空间点、直线、平面之间的位置关系（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类

彩题如工总

题型1：基本事实的应用

题型5：等角定理的应用

题型2：空间位置关系的判断

空间点、直线、平面之间的位置关

系5题型分类

题型4：空间几何体的切割（截面）问题

题型3：异面直线所成的角

彩和也宝库

1.基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有二条过该点的公共直线.

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

2.“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面.

3.空间中直线与直线的位置关系

［相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点;

共面直线《----

I平行直线:在同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.

4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

相交aGAL个

直线与平面

-------------a

平行/__/alla2个

在平面内/一呼aUa无数个

%/

平行a//132个

A7

平面与平面

相交aC6=l无数个

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

6.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线a'//a,b'//b,我们把直线与》

所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：(0,.

【常用结论

1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.

⑵EG与HF的交点在直线AC上.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)推导出EF//BD,从而所//GH,由此能证明E,F,G,H四点共面.

(2)推导出所//GH,且EFHGH,从而EG与FH必相交，设交点为由此能证明EG与加'的交点

在直线AC±.

【详解】(1)BG：GC=DH,HC=l：2,:.GH//BD,

E,尸分别为AB,AZ)的中点，:.EFIIBD,:.EF//GH,

：.E,F,G,”四点共面.

(2)G、H不是BC、CD的中点，

:.EFHGH,且EFHGH,

与F”必相交，设交点为

EGu平面ABC,HFu平面AC。，

.♦."e平面ABC,且Me平面ACD,

・平面ABCc平面ACD=AC,:.MeAC,

EG与HF的交点在直线AC上.

1-2.(2024高一下•云南楚雄・期中)如图，在正四棱台ABCD-ABCQ］中，E,F,G,H分别为棱4片，,

AB,BC的中点.

(1)证明E,F,G,H四点共面；

(2)证明GE,FH,8月相交于一点.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用中位线和棱台的结构特征，证明EF〃G”,可得以E,F,G,，四点共面;

(2)由EFHG为梯形，则EG与必相交，证明交点在8避上即可.

【详解】(1)证明：连接AC,AG，如图所示，

因为ABCQ-AgGA为正四棱台，所以AG〃AC,

又£,F,G,X分别为棱A耳，Bg,AB,8C的中点，所以所〃AC，GH//AC,

则EF〃GH,所以E,F,G,H四点共面.

(2)因为4GwAC,所以EF力GH,所以EMG为梯形，则EG与EH必相交.

设EGcFG=P,因为EGu平面A4tBlB,所以尸平面

因为FHu平面所以尸e平面B4GC,

又平面AA.B.BQ平面BB©C=BB「所以尸e3耳，

则GE,FH,8出交于一点.

1-3.(2024高三.全国.专题练习)如图所示，在正方体ABCD-ABCa中，E,尸分别是AB，然的中点.

⑴求证：CE,D.F,ZM三线交于点P；

(2)在(1)的结论中，G是2E上一点，若FG交平面A8CD于点”，求证：P,E,〃三点共线.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)连接AB,CR,可得到所〃CQ且跖wCR,则EC与相交，设交点为H则能得到改

平面ABC。，Pe平面ADD]A，结合平面ABCDc平面A£>2A=A。，即可得证；

(2)可证明P,E,〃都在平面尸CQ与平面ABC。的交线上，即可得证

【详解】(1)证明：连接4台，CDt,EF

正方体ABC。-4月£。中，E,F分别是A54A的中点,

EFUAiB^EFA.B,

0)]〃48且0)1=43,

EF//CDl且EFwCDt,

...EC与2」相交,设交点为尸,

•；PeEC,ECu平面ABC。，."e平面ABC。；

又，：PcFD\,正2u平面ADD]A，Pc平面ADDA,

.••尸为两平面的公共点，

:平面ABCDc平面ADRA=AO,.•.尸eA£),

:.CE、DR三线交于点尸；

在(1)的结论中，G是QE上一点，尸G交平面A8CD于点H,

则FHu平面PCDi,AHe平面PCD,,又He平面ABCD,

：.He平面PCD,c平面ABCD,

同理，Pe平面尸CRc平面ABC。，

Ee平面PCD。平面ABCD,

：.P,E,反都在平面尸CR与平面ABC。的交线上，

：.P,E,H三点共线.

