,则这个四位数N为“成比例数”.例如:,∵各个数位数字由小到大排列后为1,2,3,6,满足,∴1362为“成比例数”.又如:,∵各个数位数字由小到大排列后为1,2,3,4,,∴4312不是“成比例数”.(1)1735是“差2数”吗?是“成比例数”吗?请说明理由;(2)若一个四位数Q既是“差2数”,又是“成比例数”,请求出所有满足条件的Q.
专题06整式的加减重难点题型专训(十一大题型)【题型目录】【知识梳理】【经典题型一同类项的判断】【例1】(2022秋·湖南永州·七年级统考期中)下列各组单项式中,是同类项的是(
)A.与 B.与C.与 D.与【答案】B【分析】根据同类项的定义即可求解,所含字母相同,且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项.【详解】解:A、与,字母相同,但对应字母的次数不同,不是同类项,故该选项不符合题意;B、与是同类项,故该选项符合题意;C、与,所含字母不尽相同,不是同类项,故该选项不符合题意;D、与,字母相同,但对应字母的次数不同,不是同类项,故该选项不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了同类项的定义,掌握同类项的定义是解题的关键.【变式训练】1.(2022秋·安徽阜阳·七年级校考阶段练习)下列各组单项式中,是同类项的是(
)A.与 B.与 C.与 D.与【答案】B【分析】根据同类项所含的字母相同,相同字母的指数相同,逐一分析判定即得,其中的π表示圆周率,是数字因数,不是字母因数.【详解】A.与,与不是同类项,不合题意;B.与,
与是同类项,符合题意;C.与,
与不是同类项,不合题意;D.与,与不是同类项,不合题意.故选:B.【点睛】本题主要考查了同类项,解决问题的关键是熟练掌握同类项的定义.2.(2022·全国·七年级假期作业)在下列单项式中:①;②;③;④;⑤;⑥,说法正确的是()A.②③⑤是同类项 B.②与③是同类项C.②与⑤是同类项 D.①④⑥是同类项【答案】B【分析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同),即可判断.【详解】解:A、②③是同类项,⑤与②③不是同类项,故不符合题意;B、②与③是同类项,故符合题意;C、②和⑤所含字母相同,但相同字母的指数不相同,不是同类项,故不符合题意;D、①④⑥所含字母不同,不是同类项.故不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了同类项的判定,掌握同类项的定义,所含字母相同,且相同字母的指数相等,是判断同类项的关键.3.(2020秋·江苏连云港·七年级江苏省新海高级中学校考期末)有下列四对单项式:(1)与;(2)与;(3)与;(4)与.其中所有不是同类项的序号为【答案】(1)(2)【分析】根据同类项的定义,即可求得.【详解】根据同类项的定义,与是同类项,与是同类项故答案为:(1)(2)【点睛】本题考查同类项的定义,掌握同类项的定义是解题的关键.4.(2020秋·七年级校考课时练习)在多项式中,同类项有;【答案】-2x,5x【解析】根据同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,进行判断即可.【详解】解:-2x与5x是同类项;故答案为:-2x,5x.【分析】本题考查了同类项的知识,解题的关键是掌握同类项的定义.5.(2023秋·六年级单元测试)若与的和是单项式,则m+n=.【答案】5【分析】根据与的和是单项式,可知与是同类项,可得m-1=2,2n-1=3,据此即可解答.【详解】解:∵与的和是单项式,∴与是同类项,∴m-1=2,2n-1=3,解得m=3,n=2,∴m+n=3+2=5,故答案为:5.【点睛】本题考查了同类项概念的应用,熟练掌握同类项的定义是解题的关键.6.(2022秋·全国·七年级期末)若与是同类项,试求的值.【答案】【分析】根据同类项所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,可得x,y的值,再将整式化简代入即可得到答案.【详解】解:由与是同类项,知,可得,所以当时,原式.【点睛】本题主要考查同类项的定义和整式的化简,利用相同字母指数相同来求解是解题的关键.7.(2021秋·江苏·七年级专题练习)把(x-y)看成一个整体合并同类项:5(x-y)2+2(x-y)-3(x-y)2+(x-y)-3.5.【答案】2(x-y)2+(x-y)-3.5【分析】由题意可知把看成一个整体,根据合并同类项的法则进行计算即可.【详解】原式【点睛】本题主要考查了合并同类项,掌握合并同类项的法则是解题的关键.【经典题型二合并同类项问题】【例2】(2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末)下列运算中,正确的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用合并同类项的方法,逐一判断即可.【详解】A、,故此选项错误;B、,故此选项错误;D、,故此选项错误;故选:C.【点睛】本题考查同类项的定义及合并同类项的运算,熟练掌握合并同类项只是把同类项的系数相加减,字母和字母的次数不变是解此题的关键.【变式训练】1.(2023秋·山东枣庄·七年级统考期末)已知关于,的整式与的和为单项式,则的值为(
