2024-2025学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高三（上）第一次学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年长沙市麓山国际实验学校高三（上）第一次学情检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2−2x−2<0}，则A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.⌀2.复数z=2−4i1+i，则z的虚部为(

)A.3 B.−3 C.−i D.−13.已知向量a=(−1,2)，b=(−3,1)，则a在b上的投影向量为(

)A.(−32,12) B.(−4.已知函数f(x)=ln(−x2+ax−1)在[2,3]上单调递减，则A.(−∞,4] B.[6,+∞) C.(103,4]5.已知函数f(x)=3x−tlnx存在两个零点，则实数t的取值范围为(

)A.(e3,+∞) B.(−∞,e3)6.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(

)A.13 B.25 C.237.如图，在△OAB中，C是AB的中点，P在线段OC.上，且OC=2OP.过点P的直线交线段OA，OB分别于点N，M，且OM=mOB，ON=nOA，其中m，A.12 B.23 C.1 8.已知函数f(x)=3sinωx−cosωx(ω>0)在(0,π3)上存在最值，且在(A.(0,23] B.[52,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的命题有(

)A.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，则P(2<ξ<4)=0.34

B.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，求得线性回归方程为z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3

C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好

D.若样本数据x1，x2，⋯，x10.已知函数f(x)=3sinωxcosωx−sin2ωx+12A.ω=2

B.将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数

C.f(x)的图象关于点(−7π12,0)对称

D.11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，PA.三棱锥A1−APD的体积为定值

B.A1P//平面ACD1

C.AP+B1P的最小值为22

D.当A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a413.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,14.已知椭圆：x2a2+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是y轴正半轴上一点，PF1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，a=7，A为钝角，sin2B=37bcosB．

(1)求∠A；

(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．

①b=7；

②cosB=1314；

③csinA=52316.(本小题15分)

某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35．

(1)请将上述列联表补充完整；

(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；

(3)将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

附：χ2P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82817.(本小题15分)

如图所示，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AB．

(1)证明：AB⊥AC．

(2)若PA=PC=AB=AC=2，点M满足PB=3PM，求直线AP与平面ACM所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知直线x−2y+1=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|=415．

(1)求p；

(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且∠MFN=90°19.(本小题17分)

南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法⋅商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…第n+1层球数比第n层球数多n+1，设各层球数构成一个数列{an}.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求f(x)=ln(1+x)−x1+x的最小值；

(3)

参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.ABC

10.BC

11.ABD

12.95

13.1,n=13×14.615.解：(1)因为sin2B=37bcosB=2sinBcosB，cosB≠0，

所以sinB=314b，

在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，

因为a=7，所以sinA=32，

因为A为钝角，

所以A=2π3．

(2)若选条件①，因为b=7，a=7，

所以B=A=2π3，与A+B+C=π矛盾，故不合题意，舍去；

若选条件②，因为cosB=1314，所以sinB=1−cos2B=3314，

在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，

所以b=asinA⋅sinB=7sin2π16.解：(1)在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35，

则喜欢游泳的学生人数为100×35=60

喜欢游泳

不喜欢游泳

合计

男生

25

25

50

女生

35

15

50

合计

60

40100(2)∵χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(25×15−35×25)260×40×50×50≈4.1667<10.828，

∴依据小概率值α=0.001的独立性检验，不能认为喜欢游泳与性别有关联．

(3)由题意可得，X～B(3,35)，X所有可能取值为0，1，2，3，

X

0

1

2

3

P

8

36

5427故E(X)=3×3517.解：(1)如图：

证明：在平面APC中，过点P作AC的垂线，垂足为D，

因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面APC，

所以PD⊥平面ABC.又因为AB⊂平面APC，所以PD⊥AB，

又PA⊥AB，PA∩PD=P，PD⊂平面APC，PA⊂平面APC，

所以AB⊥平面APC，又AC⊂平面APC，故AB⊥AC．

(2)由(1)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0)，

故PB=(2,−1,−3),AC=(0,2,0)，

又因为PM=13PM=(23,−13,−33)，

所以AM=AP+PM=(0,1,3)+(23,−13,−33)=(218.解：(1)设A(xA,yA)，B(xB,yB)，

联立x−2y+1=0y2=2px，消去x并整理得y2−4py+2p=0，

由韦达定理得yA+yB=4p，yAyB=2p，

所以|AB|=(xA−xB)2+(yA−yB)2=5|yA−yB|=5×(yA+yB)2−4yAyB=415，

即2p2−p−6=0，

因为p>0，

解得p=2；

(2)由(1)知F(1,0)，

因为直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN的方程为x=my+n，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y2=4xx=my+n，消去x并整理得y2−4my−4n=019.解：(1)根据题意，a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，⋯，

则有a2−a1=2，a3−a2=3，⋯，an−an−1=n，

当n≥2时，an=(