彩他题祕籍

（二）

（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型.

（2）求异面直线所成角的方法

方法解读

将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的

平移法

平行线或者作平行线，形成三角形求解

在该几何体的某侧补接上同样一■个几何体，在这两个几何体中找异面直

补形法

线相应的位置，形成三角形求解

题型2：空间位置关系的判断

2-1.（2024高三.全国•对口高考）两条直线。力分别和异面直线c,d都相交，则直线6的位置关系是（）

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线

【答案】D

［分析】设直线a与直线b分别与两条直线。与直线d相交于点A,B,C,D,讨论点D与点B的位置关系即可

求解.

【详解】已知直线c与d是异面直线，直线。与直线6分别与两条直线。与直线d相交于点A,B,C,。，

根据题意可得当点。与点8重合时，两条直线相交，当点。与点8不重合时，两条直线异面，

所以直线〃力的位置关系是异面或相交.

故选:D.

2-2.【多选】（2024•全国•模拟预测）如图，点E,F,G,//分别是正方体ABCD一4耳弓。中棱,AB,

BC,GA的中点，则（）

A.GH=2EFB.GH卞2EF

C.直线EF,G"是异面直线D.直线所，G"是相交直线

【答案】BD

【分析】首先在图中取棱CG的中点N,AA的中点连接EM,MH,HN,NG,FG,AC,AG,

我们证明E,M,H,N,G,尸六点共面，进一步可以求出也斯=G/f,从而得到答案.

【详解】如图，取棱CG的中点N,42的中点连接EM,MH,HN,NG,FG,AC,AG，

在正方体ABCD-A4GR中,MH/ZA^CJ/ACZ/FG,

：.M,H,F,G四点共面，同理可得E,M,G,N四点共面，E,F,H,N四点共面，

：.E,M,H,N,G,尸六点共面，均在平面EFGNHM内，

EF//HN,HNcHG=H,

HN,HG,EFu平面EFGNHM,

：.EF与GH是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得EF=HN=NG=FG=EM=MH,

：.y/3EF=GH,即GH力2EF.

故选：BD.

【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查了空间思维能力，属于基础题型

2-3.【多选】（2024•湖北荆门•模拟预测）已知a,夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若a'B=l，Aetz且则Ae/

B.若A,B,C是平面a内不共线三点，Ae13,B&13,则Ce6

C.若Aea且Bea,则直线ABua

D.若直线aua,直线则。与b为异面直线

【答案】ABC

【分析】根据基本事实3（公理2）可判断A；根据基本事实1（公理3）可判断B；根据基本事实2（公理

1）可判断C；根据异面直线的定义可判断D.

【详解】对于A,由根据Aea且则A是平面a和平面夕的公共点，

又aB=l,由基本事实3（公理2）可得Ac/,故A正确；

对于B,由基本事实1（公理3）：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，

又Aw/3,Bw/3,且则C至尸，故B正确；

对于C,由基本事实2（公理1）：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故

C正确；

对于D,由于平面。和平面夕位置不确定，则直线。与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合,

故D错误.

故选：ABC.

2-4.（2024・上海长宁.二模）如图，已知正方体ABCO-ABCA，点尸在直线A2上，。为线段80的中点，

则下列命题中假命题为（）

A

4

A.存在点尸，使得

B.存在点P,使得PQ//AB

C.直线尸。始终与直线CG异面

D.直线尸。始终与直线BG异面

【答案】C

【分析】当点P和点Q重合时，可判断A；通过线面平行的判定定理，当点P为线段4。的中点时，即可

判断B；当点尸和点A重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断C；直线与另一条线所在

的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可判断D.