)A.1 B.0 C. D.【答案】A【分析】此题分两种情况进行讨论,当合并结果为的同类项时,则;当合并结果为的同类项时,则,根据算式分别求出即可.【详解】解:∵与的和为单项式,∴当合并结果为的同类项时,则,得.∴.当合并结果为的同类项时,则,得.∴.故选:A.【点睛】本题主要考查了合并同类项,解题的关键是根据已知求出a、b的值.2.(2022秋·江苏扬州·七年级校考期中)下列合并同类项中,正确的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】直接利用合并同类项法则判断得出即可.【详解】A、无法计算,故选项错误,不符合题意;B、,故选项错误,不符合题意;C、,选项正确,符合题意;D、,故选项错误,不符合题意;故选C.【点睛】此题主要考查了合并同类项,正确把握合并同类项法则是解题关键.3.(2022秋·山东德州·七年级校考期末)已知m、n为常数,代数式化简之后为单项式,则的值有个.【答案】3【分析】代数式化简之后为单项式,代数式能进行合并,根据同类项的概念即可求解.【详解】若与为同类项,且系数互为相反数,∴,∴或∴或若与为同类项,且系数互为相反数,∴,∴或∴或综上所述:的值有3个,故答案为:3【点睛】本题考查同类项的概念,解题的关键是能够进行分情况讨论.4.(2022秋·云南楚雄·七年级统考期末)若,则.【答案】5【分析】由题意,得:为同类项,利用同类项的定义,字母和字母的指数都相同,求出,再代值计算即可.【详解】解:,∴为同类项,∴,∴;故答案为:.【点睛】本题考查代数式求值.熟练掌握同类项的定义,是解题的关键.5.(2023·全国·九年级专题练习)合并同类项=.【答案】x2﹣x+1【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答.【详解】解:3x2﹣2x﹣2x2+x+1=x2﹣x+1,故答案为:x2﹣x+1.【点睛】本题考查了合并同类项,熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键.6(2022秋·江苏常州·七年级统考期中)计算:(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)原式合并同类项即可得到结果;(2)原式去括号合并即可得到结果;(3)原式去括号合并即可得到结果.【详解】(1)解:原式;(2)解:原式;(3)解:原式.【点睛】本题考查整式的加减,解题的关键是掌握去括号,合并同类项法则.7.(2023·江苏·七年级假期作业)定义一种新运算:对于任意有理数和,有,为常数且,如:.(1)①=(用含有m,n的式子表示);②若,求的值;(2)请你写出一组m,n的值,使得对于任意有理数,,均成立.【答案】(1)①;②(2),(答案不唯一)【分析】(1)①根据所给的新运算,把相应的数代入运算即可;②根据所给的新运算,把相应的数代入运算即可;(2)对比与,结合条件从而可求解.【详解】(1)①,故答案为:;②,,整理得:,;(2),,,,,,则或,当时,对于任意有理数,,均成立,当,时,均成立(答案不唯一).【点睛】本题主要考查列代数式,有理数的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.【经典题型三已知同类项求指数中字母或代数式的值】【例3】(2023秋·全国·七年级专题练习)如果单项式与的和仍然是一个单项式,则的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据题意可知单项式与是同类项,再根据同类项,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,可得和的值,从而得结论.【详解】解:单项式与的和仍然是一个单项式,单项式与是同类项,,,解得:,,.故选:.【点睛】此题主要考查了同类项,熟记同类项的定义是解答本题的关键.【变式训练】1.(2023秋·云南昆明·七年级统考期末)若与是同类项,则的值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据同类项的定义即可求出和的值,从而求出的值.【详解】解:与是同类项,则,,则,故选B.【点睛】本题考查的整式同类项,解题的关键在于熟练掌握同类项的含义,同类项即所含字母相同并且相同字母的指数也相同.2.(2023秋·河北承德·七年级统考期末)若单项式与的和仍是单项式,则的值为(
)A.-21 B.21 C.-29 D.29【答案】A【分析】根据同类项的定义,含有相同的字母,相同的字母相同,即可求解m,n的值,则代数式的值即可求解.【详解】解:根据题意得:m-2=3,2n=4,则m=5,n=2,故.故选:A.【点睛】本题考查了同类项的定义,理解定义是关键.3.(2023秋·天津和平·七年级天津市第二南开中学校考期末)若与是同类项,则的值是.【答案】【分析】根据同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,可得关于m和n的方程,解出可得出m和n的值,即可求出结果.【详解】解:∵与是同类项,∴,,∴,,∴,故答案为:【点睛】此题考查了同类项的知识,解答本题的关键是掌握同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,熟练掌握其性质是解决此题的关键.4.(2023秋·山东济宁·七年级校考期末)若单项式与的差仍是单项式,则.【答案】【分析】根据差是单项式,可得它们是同类项,再根据同类项,可得的值,根据有理数的减法,可得答案.【详解】∵单项式与的差仍是单项式,∴单项式与是同类项,,,故答案为:.【点睛】本题考查了合并同类项,先根据差是单项式,得出它们是同类项,求出的值,再求出答案.5.(2023秋·陕西延安·七年级校考期末)已知单项式与单项式是同类项,求的值.【答案】7【分析】利用同类项的定义求出与的值即可,再代入所求式子计算即可.定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项.【详解】解:单项式与单项式是同类项,,,解得,,.【点睛】本题考查了同类项,以及代数式求值,熟练掌握同类项的定义求出与的值是解本题的关键.6.(2023秋·七年级单元测试)如果关于x、y的两个单项式2mxay3和-4nx4yb是同类项(其中xy≠0)(1)求a、b的值;(2)如果这两个单项式的和为0,求(m-2n-1)2018的值.【答案】(1)a=4,b=3;(2)1.