平面向量的概念及线性运算（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题22平面向量的概念及线性运算5题型分类

彩题如工总

题型1:平面向量的基本概念

题型5:共线定理及期用

题型2:向量加、减法的几何意义

专题22平面向量的概念及线

性运算5题型分类

题型4:根据向量线性运算求参数

题型3：向量的线性运算

彩先也宝库

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模).

⑵零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

交换律：a-\-b—b-\~a；

加法三角形法则

结合律：(〃+5)+C=Q+3+C)

a

平行四边形法则

减法a—b=a+(­b)

a

几何意义

数乘\Aa\=W\a\,当%>0时，加的方向与a

的方向相同；

当卜0时,痴的方向与a的方向相反；k(a~\~b)=Xa~\~Xb

当2=0时，2a=0

3.向量共线定理

向量a(aWO)与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使6=痴.

4.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即京+

不用+惠4H------特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

5.若E为线段AB的中点，。为平面内任意一点，则5>=上市+协).

6.若A,B,C是平面内不共线的三点，则式+丽+无=00尸为△ABC的重心，AP=1(AB+AC).

7.对于任意两个向量a,b,都有眄一|训Wla土臼W|a|+|耳

彩偏题祕籍

平面向量的基本概念

平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4)言是与Q同方向的单位向量.

题型1：平面向量的基本概念

ab

l-L(2024高三上•辽宁•阶段练习)设a,b都是非零向量，下列四个条件中，能使时=恸一定成立的是()

22

A.a=-2bB.a=bC.a=2bD.同=忖

【答案】C

【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.

ab

【详解】因为时=M，故a,b同向.

对于A：a=—2b，a,b方向相反,A选项错误；

对于B:6=62,得出同=忖，不能得出方向，B选项错误；

ab

对于C:°=2b,a0方向向相同，则忖=时成立，C选项正确；

对于D:|d=W，不能确定°涉的方向，D选项错误.

故选：C.

1-2.（2024高三上•福建厦门•开学考试）下列命题不正确的是（）

A,零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab

C.若a,6都为非零向量，则使口+恸=°成立的条件是a与b反向共线

D.若a=b,b=c>贝!Ja=c

【答案】A

【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正

确；D选项，根据向量的性质得到D正确.

【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

abababn

C选项，因为,与W都是单位向量，所以只有当R与忖是相反向量，即°与b是反向共线时口+加［=。才

成立，故C正确；

D选项，由向量相等的定义知D正确.

故选：A

13（2024高一下•全国•课后作业）设〃是非零向量，力是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.“与4a的方向相反B.a与川。的方向相同

C.|-Aa|>|a|D.|-Aa|>|A|a

【答案】B

【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.

【详解】对于A,当;1>0时，.与;1〃的方向相同，当4<。时，々与;la的方向相反，故A不正确；对于B,

显然力,。，即B正确；

对于C,卜彳4=忆刎，由于|山与1的大小不确定，故卜与口的大小关系不确定，故C不正确；

对于D,囚17是向量，而卜2d表示长度，两者不能比较大小，故D不正确.

故选：B

。

平面向量的线性运算

平面向量线性运算的常见类型及解题策略

（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

（2）求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

题型2:向量加、减法的几何意义

2-1.（2024・四川南充•一模）已知正方形ABCD的边长为1,贝“42+2。-以卜（）

A.0B.72C.2D.28

【答案】D

【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可.

【详解】H^J|AB+BC-CA|=|AC-C4|=|AC+AC|=|2AC|=2|AC|,

|AC|=J|AB|2+|BC|2=0,

所以|A2+BC—C4]=2①.

故选：D.

2-2.（2024高三.河北•学业考试）化简以一P8+AB所得的结果是（）

A.2ABB.2BAC.0D.PA

【答案】C

【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.

【详解】PA-PB+AB=PA+AB—PB=PB—PB=3

故选：C

题型3：向量的线性运算

3-1.（2024•全国）在，ABC中，点。在边上，BD=2DA.记C4=〃?,C£>=〃，则CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边4?上，BD=2DA,所以3。=2%，即C£>-C8=2（C4-C£>）,

所以C8=3CD-2CA=3〃-2m=-2m+3n.

故选:B.

3-2.（2024高三上.云南德宏・期末）在ABC中，若AO为BC边上的中线，点E在AD上，且A£=2£D,

则EB=（）

A.-AB--ACB.-AC--AB

3333

7575

C.-AB——ACD.-AC——AB

6666

【答案】A

【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.