【详解】正方体中，易得4G平面8。2瓦，因为点P在直线AR上，。为线段的中

点，

当点尸和点2重合时，「。匚平面2。24，，尸。，46，故A正确；

连接A。、A.B,当点尸为线段AQ的中点时，p。为三角形A|B。的中位线，即PQ〃A8,故B正确；

CGu平面AAGC,当点P和点A重合时，PQu平面A4,CC，所以直线PQ和CG在同一平面内，故C错

误；

BGu平面ABCQ,尸。c平面A8CQ=P,Pg,所以直线PQ始终与直线BG不相交，且不平行，

所以直线尸。与直线BG是异面直线，故D正确；

故选：C

题型3：异面直线所成的角

3-1.（2024高二上.上海浦东新•期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正

确的序号是.

(1)直线AF与直线DE相交；

(2)直线CH与直线DE平行；

(3)直线BG与直线OE是异面直线；

(4)直线CH与直线3G成60。角.

【答案】(3)(4)/(4)(3)

【分析】还原正方体ABCD-£FGH,结合图形即可判断(1)(2)(3),再连接AH,AC,则NAHC为异

面直线CH与直线BG所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；

【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD-EFG",

可得"与即为异面直线，故(1)错误；

S与DE为异面直线，故(2)错误；

直线8G与直线DE是异面直线，故(3)正确；

连接AH,AC,由正方体的性质可得所以/AHC为异面直线CH与直线3G所成的角，因为，AHC

为等边三角形，所以NAHC=60。，即直线CH与直线3G所成角为60。，故(4)正确；

故答案为：(3)(4).

3-2.(2024高三•全国•课后作业)已知正四面体ABCO中,E是A8的中点，则异面直线CE与8。所成角的大

小为•

【答案】arccosV3

6

【分析】取正四面体的棱为6,找AD中点为尸，连接EF,CF,CE,根据中位线可知跖〃即，跖=g&)=3,则

异面直线CE与&）所成角，即直线CE与所所成角，即NFEC,求出各个长度，由余弦定理即可求得结果.

【详解】解:由题知，取AD中点为B，连接EEC尸,CE如图所示：

D

不妨设正四面体棱为6,

根据E,尸分别为AB,AZ＞中点得：EF//BD,EF=BD=3,

2

因为ABC与二ACD为等边三角形，

所以AE=3,AC=6,故CE=3/,同理CP=3jL

在△CEF中，由余弦定理可得:

E尸+CE'CF。_9+27-27

cos?FEC

2鬃尸CE-2鬟34~~6

故?FECarccos—,

6

因为E尸〃3£）,

所以异面直线CE与8。所成角，即直线CE与斯所成角，即NEEC,

故异面直线CE与2。所成角为arccos走.

6

故答案为:arccos旦

,6

33（2024高三.河北•学业考试）如图，在正方体ABCD-A4GA中，点分别是棱AD,CG的中点，则异面

直线A,£与BF所成角的大小为.

【答案】y

【分析】先取。Q中点为G，连接AG,GF，记A£与AG交点为M，根据平行可知&E与BF所成角即为人后与

AG所成角，通过正方体性质可得AE三△ADG,即ZAA.E=ND4G,根据ZDAG+ZA.AG=ZA4,E=g可

知的石+幺47二不,即乙皿见二展即可知人也与瓦^所成角为了

【详解】取。。中点为G,连接AG,G/，记AE与AG交点为/,如图所示：

0G

A--------------------B

因为G,F分别是棱DQ,CG的中点，

所以GF//AB，且G/=,故四边形ABGF为平行四边形，

所以,所以AE与2尸所成角即为AE与AG所成角，

因为正方体ABCD-446。,E,G是棱AD,。。的中点，

rr

所以4A=A。,AE=GD^A.AD=ZADG=~,

所以4AA石=AADG，即ZAA.E=ZDAG,

71rr

因为NDAG+NAAG=ZA^E=万,所以+NAAG=],

所以/AM4,=兀一（NA4iE+N^AG）=].