【分析】(1)直接利用同类项的定义得出a,b的值;(2)利用两个单项式的和为0,得出m,n的值,进而得出答案.【详解】(1)∵关于x、y的两个单项式2mxay3和-4nx4yb是同类项(其中xy≠0),∴a=4,b=3;(2)∵2mxay3-4nx4yb=0,∴2m-4n=0,即m-2n=0,∴(m-2n-1)2018=1.【点睛】此题主要考查了合并同类项,正确把握同类项的定义是解题关键.【经典题型四去括号与添括号】【例4】(2023·上海·七年级假期作业)下列去括号或添括号正确的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根据去括号法则或添括号法则计算判断即可.【详解】解:A.,故本选项错误;B.,故本选项错误;C.,故本选项正确;D.,故本选项错误.故选:C.【点睛】本题考查了去括号法则,添括号法则,熟练掌握法则是解题的关键.【变式训练】1.(2023秋·湖南永州·七年级统考期末)下列各项中,去括号正确的是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根据去括号法则,逐一进行判断即可.【详解】解:A、,选项错误,不符合题意;B、,选项错误,不符合题意;C、,选项错误,不符合题意;D、,选项正确,符合题意;故选D.【点睛】本题考查去括号.熟练掌握去括号法则:括号前为“+”,括号里面的每一项符号不变,括号前为“-”,括号里面的每一项的符号都要发生改变,是解题的关键.2.(2023秋·全国·七年级专题练习)在下列去括号或添括号的变形中,错误的是(
)A.a-(b-c)=a-b+c B.a-b-c=a-(b+c)C.(a+1)-(-b+c)=1+b+a+c D.a-b+c-d=a-(b+d-c)【答案】C【分析】根据去括号法则和添括号法则进行分析即可.【详解】解:A、原式=a-b+c,正确不符合题意;B、原式=a-(b+c),正确不符合题意;C、原式=a+1+b-c=1+b+a-c,错误符合题意;D、原式=a-(b-c+d)=a-(b+d-c),正确不符合题意,故选:C.【点睛】本题考查了整式的加减,掌握去括号和添括号的法则,注意符号的变化情况是解题的关键.3.(2023秋·广东广州·七年级校联考期末)当时,的值为6,当时,这个多项式的值是.【答案】【分析】根据题意列等式,化简整理等式和代数式,整体代入求值即可.【详解】解:∵当时,的值为6,∴,∴,∴当时,.故答案为:.【点睛】本题考查了代数式求值,添括号的应用,解题的关键是掌握整体代入求值.4.(2023·全国·九年级专题练习)若,,.【答案】49【分析】先去括号,再合并同类项,将整化简,然后把a、b值代入化简式计算即可.【详解】解:,当,时,原式故答案为:49.【点睛】本题考查整式化简求值,熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键.5.(2023秋·四川乐山·七年级统考期末)有理数a、b、c在数轴上的对应点位置如下图,且,化简:【答案】【分析】由数轴可得:,结合,再化简绝对值,再添括号,整体代入代数式求值即可.【详解】解:由数轴可得:,而,∴,,,∴.【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小,化简绝对值,有理数的减法运算法则的理解,合并同类项,添括号的应用,掌握以上基础知识是解本题的关键.6.(2023秋·云南昭通·七年级统考期中)阅读材料:我们知道,类似地,我们把看成一个整体,则.我们称这种解题方法为“整体思想”.(1)把看成一个整体,合并________;(2)已知,求的值;(3)已知,,,求的值.【答案】(1)(2)(3)8【分析】(1)把看作是整体,直接合并同类项即可;(2)先把化为,再整体代入计算即可;(3)先去括号,再添括号,再整体代入求值即可.【详解】(1)解:;(2)∵,∴;(3)∵,,,∴.【点睛】本题考查的是合并同类项,利用整体代入法求解代数式的值,熟练的利用整体思想解决问题是解本题的关键.【经典题型五已知字母的值求代数式的值】【例5】(2022秋·广东汕头·七年级统考期末)若与互为相反数,则的值是(
)A. B.8 C. D.9【答案】D【分析】首先根据互为相反数的性质,可得,再根据乘方运算及绝对值的非负性,即可求得m、n的值,据此即可解答.【详解】解:与互为相反数,,,,解得,,,故选:D.【点睛】本题考查了互为相反数的性质,乘方运算及绝对值的非负性,代数式求值问题,求得m、n的值是解决本题的关键.【变式训练】1.(2023春·浙江·九年级专题练习)如果四个互不相同的正整数,,,满足,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据,,,是互不相等的正整数,可知,,,互不相等,再根据可判断出,,,的值,代入求解即可.【详解】解:四个互不相同的正整数,,,,,,,是互不相等的整数,,要使取最大值,则,,,,解得,,,,.故选A.【点睛】本题考查有理数的混合运算、代数式求值,解题的关键是根据已知条件求出,,,的值.2.(2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第四中学校考期末)已知,,且,则(