【详解】如图所示，在。ABC中，

因为AD为BC边上的中线，

所以。为BC的中点，

所以由平行四边形法则有：

AD=1（AB+AC）,

又点E在AD上，且AE=2£D

2

所以E4=-§A£>,

所以£B=£A+AB

=--AD+AB

3

=---x-（AB+AC\+AB

32、>

=--AB--AC+AB

33

=-AB--AC,

33

故选：A.

3-3.（2024•山东）已知平行四边形ABC。，点£,/分别是AB,BC的中点（如图所示），设A8=a,AD=b,

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结AC,贝IJAC为ABC的中位线，

3-4.（2024•全国）在△A3C中，AD为边上的中线，£1为的中点，则£5=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=3BA+GBD,之后应用向量

22

31

的加法运算法则——三角形法则，得到3C=A4+AC，之后将其合并，得到3石=7区4+:47,下一步应

44

31

用相反向量，求得日之丁C,从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+

222424、

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

3I

所以历=—AB——AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

3-5.（2024・广东佛山・模拟预测）在ABC中，AB=a,AC=b,AC=2EC,BC=2DC,线段与8E交

于点/，则CF=（）

,12,12,

A.—a+—bB.—a——b

3333

1212

C.——a+—bD.——a——b

3333

【答案】B

Ul®2UUB

【分析】根据中线性质得出AF=1A。，再由平面向量线性运算即可求得结果.

【详解】如下图所示：

B

由AC=2EC,BC=2DC可得E分别为BC,AC的中点，

uumouu®

由中线性质可得AF=§A。，

又A£>=；(AB+AC)=g(a+b),所以AR=：x：(a+6)=g(a+6),

110

因此cr二CA+AF=—b+—（d+b\=—a—b.

3、733

故选：B

3-6.（2022＞四川自贡•一模）如图所示的.ABC中，点。是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的

中点，贝L）E=（）

/4

X

B^L)

A.—-AB--ACB.--AB--AC

3663

5151

c.—-AB——ACD.--AB+-AC

5363

【答案】B

【分析】用Q据平面向量的线性运算求得正确答案.

【详解】1JE=DB+BE=-CB--AB

32

\C]--AB=--AB--AC.

3、7263

故选：B

题型4:方玄据向量线性运算求参数

4-1.（202«高三上•湖北黄冈•期中）在平行四边形ABCD中，点〃、N分别在线段和C。上，满足

B，CN=AND，^MN=-^AB+AD,则实数4=（）

AM=AMi

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】目三平面的向量的线性运算求解即可.

【详解】B^AM=AMB，CN=2ND，

贝！JAM=2（AB-AM）,所以=

、71+2

~^—DC,

同理ov=

1+A

MA+AD+DN=^-BA+AD+-^—DC,

所以MN=

1+21+/L

4-3.（2024高三上•全国•阶段练习）在平行四边形ASCD中，BE=2ED-AF=AC+2AB,若

/\I%

EF=XAB+〃A£）（4〃wR）,则一=（）

4

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

uimQuufliuum

【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得跖=]AB+：A。，从而得解.

【详解】AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD,

AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2{AD-AE）,

/.AE=—ADH—AB,

33

91Q1

EF=AF-AE=3AB+AD——AD——AB=-AB+-AD,

3333

EF=ZAB+JLIAD,

81.j

••4;=7，N=：=8.

334

故选：D.

4-4.（2024高三上.山东枣庄.期末）已知。为线段43上的任意一点，。为直线AB外一点，A关于点。的对

称点为C,^OD=xOB+yOC,则光一丁的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】依题意可得A、8、。三点共线，即可得到6®=404+（1-2）03,再由OC=_Q4,即可得到7=2,

x=l-X从而得解.

【详解】解：依题意可得A、B、。三点共线，所以0。=2。4+（1-#03,

又A关于点。的对称点为C,所以OC=-OA,

5LOD=xOB+yOC,所以。£>=xOB-火”，

所以_'=彳，x—1—A,则X-y=l_/l+2=1.

故选：C

4-5.（2024.全国.模拟预测）已知点。是,ABC的重心，过点。的直线与边AB,AC分别交于V,N两点，。为

ULUUUUL1UUU1

边BC的中点.若AD=xAM+/W（x,yeR）,贝！!*+>=（）

32i

A.-B.-C.2D.：

232

【答案】A

uuttiouuurouura

【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到=再由”,O,N三点共线,

即可求解.

【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得联=；，所以AQ=7A。，

AD32

3uumuuuruumuum9u10'2101

所以5AO=xAM+yATV,即AO=,

因为M,O,N三点共线，可得§2兀+§2>=1,所以x+y=/3

故选：A.