故AE与AG所成角为，即4E与BF所成角为

故答案为弓

3-4.（2024高一下•北京•期末）如图，等腰梯形ABCO沿对角线AC翻折，得到空间四边形RABC,若

BC=CD=DA=^AB=l,则直线AR与3C所成角的大小可能为.（写出一个值即可）

DC

-------------

【答案】90（答案在［60,90］内即可）

【分析】由题意，补全等腰梯形438为正三角形4汨，则直线AR与3C所成角的大小为直线AE与8C所

成角，再根据线线角的范围求解即可

【详解】由题意，补全等腰梯形A3CO为正三角形ABE,则直线A，与BC所成角的大小为直线AE与BC所

成角，易得当等腰梯形沿对角线AC翻折时，AE的轨迹为以A为顶点，AC为高的圆锥侧面，设

FG

ZBCF=90,在Cb上取G使得石G//5C,则直线AR与5C所成角即/AEG,故cosNAEG：丁，因为

AE

AE=2,EGe［0,l］,故cos/AEGe0,1,故NAEGe［60,90］,故只需写出［60,90］内的角度即可，如

90

故答案为：90（答案在［60,90］内即可）

3-5.（2024高三.全国•对口高考）线段A3的两端分别在直二面角a-CD-6的两个面外夕内，且与这两个

面都成30。角，则直线AB与8所成的角等于.

【答案】£/45

【分析】

画图找到直线与8所成的角，计算即可

【详解】如图:

过A3分别作棱的垂线，垂足设为CD连结BC,AD,

由直线垂直于平面的性质定理知ACLa,BD±J3.

所以ZABC=/BA£>=30.

作AE〃CD且AE=CD,则NB4E为直线AB与8所成的角.

连结EB,可得AE_LBD,AELED,所以AELBE,

所以三角形A£S为直角三角形.

设AB=2a,AC=ED=BD=a,所以BE=®a，

所以NBAE=45.

直线A3与CO所成的角等于

4

故答案为：.

4

彩他题秘籍（二）

空间几何体的切割（截面）问题

（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

题型4：空间几何体的切割（截面）问题

4-1.（2024.河南新乡.三模）如图，在棱长为2的正方体ABCO-AAGR中，E是棱CG的中点，过

三点的截面把正方体ABC。-A4GR分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（）

【答案】A

【分析】设平面ARE与平面交于.，由面面平行的性质可得跖〃明，结合题意可知F是BC的

中点，利用台体的体积公式可得以，进而得出答案.

【详解】连接BG，设平面与平面BCG瓦交于所，

因为平面BCC#/平面A£>24,平面ARE与平面ADRA交于A，，

贝IjE尸〃曲，又

则E/〃BQ,又E是棱CG的中点，则尸是BC的中点.

AH

S]=SCEF=^-xlxl=^,S2=SADDi=；x2x2=2,h=CD=2,

^CEF-ADD,=§6+邑+品）〃=；xg+2+"x2=，

、,TZo717,,17717

唳馀=喔方体-匕药-血>,=8一耳=§,fiXy--=y-

故选：A.