)A. B. C.或 D.或【答案】A【分析】利用平方根的定义及绝对值的代数意义求出x与y的值,结合条件,即可确定出的值.【详解】∵,∴或,∵,∴或,∵,∴当时,,∴;∴当时,,∴;故选:A【点睛】此题考查平方根的定义及绝对值的代数意义,解题关键在于分情况讨论3.(2023春·江苏徐州·七年级统考期中)若、满足,则.【答案】【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值,然后代入所求代数式计算即可.【详解】解:∵,∴,解得:,∴.故答案为.【点睛】本题考查了非负数的性质,掌握几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0是解答本题的关键.4.(2023秋·广东河源·七年级统考期末)若,,,且,,则【答案】或/或【分析】先根据绝对值的定义得到,,,再由绝对值的非负性得到,,由此可得,,,据此代值计算即可.【详解】解:∵,,,∴,,,∵,,∴,,∴,,,∴或,故答案为:或.【点睛】本题主要考查了绝对值的性质,代数式求值,正确求出,,是解题的关键.5.(2023·江苏·七年级假期作业)已知,,且,求的值.【答案】4或7【分析】先确定a,b的值,再计算求解.【详解】解:,,,,,或,当时,,当时,,即的值是4或7.【点睛】此题考查了运用绝对值的知识解决计算问题的能力,关键是能准确理解并运用以上知识.6.(2023·上海·七年级假期作业)已知:,其中为常数,当时,;当时,.求的值.【答案】【分析】把,代入原式,把,代入原式,再将两式相加即可得到答案.【详解】解:把,代入原式,得:,把,代入原式,得:,将两式相加,可得:,解得:.【点睛】本题主要考查的是已知多项式的值,求解未知系数的值,注意符号的变化是解本题的关键.【经典题型六已知式子的值求代数式】【例6】(2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中)当时,;当时,则(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】将,代入式子得到,把代入后变形,再代入即可求出最后结果.【详解】解:将,代入式子得:,将,代入式子得:,故选:.【点睛】本题考查了代数式求值,能够求出式子的值整体代入是解答本题的关键.【变式训练】1.(2023春·江苏扬州·七年级统考期中)已知,那么的值是(
)A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】D【分析】先将降次为,然后代入代数式,再根据已知条件即可求解.【详解】解:∵,∴,则,∴,故选:D.【点睛】本题考查了已知代数式的值求代数式的值,解决本题的关键是要将未知代数式进行降幂.2.(2023春·浙江·七年级专题练习)已知实数满足,有下列结论:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则,其中结论正确的有(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【分析】由,可知,得到①正确;当得,则,从而,则②错误;由得到,确定③正确;当,得,则,从而④正确;即可得到答案.【详解】解:①∵,∴,则①正确;②当,则,解得,则,∴,则②错误;③,,则,又,,则,,则③正确;④当,由,则,∴,则④正确;综上所述,结论正确的有①③④,故选:C.【点睛】本题考查代数式求值及恒等式证明,根据题意,结合四个结论中的代数式恒等变形是解决问题的关键.3.(2023秋·重庆南岸·七年级校考期末)若,互为倒数,,互为相反数,的绝对值为2,则.【答案】【分析】根据相反数、倒数以及绝对值的定义得到,,,,然后代入计算即可得出答案.【详解】∵,互为倒数,,互为相反数,的绝对值为2,∴,,,,∴,故答案为:.【点睛】本题考查的是有理数的混合运算,涉及到绝对值、相反数、倒数,代数式求值,正确理解绝对值、相反数、倒数的定义是解题的关键.4.(2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期中)当时,的值为,则的值为.【答案】【分析】首先根据时,的值为,可求得,再代入代数式进行计算,即可求解.【详解】解:当时,的值为,,解得,故答案为:.【点睛】本题考查了代数式求值问题,采用整体代入法是解决本题的关键.5.(2023秋·山东济宁·七年级统考期末)阅读材料:“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法,如把某个多项式看成一个整体进行合理变形,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,例:化简.解:原式参照本题阅读材料的做法进行解答:(1)若把看成一个整体,合并的结果是________;(2)已知,求的值;(3)已知,,,求的值.【答案】(1)(2)(3)6【分析】(1)利用合并同类项进行计算即可;(2)把变形为,再代入求值即可;(3)利用已知条件求出的值,再代入计算即可.【详解】(1)解:,故答案为:;(2)解:∵,∴;(3)解:,,,,,∴.【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值,关键是掌握整体思想,注意去括号时符号的变化.6.(2023春·广西南宁·七年级统考期末)阅读材料:我们知道:,类似地,我们把看成一个整体,则,“整体思想”是中学教学课程中的一种重要的思想方法,它在方程、多项式的求值中应用极为广泛.(1)尝试应用:把看成一个整体,合并的结果是______.(2)已知,求的值.(3)拓展探索:已知,,,求的值.【答案】(1)(2)(3)8【分析】(1)利用整体法的思想进行求解即可得;(2)利用整体法可得,代入即可求解;(3)将原式整理成,然后整体代入式子的值即可求解.【详解】(1)解:.故答案为:;(2)解:,,原式.(3)解:,,,,原式.【点睛】本题考查了合并同类项,代数式求值,理解整体法是解题的关键.【经典题型七整式的加减运算】【例7】(2023春·云南昭通·七年级统考期末)某同学在完成化简:的过程中,具体步骤如下:解:原式①②③以上解题过程中,出现错误的步骤是(
)A.① B.② C.③ D.①,②,③【答案】C【分析】根据整式的加减计算中,去括号的法则即可求解.【详解】错误的步骤是③正确的解答过程如下:原式①②③故答案为:C【点睛】本题考查了整式的加减,在去括号的时候要注意符号的变化,合并同类项时,系数相加减.【变式训练】1.(2023·上海·七年级假期作业)若,,则和的大小关系是(
