第11讲二次函数中矩形、正方形的存在性问题专题探究(原卷版+解析)

第11讲二次函数中矩形、正方形的存在性问题专题探究【知识总结】方法策略：抓矩形两大性质【内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题】正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题【类题训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D为直线y＝x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．​4．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥AC交抛物线于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，连接DP，交AC于点E，连接BE，BP，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线y'，点M是新抛物线y'对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线的对称轴与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），C为该抛物线图象上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，当点C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；（3）点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．8．若二次函数的图象经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．（1）点C的坐标为；（2）求二次函数的解析式；（3）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N．①若MN：NC＝2：5，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标；（3）已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．10．平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点P（，3）是“二倍点”．（1）在点A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍点”的有；（2）若点E为双曲线y＝﹣（x＞0）上任意一点．①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？②若将点E向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点F．求证：点F为“二倍点”．（3）已知“二倍点”M在抛物线y＝x2（x＞0）的图象上，“二倍点”N在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，点G在x轴上，坐标平面内有一点H，若以点M，N，G，H为顶点的四边形是矩形，请直接写出点H的坐标．11．已知，二次函数y＝﹣x2+x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

第11讲二次函数中矩形、正方形的存在性问题专题探究【知识总结】方法策略：抓矩形两大性质【内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题】正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题【类题训练】1．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，即可求解；（2）由△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB，即可求解；（3）根据矩形的性质，由中点坐标公式和对角线BD＝MN列出方程组，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；（2）过点作PH∥y轴交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），则△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB＝×（﹣x2﹣2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），∵﹣＜0，则△BCP面积有最大值，此时，点P（，）；（3）存在，理由：设点M的坐标为：（0，m）或（n，0），点N（s，t），由点B、D的坐标得，BD2＝20，由中点坐标公式和对角线BD＝MN得：或，解得：或，即点N（4，1）或（4，3）或（3，4）．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴＝，∵CD＝4AC，∴＝＝4，∵OA＝1，∴OF＝4，∴D点的横坐标为4，代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y＝kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．∴△ADE的面积的最大值为a，∴a＝，解得：a＝．∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P（1，m），①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，则Q（﹣4，21a），m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2＝，∵a＞0，∴a＝，∴P1（1，），②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，则Q点的横坐标为6，此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，∴xQ＝2，∴Q（2，﹣3a）．