4-2.（2024・河南•模拟预测）在正方体ABCD-ABGR中，M,N分别为AD,CQ的中点，则下列结论正

确的个数为（）

①MN〃平面A41cle；②MN”C；③直线MN与AG所成角的余弦值为汉1

3

④过M,N,片三点的平面截正方体ABCD-A4ap所得的截面为梯形

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据直线与平面平行的判定可判断①；根据直线与平面垂直的判定与性质可判断②；通过平行线

平移可确定直线MN与AG所成角，然后通过余弦定理可求得角的余弦值，进而判断③；画出截面图可判断

④

【详解】连接8。，交AC于点0,则。是AC的中点，连接OM,OG，由于是中点，可得

OMI/CD/ICXN,OM=^CD=CXN,

所以四边形M0GN是平行四边形，所以OCJ/MN,

又。Gu平面441GC,MNU平面A41GC,所以MN〃平面AAJGC,即①正确；

连接2G，A2,则在正方体ABC。-A4GA中，AB工平面BCG用，又平面BCQ瓦，所

以4CJ,AB,

又BC、AB=B,8G<=平面ABCQ,ABu平面ABCQ,所以gC，平面ABCQ,若MN，20,则ACV〃

平面ABC]?或MNu平面而MN与平面A3CQ]相交，所以MN与8。不垂直，即②错误；

由于。CJ/MN,所以NOCA为直线肱V与AG所成角（或补角），

设正方体棱长为2,

1

则AO=叵,AQ=26,OG=指，所以由余弦定理得cosZOQA="二.0二°=芈，即③正确；

因为平面A5CD与平面4与GR平行，则过M,N,男三点的截面与这两个平面的交线平行，由于其中一条交

线是用N,另一交线过点“，所以在平面ABCD内作ME与与N平行（E是靠近A的四等分点），连接与E,

同理作出NP与与E平行（尸是靠近。的三等分点），从而得到截面与E,可知截面是五边形，即④错

误;

综上，正确的个数是2个.

故选：B.

4-3.（2024.河南.模拟预测）在正方体ABCO-ABC"中，M,N分别为A。，GA的中点，过M,N,与三

点的平面截正方体ABC。-A与所得的截面形状为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【答案】B

【分析】在4B上取点。，且2Q=3AQ,取8中点为尸，在上取点R,且。便=3。?.通过aQAAfs二pee,

可得NAQM=/BPC,进而得出/A5P=/AQM,QW〃台尸.通过证明用N〃8P,得出qN〃QM.同理得

出NR〃B、Q,即可得出正方体的截面图形.

在43上取点。，且3Q=3AQ,取CO中点为P,连接QM,BP,NP,瓦Q.

在。R上取点R,且〃R=3£»R,连结NR,MR.

因为券=需=；'/0AM

所以QAM^PCB,所以NAQM=NBPC.

又ABCD,所以乙衅=/BPC,所以NA8P=NAQM,

所以，QM//BP.

因为N,尸分别为CJA，CD的中点，所以PN〃CC，且PN=CC「

根据正方体的性质，可知8月〃CQ,且BB|=CG，

所以，PN〃BB、,且PN=B用,

所以，四边形BPN片是平行四边形，

所以，B、N〃BP,所以4N〃QM.

同理可得，NR//B.Q.

所以，五边形QMRN与即为所求正方体的截面.

故选:B.

44（2024高三下.北京东城.阶段练习）如图，正方体ABC。-ABCQ的棱长为1,E,F,G分别为线段

BCCGI用上的动点（不含端点），

①异面直线。Q与AF所成角可以为:

②当G为中点时，存在点E,尸使直线AG与平面4所平行

9

③当E,尸为中点时，平面截正方体所得的截面面积为q

④存在点G,使点C与点G到平面AEF的距离相等

则上述结论正确的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

【答案】C

【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的

结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对①：因为。D〃AA,故与AF的夹角即为4A与AF的夹角N4A/，