)A. B. C. D.无法确定【答案】D【分析】利用作差法比较M与N的大小即可.【详解】解:∵,∴==,∴.故选:D.【点睛】本题考查的是整式的加减,熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键.2.(2023秋·山东济南·七年级统考期末)有依次排列的3个整式:x,,,对任意相邻的两个整式,都用右边的整式减去左边的整式,所得之差写在这两个整式之间,可以产生一个新整式串:x,7,,,,则称它为整式串1;将整式串1按上述方式再做一次操作,可以得到整式串2;以此类推通过实际操作,得出以下结论:①整式串2为:x,,7,x,,,,,;②整式串3的和为;③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2;④整式串2022的所有整式的和为;上述四个结论正确的有(
)个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据整式的加减运算法则进行计算,从而得出规律进行求解.【详解】解:∵第一次操作后的整式串为:,,,,,共个整式,第一次操作后的整式串的和为:,∴第二次操作后的整式串为,,,,,,,,,共个整式,故①的结论正确,符合题意;第二次操作后所有整式的和为:第三次操作后整式串为,,,,,,,,,,,,,,,,,共个整式,第三次操作后整式串的和为:,故②的结论正确,符合题意;故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为:,即整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小,故结论正确,符合题意;…∴第次操作后所有整式的积为,∴第次操作后,所有的整式的和为,故的说法不正确,不符合题意;正确的说法有①②③,共个.故选:C.【点睛】本题主要考查了整式的加减计算,数字类的规律探索,解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律.3.(2023·江苏·七年级假期作业)计算的结果是.【答案】【分析】设,化简求解即可.【详解】解:设,原式.故答案为:.【点睛】此题主要考查有理数的运算,解题的关键是根据题意把看作一个整体.4.(2023秋·湖北孝感·七年级统考期末)已知,,则.【答案】4【分析】由变形为,然后再整体代入计算求解即可.【详解】解:∵,,∴=====4,故答案为:4.【点睛】本题主要考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.5.(2023春·云南昭通·七年级校联考期末)计算:(1)(2)(3)先化简,再求值:,其中.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)先去括号,再合并同类项即可得到结果;(2)先去括号,再合并同类项即可得到结果;(3)先去括号,再合并同类项得到化简结果,然后把a的值代入计算即可求出值.【详解】(1)解:;(2)解:;(3),原式.【点睛】本题考查了整式的加减及化简求值,熟记合并同类项的法则是解题关键.6.(2023·河北唐山·统考模拟预测)已知:整式.(1)化简整式;(2)若,①求整式;②在“□”的“□”内,填入“,,,”中的一个运算符号,经过计算发现,结果是不含一次项的整式,请你写出一个符合要求的算式,并计算出结果.【答案】(1)(2)①②填入“”,【分析】(1)去括号,合并同类项进行计算即可;(2)①利用整式加减法则,进行计算即可;②根据结果不含一次项,得到经过运算后,一次项的系数为0,进行作答即可.【详解】(1)解:;(2)解:①∵,∴;②填入“”;.【点睛】本题考查整式的加减运算.熟练掌握整式加减的运算法则,是解题的关键.【经典题型八整式加减的应用】【例8】(2023春·浙江温州·七年级校联考期中)如图,小明计划将正方形菜园分割成三个长方形①②③和一个正方形④.若长方形②与③的周长和为,则正方形与正方形④的周长和为(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】设长方形②的宽为,长为,则长方形③的长为,设长方形③的宽为c,根据图形可得,进而得出正方形④的周长为,正方形的边长为,根据整式的加减即可求解.【详解】解:如图所示,设长方形②的宽为,长为,则长方形③的长为,设长方形③的宽为c,
则,∴,即,∵④是正方形∴正方形④的周长为,正方形的边长为∴与正方形④的周长和为,故选:D.【点睛】本题考查了整式的加减的应用,根据题意列出代数式是解题的关键.【变式训练】1.(2023秋·河北保定·七年级统考期末)如图,两个面积分别为10,17的图形叠放在一起,两个阴影部分的面积分别为a,,则的值为(
)
A.7 B.14 C. D.【答案】B【分析】直接利用已知图形得出空白面积−(空白面积)=大正六边形−小正六边形,进而得出答案.【详解】∵两个面积分别为10,17的图形叠放在一起,两个阴影部分的面积分别为a,,∴空白面积−(空白面积)=大正六边形−小正六边形∴故答案选:B.【点睛】本题考查了整式的加减,解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算.2.(2023春·浙江·七年级统考期末)如图,小明将长方形纸片①剪去两个部分,得到数字“6”(图②),小明将剪去的部分拼成长方形③,图②中数字“6”按图④分割的6个全等的长方形拼成长方形⑤,经过测量和计算,小明发现长方形③与长方形⑤的周长相等,则长方形⑤中长与宽的比值是(
)