∴yP＝8a∴P（1，8a）．∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°∴AP2+PD2＝AD2∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2即a2＝，∵a＞0，∴a＝∴P2（1，4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D为直线y＝x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．​【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过P作PH⊥x轴于点G，交BC于点H．设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），则PH＝﹣m2+3m，由二次函数的性质可求得△BPC的面积最大值，从而求出此时四边形PBDC面积的最大值，P点坐标；（3）设P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0），分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得，，解得，，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC的表达式为：y＝kx+b′，将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′中，得，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），∴PH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△BPC＝S△PCH+S△BPH，＝PH•OG+PH•BG＝PH（OG+BG）＝PH×OB＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△BPC面积的最大值为．∵BC与直线y＝x平行，∴S△DBC＝S△OBC＝OB•OC＝×3×3＝，∴四边形PBDC面积的最大值为+＝．∵当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣）；（3）存在，理由如下：设P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0），I．如图3﹣1，当点E在原点时，即点E（0，0），CE＝PE＝3，∠CEP＝90°，∵四边形PECQ为正方形，∴点Q（3，﹣3），II．如图3﹣2，当四边形PECQ为正方形时，CE＝PE，∠CEP＝∠PEO+∠CEO＝90°，作PI⊥x轴，垂足为I，作QH⊥y轴，垂足为H，又∵∠CEO+∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠PEO，∴△OCE≌△PEI（ASA）∴CO＝IE＝3，EO＝IP＝m2﹣2m﹣3，同理：QH＝CO＝IE＝3，CH＝EO＝IP，∴OE＝OI+IE＝m+3，HO＝IO，∴m+3＝m2﹣2m﹣3，解得：m＝，（m＝＜0，不合题意舍去），∴HO＝IO＝，∴点Q（﹣3，），III．如图3﹣3，当四边形PECQ为正方形时，由上可知：PI＝OE＝CH，IE＝QH＝OC＝3，∴OE＝IE﹣IO＝3+m，∴m＝m2﹣2m﹣3﹣3，解得：m＝，（m＝＞0，不合题意舍去）∴HO＝IO＝，∴点Q（﹣3，）；IV．如图3﹣4，当四边形PECQ为正方形时，由上可知，PI＝OE＝CH，EI＝HQ＝OC＝3，∴OE＝IE+IO＝3+|m|＝3﹣m，∴3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m＝﹣2，（m＝3＞0，不合题意舍去）∴HO＝IO＝2，∴点Q（3，2），综上所述：点Q坐标为（﹣3，）；（﹣3，）；（3，﹣3）；（3，2）．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥AC交抛物线于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，连接DP，交AC于点E，连接BE，BP，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线y'，点M是新抛物线y'对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．【分析】（1）令y＝0，求出x的值，进而可求出点A，B的坐标，令x＝0，得出y的值，可得出点C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的坐标，再利用BD∥AC可得出直线BD的解析式，联立直线BD与抛物线的解析式即可得出点D的坐标；（2）过点P作PQ∥y轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，由此可得出点P和点Q的坐标，进而求出PQ的长，由三角形面积公式可得出△BDP的面积；连接AD，由平行可知，△ABD的面积与△BDE的面积相等，根据S△BPE＝S△BPD﹣S△BDE，可表达S与m的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可；（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位，由此可得y′的解析式，得出抛物线y′的对称轴，得出点M的横坐标，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则△ACM为直角三角形，需要分类讨论：①点A为直角顶点；②点C为直角顶点；③点M为直角顶点，求出点M的坐标，再根据矩形的性质可得出点N的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，即y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∴直线AC的解析式为：y＝x+2，∵BD∥AC，∴直线BD的解析式为：y＝x+b，将点B（1，0）的坐标代入直线，可得+b＝0，∴b＝﹣，∴直线BD的解析式为：y＝x﹣，令x﹣＝﹣x2﹣x+2，解得x＝1（舍）或x＝﹣4，∴D（﹣4，﹣）．