彩他题秘籍（二）

共线定理及其应用

利用共线向量定理解题的策略

（l）a〃》Oa=MSWO）是判断两个向量共线的主要依据.

⑵若a与b不共线且加=独，则4=9=0.

（3）若a=4五+〃（元（九〃为常数），则A,B,C三点共线的充要条件是>l+“=L

题型5:共线定理及其应用

5-1.（2024高三下.湖北.阶段练习）已知向量则“。与。共线”是“存在唯一实数X使得"劝”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】充分性根据6=0,“二。验证；必要性直接证明即可.

【详解】当6=0,。*0时，满足。与B共线，

但是不存在实数几使得0=劝，

故充分性不成立；

存在唯一实数A使得d=助则。与心共线成立，

即必要性成立.

故“。与b共线”是“存在唯一实数A使得a=Ab”的必要不充分条件.

故选：B.

5-2.（2024高二上•广西玉林•阶段练习）已知向量0,b不共线，且AB=a+46，BC=-a+9b，CD=3a-b，

则一定共线的是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出B3AC,再利用共线向量定理逐项判断作答.

【详解】向量a,b不共线，且AB=a+46，BC=—a+9b>CD=3a—b>

BD=BC+CD=2a+8b=2（a+4b）=2AB,则有而AB,B。有公共点8,有A,B,。共线，A是;

BC^O,不存在实数4,使得AB=X2C，因此AB,BC不共线，A,B,C不共线，B不是；

BC^O,不存在实数〃，使得CD=〃BC,因此BC,CD不共线，B,C,。不共线，C不是；

AC=AB+BC=13b^0^不存在实数,，使得CD=/AC，因此AC,CD不共线，A,C,。不共线，D不是.

故选：A

5-3.（2024高一下•陕西西安•阶段练习）若A,B,C是三个互不相同的点，贝r'A3=3AC”是“A,B,C=

点共线''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要条件、向量共线、三点共线的知识确定正确答案.

【详解】因为4B,C是三个互不相同的点，

所以AB,AC均不为零向量,

若AB=3AC，则43//4。,且42,4。有公共点人,则人，B,C三点共线，

若A,B,C三点共线，则48=几4（7（2力0）,不能得到48=347，

故"AB=3AC”是“A,B,C三点共线”的充分不必要条件.

故选：A.

5-4.（2024高三上•陕西铜川•期末）在ABC中，若38。=2CB-2c4，则点。（）

A.在直线AB上B.在直线AC上C.在直线BC上D.为，ABC的外心

【答案】A

【分析】根据向量的减法法则将已知条件化简，再利用向量共线定理可得结论.

【详解】因为32£>=2C2-2c4，

所以3BD=2CB-2CA=2（CB-CA）=2AB,

所以8。和共线，

因为BO和AB有公共端点8,

所以48。三点共线，

所以点O在直线AB上，

故选：A

5-5.（2024高三.全国・专题练习）在四边形ABC。中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b>则四边

形A5CD的形状是（）.

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.无法判断

【答案】C

【分析】利用向量加法运算的几何应用求AO,可知即可判断四边形ABC。的形状.

【详解】由AO=A2+8C+C£>=-8a-26，

:.AD=2BC，即AD//8C,而AD#3C,

/.A8CD为梯形.

故选：C

.21

5-6.（2024高三上•湖北襄阳•期末）已知a,b是两个不共线的向量，向量人+优共线，则实数r的值

为（）

A.——B.—C.—2D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.

_2171-21

【详解】向量a,6不共线，则ibHO,由6+幻,]。—§6共线，+ta=A(—a——b),XeR,

2121一

2)G+(1+—2)Z?=0,贝5|=0且1+=0,解得2=-3/=_2,

所以实数f的值为-2.

故选：C

5-7.(2024高一下•辽宁沈阳•期末)设两个非零向量a与。不共线.

⑴若A8=a+b，BC=2a+86，CD=3(a-分求证AB,。三点共线.

(2)试确定实数%,使h+6和二+归共线.

【答案】(1)证明见解析；

(2)笈=1或左=—1.

【分析】(1)转化为证明向量AB,2。共线，即可证明三点共线；

(2)由共线定理可知，存在实数4,使—+6=彳,+劭)，利用向量相等，即可求解％的值.

【详解】(1)因为A3=a+b,BC=2a+8b，CD=2>[a-by,

所以2O=BC+C£>=2a+86+3(”6)

=2a+86+3a-36=5(a+6)=5AB

所以AB,BD共线，

又因为它们有公共点B,

所以A,反£>三点共线；

(2)因为左6和。+上匕共线，

所以存在实数彳,使Aa+b=X(a+助，

所以ka+Z?=Aa+kAb，

即(k4)a=(k0l)b.