A. B. C. D.【答案】C【分析】设小长方形纸片的长为b,宽为a,根据已知条件长方形③与长方形⑤的周长相等,求出比值即可.【详解】解:设小长方形纸片的长为b,宽为a,∴⑤的周长为,③的长为,宽为,∴③的周长为,又∵长方形③与长方形⑤的周长相等,∴,即,∴长方形⑤的长与宽的比值是,故选:C.【点睛】本题主要考查了长方形周长的问题,题目较为新颖.3.(2023春·重庆忠县·七年级统考期末)如图长方形由图1、2、3、4、5拼成,设图1、2、3是边长分别为a,b,c的正方形,图4是长方形,图5是正方形.对于判断:①;②图4的周长为;③;④长方形的周长为,其中正确的是(填编号).【答案】①③/③①【分析】根据图形分析各个边长之间的关系即可.【详解】由图可得,,故①正确;图4的长为,宽为,∴周长为,故②错误;图5从水平方向求得边长,从竖直方向求得边长,∴,整理得,故③正确;长方形的长为,宽为,∴周长为,故④错误;综上所述,正确的是①③,故答案为:①③.【点睛】本题主要考查整式加减运算,结合图形表示各边长是解题的关键.4.(2023春·浙江绍兴·七年级统考期末)如图1,周长为20的长方形纸片剪成①,②,③,④号正方形和⑤号长方形,并将它们按图2的方式放入周长为40的长方形中,则没有覆盖的阴影部分的周长为
【答案】30【分析】在图1中,设①号正方形的边长为x,②号正方形的边长为y,则③号正方形的边长为,④号正方形的边长为,根据图1的周长求得,再根据图2的周长求得,进而可由没有覆盖的阴影部分的周长为求解即可.【详解】解:在图1中,设①号正方形的边长为x,②号正方形的边长为y,则③号正方形的边长为,④号正方形的边长为,由图1中长方形的周长为20得,解得:,如图2,
由图2中的长方形的周长为40得,∴,由图2得没有覆盖的阴影部分的周长为,故答案为:30.【点睛】本题考查整式加减法与几何图形的应用,巧妙设未知数,列出代数式表示各个图形的边长,利用整体思想求值是解答的关键.5.(2023秋·河南南阳·七年级校联考期末)疫情肆虐,为了满足市场上对口罩的需求,某厂家决定生产、两种款式的口罩,每天两种口罩的生产量共个,两种口罩的成本和售价如下表:成本(元/个)售价(元/个)A0.51B2.54设每天生产种口罩个.(1)①每天生产种口罩__________________个;②用含的代数式表示该工厂每天的生产成本,并进行化简;(2)用含的代数式表示该工厂每天获得的利润(利润=售价-成本),并将所列代数式进行化简;(3)当时,求每天获得的利润.【答案】(1)①②元(2)(元(3)55000元【分析】(1)①根据每天两种口罩的生产量共50000个,即可得出答案;②由题意A种口罩成本为0.5元/个,B种口罩的成本为2.5元/个,列代数式即可得出答案;(2)由题意A种口罩利润为0.5元/个,B种口罩的利润为1.5元/个,列代数式即可得出答案;(3)根据(2)所得结果即可得出答案.【详解】(1)①若设每天生产A种口罩x个,则每天生产B种口罩个.故答案为:.②根据题意可得,该工厂每天的生产成本为:(元);(2)根据题意可得,该工厂每天获得的利润为:(元);(3)当时,(元).所以当时,每天获得的利润为55000元.【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值,根据题意列出代数式是解决本题的关键.6.(2023春·山西吕梁·七年级统考期末)阅读下面材料并解决问题.我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小.当不能直接比较时就要考虑进行一定的转化,其中“求差法”就是常用的方法之一、所谓“求差法”,就是通过先求差、变形,然后利用差的符号来确定它们的大小.例如要比较代数式,的大小,只要求出它们的差,判断出差的符号就可确定与的大小关系,即:若,则;若,则;若,则.请你应用以上材料解决下列问题:(1)用“求差法”探究大小关系时,所体现出的数学思想是()A.分类讨论
B.数形结合
C.化归思想
D.建模思想(2)制作某产品有两种用料方案,方案一:用块型钢板、块型钢板;方案二:用块型钢板、块型钢板.已知型钢板的面积比型钢板的面积大.若设每块型钢板的面积为,每块型钢板的面积为,从省料角度考虑,应选哪种方案?请说明理由.(3)试比较图和图中两个矩形的周长和的大小.(的长度不确定)
【答案】(1)C(2)应选方案二,见解析(3)见解析【分析】(1)根据题意得知求差法”探究大小关系时,分为了,,三种情况,所以体现出的数学思想是分类讨论;(2)根据题意表示出两种方案的用料,利用求差法进行比较即可;(3)根据图形表示出矩形的周长和的大小,利用求差法进行比较即可.【详解】(1)解:“求差法”探究大小关系时,转化为差与零的大小比较,体现出的数学思想是化归思想,故选:C;(2),,,从省料角度考虑,应选方案二;(3)由图知:,,.①当时,,即,;②当时,,即,;③当时,,即,.【点睛】本题考查了整式的加减,读懂题意理解求差法,并会运用是解答本题的关键.【经典题型九整式的加减中的化简求值问题】【例9】(2022秋·河北·七年级校联考阶段练习)小明在计算多项式减去多项式时,误计算成加上这个多项式,结果得到答案,若,互为倒数,则多项式的值为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出M,再根据,互为倒数,即,代入计算即可.【详解】解:根据题意,得∴∵,互为倒数,即,∴.故选:C.【点睛】此题主要考查了整式的加减运算,倒数,正确掌握相关运算法则是解题关键.【变式训练】1.(2023春·浙江杭州·七年级校考期中)若整式,则整式的值是(
)A.0 B.5 C.10 D.15【答案】C【分析】利用去括号、合并同类项化简后,再整体代入求值即可.【详解】解:,,.故选:C.【点睛】本题考查整式的加减,掌握去括号、合并同类项的法则是正确计算的前提.2.(2023·全国·七年级假期作业)若为最大的负整数,的倒数是-0.5,则代数式值为(