（2）如图，过点P作PQ∥y轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣m+2），Q（m，m﹣），∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）＝﹣m2﹣2m+，∴S△BPD＝•（xB﹣xD）•PQ＝×（1+4）•（﹣m2﹣2m+）＝﹣m2﹣5m+．连接AD，∵AC∥BD，∴S△BDE＝S△ABD＝××4＝，∴S△BPE＝S△BPD﹣S△BDE＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+．∵﹣＜0，∴当m＝﹣时，S△BPE的最大值为：，此时P（﹣，）．（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位，∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴y′＝﹣（x+2）2+2，∴抛物线y′的对称轴为x＝﹣2；设点M的纵坐标为t，则M（﹣2，t），∴AM2＝（﹣2+3）2+（b﹣0）2＝1+b2，AC2＝（0+3）2+（2﹣0）2＝13，CM2＝（﹣2﹣0）2+（b﹣2）2＝b2﹣4b+8，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则△ACM为直角三角形，需要分类讨论：①点A为直角顶点，∴AM2+AC2＝CM2，即1+b2+13＝b2﹣4b+8，解得b＝﹣1.5，由矩形的性质可知，N（1，0.5）．②点C为直角顶点，∴AC2+CM2＝AM2，即13+b2﹣4b+8＝1+b2，解得b＝5，∴M（﹣2，﹣1.5），由矩形的性质可知，N（﹣5，3）．③点M为直角顶点，∴AM2+CM2＝AC2，即1+b2+b2﹣4b+8＝13，解得b＝1+或b＝1﹣，∴M（﹣2，1+）或M（﹣2，1﹣），由矩形的性质可知，N（﹣1，1﹣）或N（﹣1，1+）．综上，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（1，0.5）或（﹣5，3）或（﹣1，1﹣）或（﹣1，1+）．5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入函数关系式，求出a、b的值，即可得出函数的解析式；（2）先求出点C的坐标，求出AC的解析式，设点D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用m表示出DE，EF，列出关于m的方程，解关于m的方程，得出m＝，或m＝3（不合题意，舍去），出点D的坐标即可；（3）设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3）；当BD⊥AC，AD为对角线时，当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，当AD⊥DH，AD为条边时，分三种情况进行讨论，求出点D的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点点A（3，0）和B（﹣1，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∵A（3，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点D（m，﹣m2+2m+3），∴E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，∴EF＝﹣m+3，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝CO，∴∠CAO＝45°，∴AE＝EF÷sin45°＝（3﹣m），∵DE＝AE，∴﹣m+3m＝（3﹣m），∴m＝，或m＝3（不合题意，舍去），把m＝代入得y＝﹣（）2+2+3＝2，∴点D坐标为（，2+1）；（3）存在，设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3），当BD⊥AC，AD为对角线时，过点D作DF⊥x轴于点F，交AC于点E，如图，根据（2）可知，∠CAO＝45°，∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBH＝∠AEF＝45°，∴∠DHE＝90°，∴∠HDE＝45°，∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBF＝∠BDF，∴DF＝BF，即t﹣（﹣1）＝﹣t2+2t+3，解得t＝2或t＝﹣1（舍去），∴点D的坐标为（2，3）；当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，∵∠CAO＝45°，∠DAC＝90°，∴∠DAB＝45°，∵∠DMA＝90°，∴∠MDA＝90°﹣45°＝45°，∴∠CMD＝∠MAD，∴MD＝MA，即﹣（﹣t2+2t+3）＝3﹣t，解t＝﹣2或t＝3（舍去），∴点D的坐标为（2，﹣5）；当AD⊥DH，AD为条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，∵BDA＝∠DMB＝∠DMA＝90°，∴∠BDM+∠ADM＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠ADM＝∠DBM，∴△BDM∽△DAM，∴DM：AM＝BM：DM，即（﹣t2+2t+3）：（3﹣t）＝（t+1）：（﹣t2+2t+3），解得t＝1+或t＝1﹣，∴点D的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；综上分析可知，点D的坐标为（2，3），（1﹣1），（1+，1），（﹣2，﹣5）．6．