又a,b是两个不共线的非零向量,

所以左一/l=?U—1=0

所以左之—1=0,

所以左=1或%=—1.

一、单选题

1.（2024高三上.安徽•期中）已知平面向量a,b和实数％,则“2=篇”是“Z与B共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】

根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若°=用，则a与。共线，可知充分性成立；

若£与6共线，例如a#0,b=0,贝l|q=；lb不成立，可知必要性不成立；

所以“a=Ab”是“a与b共线”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2024高三上•云南德宏・期末）已知。为ABC的边BC的中点.若AB=a,AD=b，则AC=（）

A.2b+aB.2b-aC.2a—bD.2a+b

【答案】B

【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用AB=a,AO=6表示出AC.

【详解】由AC=AO+r>C=A£>+g8C=AD+g（BA+AC）=AO-gA3+gAC,

UUULUUIUUUU11

所以AC=2A。-AB=28-

A

3.（2024图三上,青海西宁,期末）已知向量a,b不共线，Mi=a-38，n=2a+xb<m//则芯=（）

22

A.—6B.—C.6D.—

33

【答案】A

【分析】

由向量平行的性质计算即可.

【详解】

因为根〃"，所以mXeR,

f1=24,

m=An>贝U<c,

[-3=xA.,

解得x=-6.

故选：A.

4.（2024•江苏南京•模拟预测）如图1,儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”

字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边

沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下

角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2,是一个纸风车示意图，则（）

C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=G

【答案】C

【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点E是线段AO的中点,

易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.

［详解】不妨设IOB|=|OC|=|O£|=1,则|OA|=|OD\=E,

对于A项，显然。。与OE方向不一致，所以OCwOE，故A项错误；

对于B项，由图知NAO3是钝角，则0408=|（M|-|08|cosNA08<0,故B项错误；

对于C项，由题意知点E是线段AD的中点，则易得：OE=:（OA+。。）,即得：OA+OD=2OE，故C项

正确；

对于D项，由。4+。7+0。=（。4+0£>）+^^=20石+0（7,而。£与0。显然不共线,故。4+0。+0。/0.即

D项错误.

故选：C.

5.（2024高二上.新疆.阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若M<W，贝匕<力B.若a,6互为相反向量，则a+6=0

C.空间中两平行向量相等D.在四边形A3。中，AB-AD=DB

【答案】D

【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D.

【详解】对于A,向量不可以比较大小，所以A错误；

对于B,若a,人互为相反向量，则Q+B=6，故B错误；

对于C,两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故c错误；

对于D,四边形A3CO中，AB-AD=DB^故D正确.

故选：D

6.（2024高三上.浙江.阶段练习）已知平面向量0,b,e均为单位向量，贝广,+6-e|=3”是“不与％共线”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用向量加法的三角形不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】平面向量4,b,C均为单位向量，贝！J|a+Z?-c|K|a|+|b|+|c|=3,当且仅当a,。,同向共线时取

等号，

则当卜+6-4=3时，a与万共线，反之，。与6共线并且方向相反时，,+6-。|=1,

所以“卜+6-4=3”是“。与方共线”的充分不必要条件，A正确.

故选：A

ab

7.（2024.北京大兴•三模）设a,6是非零向量，“甲忖"是％=的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

ab

【详解】由口=忖表示单位向量相等，贝指，匕同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a=

ab

由a=3表示同向且模相等，则同=恸，

ab

所以“R=W”是“a=b”的必要而不充分条件.

故选：B

8.（2024高三•全国•对口高考）给出下列四个命题：

①若|a|=|6|,则a=b,a=-6；

②若A8=OC,则A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点；

③若a=b,b=c,贝!|°=c；

④若a//b，bile，则a//c;

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】结合向量的概念、性质，说明|a|=|b|、A3=OC情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线,

注意共线向量传递性的前提判断③、④.

【详解】①若|"|=出|,只能说明6模相等，它们方向不一定相同或相反，错；

②若A8=OC,若AB//OC且AB=OC,即A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点，若A,8,C,。四点

共线，不能构成平行四边形，错；

③若即4,Z?、a,c分别为相等向量，故£=c，对；

④若〃//〃，bile，当B为零向量时Z//Z不一定成立，错.

故选：D

a卜

9.(2024高一下•江西九江•期中)设a,b为两个非零向量，贝a=20236”是“一=一”的()

\a\\b\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断

【详解】因为a=20238,所以。,万同向共线，所以言=春，

因为&=_L,所以区6同向共线，此时a=20236不一定成立，

\a\\b\

a_b

的充分不必要条件.