)A.-6 B.-2 C.0 D.0.5【答案】B【分析】先根据题意求出a=-1,b=-2,然后再化简代入求值即可.【详解】解:原式==∵为最大的负整数,的倒数是-0.5,∴=-1,=-2当=-1,=-2时,原式==-2.故应选B.【点睛】本题考查了整式的化算求值问题,正确进行整式的运算是解题的关键.3.(2023·全国·九年级专题练习)已知,则代数式的值是.【答案】【分析】先去括号,再计算整式的加减,然后将代入计算即可得.【详解】解:,将代入得:原式,故答案为:.【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值、代数式求值,熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键.4.(2023·全国·九年级专题练习)若,则化简并代入后的结果是.【答案】【分析】先求出,然后化简原式,据此求解即可.【详解】解:∵,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查了整式的化简求值,解题的关键在于能够把当成一个整体.5.(2023秋·云南临沧·七年级统考期末)先化简,再求值:,其中,.【答案】,1【分析】原式去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值;【详解】解:原式,∴当,时,原式.【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键6.(2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末)已知,.(1)化简的值;(2)当,时,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用去括号的法则去掉括号后,合并同类项即可;(2)将,值代入(1)的代数式计算即可.【详解】(1),,;(2)当,时,原式.【点睛】本题主要考查了整式的加减与化简求值,熟练掌握去括号的法则是解题的关键.【经典题型十整式加减中的无关型问题】【例10】(2022秋·八年级单元测试)关于x,y的代数式中不含有二次项,则k的值为(
)A.3 B. C.4 D.【答案】B【分析】直接利用合并同类项法则得出关于k的等式,进而得出答案.【详解】解:关于x,y的代数式中不含有二次项,,解得,故选:B.【点睛】此题主要考查了合并同类项,正确得出是解题的关键.【变式训练】1.(2023秋·全国·七年级专题练习)若代数式的值与x、y的取值无关,那么k的值为(
)A. B.1 C. D.0【答案】A【分析】合并同类项后,的系数为0,进行求解即可.【详解】解:,∵代数式的值与x、y的取值无关,∴,∴;故选A.【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题.熟练掌握合并同类项后,无关项的系数为0,是解题的关键.2.(2023秋·河北邯郸·七年级统考期末)已知:关于,的多项式不含二次项,则的值是(
)A.-3 B.2 C.-17 D.18【答案】C【分析】先对多项式进行合并同类项,然后再根据不含二次项可求解a、b的值,进而代入求解即可.【详解】解:,∵不含二次项,∴,,∴,,∴.故选:C.【点睛】本题主要考查整式加减中的无关型问题,熟练掌握整式的加减是解题的关键.3.(2023·全国·九年级专题练习)若多项式与多项式相加后不含二次项,则的值为.【答案】3.【分析】先进行整式相加,结果不含二次项说明二次项系数为0,据此列方程即可.【详解】解:,结果不含二次项,则,解得,,故答案为:3.【点睛】本题考查了多项式不含某项和整式加减以及一元一次方程的解法,解题关键是熟练运用整式加减进行计算,根据系数为0列方程.4.(2023秋·山东枣庄·七年级校考期末)若关于a,b的多项式中不含项,则m=.【答案】2【分析】原式去括号合并得到最简结果,根据结果不含ab项,求出m的值即可.【详解】原式,由结果不含项,得到,解得:.故答案为:2.【点睛】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.5.(2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习)已知代数式.(1)当时,求的值;(2)若的值与y的取值无关,求x的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)先把A、B的代数式代入化简,再把代入化简后的式子计算即可;(2)先把A、B的代数式代入化简,结合的值与y的取值无关可得关于x的方程,解方程即可.【详解】(1);当时,原式;(2);∵的值与y的取值无关,∴,解得:.【点睛】本题考查了整式的加减,正确理解题意、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键.6.(2023春·江西吉安·七年级统考期中)七年级学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关,求a的值”,通常的解题方法是:把看作字母,a看作系数合并同类项,因为代数式的值与x的取值无关,所以含x项的系数为0,即原式,所以,则.(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关,求m值;(2)已知,且的值与x无关,求y的值;【能力提升】(3)7张如图1的小长方形,长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为,左下角的面积为,当的长变化时,的值始终保持不变,求a与b的等量关系.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由题可知代数式的值与的取值无关,所以含项的系数为0,故将多项式整理为,令系数为0,即可求出;(2)根据整式的混合运算顺序和法则化简可得,根据其值与无关得出,即可得出答案;(3)设,由图可知,,即可得到关于的代数式,根据取值与可得.【详解】(1)解:,其值与的取值无关,,解得,,答:当时,多项式的值与的取值无关;(2),,,的值与无关,,即;(3)设,由图可知,,,当的长变化时,的值始终保持不变.取值与无关,.