如图，抛物线的对称轴与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），C为该抛物线图象上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，当点C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；（3）点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为交点式，将B坐标代入解析式，进而求得结果；（2）作CD⊥x轴于D，可证明△AOB∽△CDA，从而，设C（m，﹣m2++3），从而得出m﹣1＝3（﹣，求得m的值，进而得出△AOB≌△CDA，从而AB＝AC，进一步得出结果；（3）在（2）的基础上根据对称性求得C点坐标，进而求得P点坐标，同样根据对称性求得另外两种情形．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，∴3＝﹣+k，∴k＝，∴y＝﹣＝﹣；（2）如图1，作CD⊥x轴于D，∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠DAC＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，∴△AOB∽△CDA，∴，设C（m，﹣m2++3），∴AD＝m﹣1，CD＝﹣m2++3，∴m﹣1＝3（﹣，∴m1＝﹣（舍去），m2＝4，∴AD＝3，∴OB＝AD，∴△AOB≌△CDA，∴AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴tan∠ABC＝tan45°＝1；（3）存在正方形ACPD，理由如下：如图2，由（2）知：△ABC是等腰直角三角形，∴当点D在B处时，四边形ACPD是正方形，根据对称性可得：作△ABC关于直线x＝1的对称△AC′D′，则四边形AC′PD′是正方形，∵B（0，3），C（4，1），∴C′（2，3），D′（﹣2，1），∵A（1，0），∴P（﹣1，4），如图3，作CE⊥x轴于E，当点C和D关于直线x＝1对称，且∠DAC＝90°时，四边形ACPD是正方形，此时△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE，设C（t，﹣+3），∴t﹣1＝﹣+3，∴t1＝﹣1﹣（舍去），t2＝﹣1+，此时C（﹣1+，﹣2），∴P（1，2），如图4，当点C和D关于直线x＝1对称，且∠DAC＝90°时，四边形ACPD是正方形，同上可得：CF＝AF，∴t﹣1＝﹣（﹣+3），∴t3＝3+，t4＝3﹣（舍去），∴C（3+，﹣），∴P（1，﹣2﹣4），综上所述：P（﹣1，4）或（1，3）或（1，﹣2﹣4）．7．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式并求出顶点D的坐标；（2）过点P作PM⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．先求得直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，），则点M（m，﹣m+4），然后可求得PM的长（用含m的代数式表示），最后得到△BCP与m的函数关系式，从而可求得当△BCP面积最大时，点P的坐标；（3）求出直线CD的解析式为y＝，将y＝4代入即可得解．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝+bx+c得，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4；∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴这个二次函数图象的顶点D的坐标为（1，）；（2）设P（m，），令y＝0，则，解得x1＝4，x2＝﹣2，∴C（4，0），又∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OC＝4，OA＝2，OB＝4，设直线BC的解析式为y＝kx+b．∴，解得：k＝﹣1，b＝4，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．如图1所示：过点P作PM⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．则M（m，﹣m+4），∴PM＝（m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m．∴S△BCP＝PM•OC＝＝﹣（m﹣2）2+4．∴当m＝2时，△BCP面积的最大值为4．此时点P的坐标为（2，4）；（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，∵D（1，），C（4，0），∴，解得，∴直线CD的解析式为y＝，如图2，过点B作BE∥x轴交CD于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，则四边形OBEF为矩形，∵B（0，4），∴EF＝4，将y＝4代入直线CD的解析式得，4＝，∴x＝，∴E（，4）．8．若二次函数的图象经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．（1）点C的坐标为（4，0）；（2）求二次函数的解析式；（3）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N．