又当尸与C重合时，NAA尸取得最大值，为；

当尸与点C1重合时，ZAAP取得最小值，设其为a,则tana=§2=收，故］＞：；

4

又点尸不能与c，G重合，故幺河故①错误；

对②：当G为耳8中点时，存在E,尸分别为8C，GC的中点，满足AG//面AEF,证明如下：

取用G的中点为连接AM，MG,如下所示：

显然AM〃AE,又AEu面4所，4M0面4防，故AM〃面AEF；

又易得MGHEF,£/<=面4跖,知6<2面4£T，故MG〃面AEF；

又AMcMG=M,\M,MG<=面\MG,故面A.MG〃面AEF,

又AGu面AMG,故AG〃面AE7L故②正确；

对③：连接AA，Q£AE,如下所示：

因为EFHBC/AD、,故面即为平面AEF截正方体所得截面；

又DF=AE泻,故该截面为等腰梯形，又EF],AD\=C，

故截面面积S=g（E/+4'）><小或二=；x：*+夜x手=|,故③正确;

对④：连接GC,取其中点为如下所示：

要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需E尸经过GC的中点，

显然当点区P分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G满足要求，故④错误.

故选：C.

4-5.（2024.新疆.二模）已知在直三棱柱ABC-A瓦G中，E,尸分别为8月，4a的中点，A4,=2,/R=2,

BC=3叵,AC=4,如图所示，若过A、E、尸三点的平面作该直三棱柱ABC-4与G的截面，则所得截面

的面积为（）

A.710B.V15C.275D.同

【答案】B

【分析】

延长AF,CG且反与CG相交于G,连接EG,并与4G相交于。，连接即，

则四边形AEDF为所求的截面，后由几何知识可得截面面积.

【详解】解析：延长AF,CG且AF与CG相交于G,连接EG,并与4G相交于。，连接尸。，则四边形

AED尸为所求的截面.

在Rt&WE中，由AB=2,BE=1,得4£=盯.

在RtA4/中，由A4（=2,\F=2,得AF=2啦.

因为歹为46的中点，所以由平面几何知识可知，△A41F四△FGC>

所以AA=GG，FG=AF,即尸为AG的中点，所以AG=40.

又由B网GC、,可得公B]EDSAGDCI,

又GG=2B1E,4cl=30,所以00=20.

在Rt^G£>G中，由DC】=20,GC]=2,得GD=25所以GE=3g.

所以在△AEG中，有AG=4jI，GE=3乖）,AE=y[5,

即GE2+AE2^AG2,所以AE，GE.又注意到S®AG-EG-sinAAGE,

S=-FG.DG.sinAAGE=-x-GA--GE-sinNAGE=-S,

FDG22233'AA0rr3

则四边形AEDF的面积为=-X—X3A/3Xy/5=y/15.

故选：B.

当空间两个角a与夕的两边对应平行，且两边方向不完全一致时，£=万-a=120。.

故答案为：60。或120。

5-3.（2024高一•全国・专题练习）过正方体A3CO-4耳£"的顶点A在空间作直线/,使/与平面即DQ和

直线8G所成的角都等于45。，则这样的直线/共有条.

【答案】2

【分析】由题可转化为过点A与AC,A2都成45。的直线有几条，即可判断.

【详解】在正方体中，AC与平面38QQ垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与AC、AR都成

45。的直线有几条.

考虑到AC,夹角为60。，所以同一平面的角平分线与AC,4,的夹角大小为30。，

因为45。＞30。，从而存在两条直线满足条件.而AC,AQ的外角为120度，所以不存在外角平分线满足条

件.

综上，满足条件的直线共2条.

故答案为：2.

5-4.（湖北省2023-2024学年高三下学期3月调研数学试题）在棱长均相等的四面体ABCD中，尸为棱Aa

不含端点）上的动点，过点A的平面a与平面PBC平行•若平面a与平面筋£»,平面ACD的交线分别为,

”,则加，”所成角的正弦值的最大值为.

【答案】巫巨也

33

【分析】根据面面平行的性质定理说明小〃3P，n//PC,从而说明N3PC或其补角即为加，”所成的平

面角，利用余弦定理求得尸民PC的长，结合同角的三角函数关系即可求得答案.