【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式,整式的化简求值,熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键.【经典题型十一整式加减运算的综合】【例11】(2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中)已知两个整式,,用整式与整式求和后得到整式,整式与整式作差后得到整式,整式与整式求和后得到新的整式,整式与整式作差后得到新的整式,…,依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式.下列说法:①当时,;②整式与整式结果相同;③;④.正确的个数是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意依次计算出,,,,,,,,,,,,,,,根据观察可发现每个一循环,将代入中可判断①;根据上述即可判断②;,再代入计算即可判断③;先计算出,则,以此可判断④.【详解】解:由题意计算可得:,,,,,,,,,,,,,,以此类推,每个一循环,当时,,故①说法正确;由上述可知,整式与整式结果不相等,故②说法错误;,,,故③说法正确;,,故④说法正确.正确的结论有①③④,共个.故选:C.【点睛】本题考查了整式的加减、规律型:数字的变化类,解题关键是根据题意进行正确的计算,认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,通常将数字与序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算,从而得出规律.【变式训练】1.(2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末)有依次排列的两个不为零的整式,用后一个整式与前一个整式求和后得到新的整式,用整式与前一个整式作差后得到新的整式,用整式与前一个整式求和后得到新的整式,依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式.下列说法:①当时,;②;③;④.其中,正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作、发现规律,然后再依次判断即可解答.【详解】解:由题意依次计算可得:,,,,,,,,,,,,当时,,即①正确;由,则②正确;由变形过程中,不会出现整式为负的情况,故③错误;观察发现:,以此类推可得:,即,故④正确.故选:D.【点睛】题考查了整式的加减、数字规律等知识点,正确理解题意和熟练进行整式的运算并发现规律是解题的关键.2(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习)对于若干个数,先将每两个数作差,再将这些差的绝对值进行求和,这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”,例如,对于1,2,3进行“差绝对值运算”,得到:.①对,3,5,9进行“差绝对值运算”的结果是35;②x,,5的“差绝对值运算”的最小值是;③a,b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种;以上说法中正确的个数为(
)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算,即可判定;②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算,即可判定;③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算,再分类讨论,化简绝对值符号,即可判定.【详解】解:①对,3,5,9进行“差绝对值运算”得:,故①正确;②对x,,5进行“差绝对值运算”得:表示的是数轴上点到和5的距离之和,的最小值为,,,5的“差绝对值运算”的最小值是:,故②不正确;对a,b,c进行“差绝对值运算”得:,当,,,;当,,,;当,,,;当,,,;当,,,;当,,,;当,,,;当,,,;a,b,c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种,故③不正确,综上,故只有1个正确的,故选:B.【点睛】本题考查了新定义运算,化简绝对值符号,整式的加减运算,熟练掌握绝对值运算,整式的运算是解题的关键.3.(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中)一个四位数(其中a,b,c,d均为不小于1,且不大于9的整数),若(),且k为整数,称m为“k型数”,例如,对于4675,∵,则4675为“5型数”;对于3526,∵,则称3526为“型数”;若四位数m是“3型数”,是“型数”,将m的百位数字与十位数字交换位置,得到一个新的四位数数n,n也是“3型数”,则满足条件的所有四位数m为.【答案】7551或6662【分析】设,m是“3型数”,将m的百位数字与十位数字交换位置,得到一个新的四位数n,n也是“3型数”,可得,设,由是“型数”,分两种情况:(Ⅰ)时,,可得,因x、d是整数,2x、2d是偶数,而3是奇数,此种情况不存在;(Ⅱ)时,,可得①,②,即有,,从而可得m是7551或6662.【详解】解:设,∵m是“3型数”,将m的百位数字与十位数字交换位置,得到一个新的四位数n,n也是“3型数”,∴且,将两式相减整理得:,∴m的十位与百位数字相同,设,由是“﹣3型数”,分两种情况:(Ⅰ)时,,∵四位数是“3型数”,∴,∵是“型数”,∴,∴,整理化简得:,∵x、d是整数,2x、2d是偶数,而3是奇数,∴无整数解,此种情况不存在;(Ⅱ)时,,∵是“型数”,∴,即①,∵m是“3型数”,∴,即②
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