所以“a=20236”是“面一面

故选：A

10.(2024•海南)在ABC中，。是A8边上的中点，则CB=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

11.（2024•山东潍坊•模拟预测）在J1BC中，AO=；AB,点E为8的中点，设AC=a，AE=b，贝11AB

A.6b-3aB.6b-2aC.4b-3aD.3b-2a

【答案】A

【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可.

【详解】因为=点E为C。的中点，

所以AB=3AD=3（C£>-C4）=38+3AC

=6(AE-AC)+3AC=6AE-3AC=6b-3。.

故选：A.

12.（2024高二上•云南大理・期末）已知在ABC中，点。在边3C上，且3。=5。。，贝>JAZ）=（)

15।uumsuim1441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算即可.

【详解】在ABC中，BC=AC-AB^又点。在边5c上，且

则AO=AB+3O=A3+95C=A3+9(AC-A3)」A5+9AC,

66''66

故选：A.

13.（2024高三上•重庆•阶段练习）在ABC中,AO为BC边上的中线，2AE=ED，则BE=（

A.--AB+-ACB.--AB--AC

6666

C.--AB--ACD.--AB+-AC

6666

【答案】A

【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.

【详解】

因为2AE=E£＞，所以=

由已知可得，AD=g(AB+AC),

所以，AE」(A3+AC),

6,)

所以，BE=AE-AB=-(AB+AC]-AB=--AB+-AC.

6、'66

故选：A.

14.(2024•河南.模拟预测)在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,若AO=〃，AB=b，则BC=()

r1r13i

A.a—bB.—a+bC.—an—bD.an—b

2222

【答案】A

【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解即得.

【详解】在等腰梯形"CD中，AB=2CD,AD=a，AB=b,则有AB=2DC,

所以BC=54+AO+£)C=-AB+A£)+LA3=a-4.

22

故选：A

15.(2024.全国.模拟预测)在等腰梯形A3C。中，AB//CD,CD=2AB,点E是线段5C上靠近。的三等

分点，则。£=()

727-1

A.-AB+—DAB.-AB+-DA

3333

5251

C.—ABH—DAD.—ABH—DA

3333

【答案】D

【分析】通过添设辅助线，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加减法将OE进行转化，最终用AB,DA

来表示即得.

【详解】

如图等腰梯形ABCD中，取。C中点尸，连接防，则冷=防,C尸=54.

于是，DE=DC+CE=2AB+-CB

3

=2AB+-(CF+FB]=2AB+-(BA+DA\=-AB+-DA.

3、>3、'33

故选:D.

16.（2024山西.一模）已知矩形ABCD中，E为A8边中点，线段AC和DE交于点f，则8尸=（）

A.--AB+-ADB.-AB--AD

3333

21

C.-AB——ADD.--AB+-AD

3333

【答案】D

【分析】取8中点G,可证得四边形2£E>G为平行四边形，得到36〃。石，结合三角形中位线性质可确定

厂为AC上靠近A的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.

【详解】取8中点G,连接8G,交AC于点

BE=DG,BE=DG四边形BEDG为平行四边形,

:.BG//DE,又E为A3中点，「.AFuFH,同理可得：CH=FH,

1D[

:.BF=BA+AF=-AB+-(AB+AD]=——AB+-AD.

3、,33

故选：D.

31

17.（2024图三上•广东•开学考试）在-ABG中，已知3七二三36,AF=-AGAE与所交于0,贝!JA0=

83f

Gt

B

434334

A.-AB+-BGB.-AB+—BGC.-AB+—BGD.-AB+-BG

73510714147

【答案】C

31An4

【分析】过E作直线£H〃圻1交AG于X,结合=—5G和A/=—AG可求出——=—,再由A3,3G表示

83AE7

出即可求出答案.

-.3

【详解】如图，过E作直线交AG于H,因为5石=—5G,

8

FHBF31

所以亍=后=1，因为A尸=:7AG,所以设AF=1,则尸G=2,

HCJECJ53

AOAF14

33________

所以W=2x—=;，因为尸，所以AE1AH7，

841+4

4444[3]43

-AB+—BG

777714

18.（2024・全国•模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E是。。上靠近。的四等分点，跖与AC交于点尸，

则£)#=(

3241

A.-AB——ADB.-AB——AD

5555

3123

C.-AB——ADD.-AB——AD

4455

【答案】B

4

【分析】结合平行四边形性质推出=根据向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】平行四边形ABC