【详解】连接PB,尸C,

由题意知过点A的平面a与平面P3C平行，平面a与平面MD,平面ACD的交线分别为加，”,

由于平面e〃平面P5C,平面PBCc平面=平面「3Cc平面ACD=PC,

所以租〃BP,n//PC,

所以/BPC或其补角即为加，〃所成的平面角，

设正四棱锥ABC。的棱长为1,AP=x,0<x<l,则PD=l-x,

在4AB尸中，

由余弦定理得BP=VAB2+AP--2AB-APcos60=^1+x2-2xlxxx1=Jl+V-x,

同理求得PC=Vx2-x+l，

PB2+PC2-BC2_2(x2-x+l)-l

故在PBC中,cosZBPC=

2PBpc2(x2-x+1

1

1

=14\2-X11_____2_

+、2

(/x——1y+一3

24

I

由于(X-!)2+[N[,则--2--<|,进而1一21

244(J+33/1、23-r

(x——)+-

2424

当X=g时取等号，

故cosZB尸C的最小值为\,进而sinZBPC=A/1-COS2ZBPC<马旦,

33

故sinZBPC的最大值为述,

3

故答案为：述.

3

【点睛】关键点点睛：要求直线加，〃所成角的正弦值的最大值，需找出直线机，”所成角，因而解答的关

键是利用面面平行的性质说明所求角即为NBPC或其补角.

一、单选题

1.（2024高三.北京.学业考试）四棱锥尸-ABCD如图所示，则直线PC（）

A.与直线平行B.与直线相交

C.与直线BD平行D.与直线8。是异面直线

【答案】D

【分析】根据异面直线的定义即可求解.

【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线

AD,直线8。是异面直线.

故选：D.

2.（2024•广东）若直线乙和'是异面直线，4在平面a内，4在平面夕内，1是平面。与平面尸的交线，则

下列命题正确的是

A./与乙，4都相交B./与"4都不相交

C./至少与4，4中的一条相交D./至多与4，4中的一条相交

【答案】C

【详解】/与〃，〃可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图

aa,

所以/至少与4，，2中的一条相交.

故选:C.

3.（2024高一•全国•课后作业）若直线/在平面。外，贝也与平面。的公共点个数为（）

A.0B.0或1C.1D.2

【答案】B

【详解】直线/在平面a外，则直线/与平面a相交或者平行，当直线/与平面a相交时，公共点的个数是1

个，当直线/与平面a平行时，公共点的个数是。个，

故选：B

4.（2024・上海•模拟预测）如图，正方体ABC。-ABCa中，RQ、尺S分别为棱A&BC、班卜C。的中点，连

接A&2Q,对空间任意两点M、N,若线段MN与线段AI瓦。都不相交，则称两点可视，下列选项

中与点2可视的为（）

APB

A.点尸B.点。C.点RD.点B

【答案】B

【分析】根据异面直线的定义判断即可.

【详解】A选项：四边形ARSP是平行四边形，AS与2P相交，故A错；

C选项：四边形。是平行四边形，与。耳相交，故C错;

D选项：四边形2百3〃是平行四边形，与。片相交，故D错;

利用排除法可得选项B正确.

故选：B.

5.（2024高二上•四川乐山・期末）若直线/与平面a有两个公共点，贝也与。的位置关系是（）

A./uaB.IllaC./与a相交D.Zea

【答案】A

【分析】根据直线与平面之间的位置关系即可得出选项.

【详解】若直线/与平面a有两个公共点，

则直线在平面内，BPZoa.

故选：A

6.（2024高二上.上海静安•阶段练习）设AB、C,D是某长方体四条棱的中点，则直线A3和直线的位

置关系是（）.

A.相交B.平行C.异面D.无法确定

【答案】A

【分析】在长方体中，延长ME,DC,AB,即会得到直线48和直线8的位置关系.

【详解】

如图，延长ME使加E=£F,因为A,B,C,。为棱的中点，所以延长DC,A8都会交E尸中点”处,

所以直线AB和直线CD的位置关系为相交.