①若MN：NC＝2：5，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据轴对称性质即可求得点C的坐标；（2）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（3）①先求得B（0，﹣4），再运用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，设M（m，﹣2m﹣4），则N（m，0），由MN：NC＝2：5，可得5MN＝2NC，建立方程求解即可得出答案；②由正方形性质可得PQ⊥MN，PQ＝MN，进而得出P（2m+2，﹣m﹣2），由点P在对称轴上，可得2m+2＝1，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵点C与点A（﹣2，0）关于直线x＝1对称，∴C（4，0），故答案为：（4，0）；（2）把A（﹣2，0）、C（4，0）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x﹣4与y轴交于点B，∴B（0，﹣4），设直线AB的解析式为y＝kx+d，把A（﹣2，0）、B（0，﹣4）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，设M（m，﹣2m﹣4），则N（m，0），如图，∴MN＝2m+4，NC＝4﹣m，∵MN：NC＝2：5，∴5MN＝2NC，即5（2m+4）＝2（4﹣m），解得：m＝﹣1，∴M（﹣1，﹣2）；②∵以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），如图，连接PQ，则PQ⊥MN，PQ＝MN，∴P（2m+2，﹣m﹣2），∵点P在对称轴上，∴2m+2＝1，解得：m＝﹣，∴M（﹣，﹣3）．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标；（3）已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，将A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c求解即可；（2）如图，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，交BC于点E，设P（m，﹣m2+2m+3），确定BC的解析式y＝﹣x+3，于是PE＝﹣m2+3m，从而，所以时，S最大值为，进而求得；（3）设M（1，p），如图，BC2＝18，BM2＝p2﹣6p+10，CM2＝p2+4，分类讨论：当BC为对角线时，∠BMC＝90°，由勾股定理，BM2+CM2＝BC2，解得，设点N（n，q），则，从而得点或；另当BM为对角线时，∠BCM＝90°，同法求得N（﹣2，1），当MC为对角线时，∠MBC＝90°，同法求得点N（4，1）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，交BC于点E，设P（m，﹣m2+2m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+h（k≠0），得：，解得，∴y＝﹣x+3，则点E（m，﹣m+3），PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∴当时，S最大值为，，∴；（3）存在．设M（1，p），如图，BC2＝32+32＝18，BM2＝（1﹣0）2+（p﹣3）2＝p2﹣6p+10，CM2＝（1﹣3）2+（p﹣0）2＝p2+4，当BC为对角线时，∠BMC＝90°，由勾股定理，BM2+CM2＝BC2，∴p2﹣6p+10+p2+4＝18，解得，设点N（n，q），则：，解得，∴点或；如图，当BM为对角线时，∠BCM＝90°，BM2＝CM2+BC2，即p2﹣6p+10＝p2+4+18，解得p＝﹣2，则：，解得，∴点N（﹣2，1）；如图，当CM为对角线时，∠MBC＝90°，BM2+BC2＝CM2，即p2﹣6p+10+18＝p2+4，解得p＝4，则：，解得，∴点N（4，1），综上，点或或（﹣2，1）或（4，1）．10．平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点P（，3）是“二倍点”．（1）在点A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍点”的有B；（2）若点E为双曲线y＝﹣（x＞0）上任意一点．①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？②若将点E向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点F．求证：点F为“二倍点”．（3）已知“二倍点”M在抛物线y＝x2（x＞0）的图象上，“二倍点”N在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，点G在x轴上，坐标平面内有一点H，若以点M，N，G，H为顶点的四边形是矩形，请直接写出点H的坐标．【分析】（1）根据定义判断即可；（2）①根据实数的性质，可知当m增大时，减小，﹣增大，由此即可说明；②由平移可得F（m+1，﹣﹣1），再根据“二倍点”定义证明即可；（3）根据“二倍点”定义求出M（，3），N（2，2）；当MN是矩形的邻边时，过N点作NE⊥x轴交于E点，直线MN与x轴、y轴的交点D（3，0），C（0，6），由∠NGD＝∠OCD，可求G（﹣2，0），当N点平移后到G点，则M点平移后到H（﹣，1）；过M点作MQ⊥x中交于Q点，再由∠MFQ＝∠OCD，可求F（﹣，0），当M点平移后到（﹣，0），则N点平移后到H（﹣4，﹣1）；当MN为对角线时，G点不能在x轴上，故此时不存在．【解答】（1）解：点A（1，1）所作的矩形周长为2×（1+1）＝4，矩形面积为1×1＝1，∴点A（1，1）不是“二倍点”；B（﹣3，）所作的矩形周长为2×（+3）＝9，矩形面积为3×＝9，∴B（﹣3，）是“二倍点”；C（﹣6，3）所作的矩形周长为2×（6+3）＝18，矩形面积为3×6＝18，故答案为：B；（2）①解：设E（m，﹣），当m增大时，减小，﹣增大，∴函数值y随自变量x的增大而增大；②证明：由平移可得F（m+1，﹣﹣1），∴点F（m+1，﹣﹣1）所作的矩形周长为2×（m+1+1+）＝4+2m+，矩形面积为（m+1）（+1）＝2+m+，∵4+2m+＝2（2+m+），∴点F为“二倍点”；（3）解：设M（t，t2），N（n，n），H（x，y），∵M是“二倍点”，∴2（t+t2）＝2t•t2，解得t＝﹣1（舍）或t＝，∴M（，3）；∵N是“二倍点”，∴2（n+n）＝2n•n，解得n＝2，∴N（2，2）；设直线MN的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+6，当MN是矩形的邻边时，过N点作NE⊥x轴交于E点，∴直线MN与x轴、y轴的交点D（3，0），C（0，6），∵MN⊥GN，∴∠NGD＝∠OCD，∴tan∠OCD＝＝＝，∴GE＝4，∴OG＝2，∴G（﹣2，0），当N点平移后到G点，则M点平移后到H点，∴H（﹣，1）；过M点作MQ⊥x中交