故选：A.

7.（2024高三.全国•专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线

（）

A.12对B.24对

C.36对D.48对

【答案】B

【分析】根据空间几何体异面直线的位置要求，可判断出一条棱的异面直线数量.求得所有棱的异面直线数量,

除掉重复的即为所有异面直线的对数.

【详解】画出正方体,如下图所示：

如图所示，与AB异面的直线有耳。，四条

因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除重复计算的棱

则共有异面直线皆=24（对）.

故选:B

【点睛】本题考查了异面直线的判断和数量，熟练掌握正方体各棱的位置关系是解决问题的关键,属于基础题.

8.（2024高三.全国・专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）

A.18B.21C.24D.27

【答案】B

【分析】平面是向四周无限延展的.可分两步进行空间直观想象，先由三个侧面分空间，再由棱柱的两平行

底面分空间，即可解决问题.

【详解】三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分.

故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为3x7=21.

故选：B.

9.（2024高一.全国•课后作业）平面。上有三个不共线点到平面口距离相等，则平面。与平面月的位置关系

是（）

A.相交B.平行C.垂直D.相交或平行

【答案】D

【分析】根据面面关系结合图形来分析判断.

【详解】如图1,若a/夕，则平面a上任一点到平面口距离相等，故平面a上一定存在三个不共线点到平

面夕距离相等；

如图2,若a与夕相交，则平面。上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面口距离相等；

故平面a与平面用的位置关系是相交或平行.

故选：D.

10.（2024高一.全国•课前预习）下列命题中正确的是（）

A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

【答案】B

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系特别是面面平行的判定定理判断.

【详解】一个平面内三条直线都平行于另一平面，当这三条直线平行时，那么这两个平面不一定平行，A

错；

如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，这两个平面无公共点，由面面平行的定义知这两个平面平

行，B正确；

平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，C错；

如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，当这几条直线相互平行时，这两个平面不一定平行，D错.

故选：B.

11.（2024高三.全国.专题练习）如图中,〃分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或

所在棱的中点，则表示直线G8,九W是异面直线的图形有（）

①②③④

A.①③B.②③C.②④D.②③④

【答案】C

【分析】对于①③可证出GH〃肱V,两条直线平行一定共面，即可判断直线G"与共面；

对于②④可证G",N三点共面，但M史平面GH2V；G,H,N三点共面，但N6平面GM2V,即可判断直线G"

与MN异面.

【详解】由题意，可知题图①中，GH//MN,因此直线GH与共面；

题图②中，G,H,N三点共面，但“/平面GHN,因此直线G4与MN异面；

题图③中，连接MG,则G//〃MN,因此直线GH与共面；

题图④中，连接GN,G,77,N三点共面，但Ne平面G%V,

所以直线G"与MN异面.

故选C.

【点睛】本题主要考查异面直线的定义，属于基础题.

12.（2024高三上.内蒙古赤峰•阶段练习）已知直线/和平面若/〃a,Pea,则过点P且平行于/的

直线（）.

A.只有一条，不在平面a内B.只有一条，且在平面。内

C.有无数条，一定在平面a内D.有无数条，不一定在平面a内

【答案】B

【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案.

【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面。内，所以这条直线也应该在平

面a内.

故选：B.

13.（2024高三・全国•专题练习）将图（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜边3C

的中线4）折起得到空间四面体ABC。，如图（2）,则在空间四面体ABC。中，AD与BC的位置关系是（）

图⑴图(2)

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.异面且垂直D.异面但不垂直

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判断定理，证出皿，平面BCD；再由线面垂直的定义即可证出AD13C,由于

AD,BC不相交即可得出答案.

【详解】折起前AD13C,折起后有AD±CD,且3£>cCD=。，

所以AD_L平面BCD,所以AD人3c又AD与BC不相交，故A。与