2025年中考数学易错题型：方程（组）与不等式（组）（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错02方程（组）与不等式（组）

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一一元一次方箱、易错点一遍到括号易出错

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易错点一：遇到括号易出错

解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后,

应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变.

例1.解方程.

⑴3（x-2）=x-（7-8x）

⑵l£zl_^zZ=i

23

【答案】（1）尤=J

0

⑵尸5

【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键.

（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可.

（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可.

【详解】（1）3（x-2）=x-（7-8x）

去括号，得3x-6=x-7+8x

移项，得3x—x—8x=—7+6

合并同类项，得-6尤=一1

系数化为1,得一

0

,3x—15x—7

(2x)------------------=1

23

去分母，得3(3x—l)—2(5x—7)=6

去括号，得9%-3-10x+14=6

移项，W9x-10x=6+3-14

合并同类项，得-x=-5

系数化为1,得x=5

例2.下列变形正确的是()

A.由三一3=^^■去分母，得5(x-5)_3=3(2x+l)

B.由4(2x-l)-2(x+5)=4去括号，得8x-4—2x+10=4

C.由-6x—2=3x移项，得—6x—3x=2

2

D.由2x=3系数化为1,得x=]

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键.根据去

分母、去括号、移项、未知数的系数化为1的要求逐项分析即可.

丫一5Oy+1

【详解】A.由1-3=/^去分母，得55-5)-45=3(2元+1),故不正确，不符合题意；

35

B.由4(2x—1)-2(尤+5)=4去括号，得8x-4-2x—10=4,故不正确，不符合题意；

C.由-6x-2=3x移项，得-6x-3x=2,正确，符合题意；

D.由2x=3系数化为1,得尤=:，故不正确，不符合题意；

2

故选C.

变式1.解方程：

（l）2（x+l）=x+（2x-5）；

⑵罟①2x-l

3

【答案】(l)x=7

Q）x=-l

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同

类项、系数化为1）是解题的关键.

（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；

（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可.

【详解】（1）解：2（x+l）=x+（2龙-5）,

2x+2=x+2x-5，

2x—x—2%——5—2,

X-1.

x+32x-l

（2）解:-------2=-------

23

3（x+3）-12=2（2x-l）,

3x+9-12=4x-2,

3x—4x=—2—9+12,

-x=l

x=-l.

变式2.已知关于x的方程3（x-l）-"?=竺『的解是x=4,求机的值.

【答案】心的值为5

【分析】本题主要考查方程的解，把％=4代入方程解关于用的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的

关键.

【详解】解：；x=4是关于x的方程3（了-1）-根=等的解，

m4-3

整理得，9=三，

去分母得，18-2m=«1+3,

移项得，一2〃LMJ=3-18,

合并同类项得，-3m=-15,

系数化为1得，加=5,

二%的值为5.

变式3.(1)解方程：3"+1)=1-(尤+4).

⑵下面是小明同学解一元一次方程六一?=1的过程，请认真阅读并完成相应的任乐

解：去分母，得2(x+l)-(x-l)=4.........................................................第一步

去括号，得2x+2-x-l=4..........................................................................第二步

移项，得2x-x=4-2+1..............................................................................第三步

合并同类项，得x=3......................................................................................第四步

任务

①第一步的依据是;

②第步开始出现错误，错误的原因是；

③该方程的正确解为.

【答案】(1)x=-1;(2)①等式的基本性质；②二，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉后，

原括号里的第二项没有变号；③x=l

【分析】本题考查解一元一次方程.掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键.

(1)去括号，移项，合并同类项，系数化1,解方程即可；

(2)①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可.

【详解】解：(1)去括号，得3x+3=l-x-4.

移项，得3x+x=l-4—3.

合并同类项，得4x=-6.

方程两边同除以4,得了=-：.

(2)①第一步的依据是等式的基本性质；

故答案为：等式的基本性质；

②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉后，原括号里的第二

项没有变号；

故答案为：二，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；

③去分母，得2(x+l)—(x—l)=4.

去括号，得2x+2—x+l=4.

移项，得2%—%=4一2-1.

合并同类项，得X=l.

故答案为：X=l.

变式4.下面是佳佳作业中一个问题的解答过程:

x+1_2-x

~r~__3-

解：3(x+l)=—2(2—x)①

3x+3=—4—2,x②

3x+2x=-3—4③

x=-(④

(1)第①步的变形为(填去分母、去括号、移项或合并同类项)；

(2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第步，请写出该方程正确的求解过程.

【答案】(1)去分母

(2)②，过程见解析

【分析】本题考查了将分式方程化为一元一次方程，去分母、去括号、移项合并同类项：

(1)由题可得分式方程变成了一元一次方程，可知这一步是去分母；

(2)去括号时，如果括号之前是负数，则括号里的符号均需改变，由此可知②错误；按照正常的求解过程

正常解答即可；

正确计算是解题的关键.

【详解】(1)解：由题可得，第一步为分式方程变成了一元一次方程，

...第①步的变形为去分母，

故答案为：去分母；

(2)解：解答过程中②出现错误，去括号时出错，括号之前是负数，括号里的符号均需改变，

故答案为：②；

正确求解过程如下：罟=一言，

去分母得：3(%+1)=-2(2-%),

去括号得：3x+3=-4+2x,

移项可得：3x-2x=T—3,

解得：x=-l.

1.下列方程变形正确的是（）

A.由4x=-l得x=TB.由5x+3=0得5%=—3

YY

C.由,=；+1得3_x=2x+lD.由一2（x-l）=4得一2x-l=4

【答案】B

【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题

的关键.

【详解】解：A、4x=T两边同时除以4,可得到x=-J,原变形错误，该选项不符合题意；

B、5尤+3=0两边同时减去3,可得到5%=-3,原变形正确，该选项符合题意；

Yx

C、==4+1每项同时乘以6,可得到3尤=2x+6,原变形错误，该选项不符合题意；

23

D、—2（x—1）=4去括号可得-2x+2=4,原变形错误，该选项不符合题意；

故选：B.

2.小琪解关于x的方程-—（=2,在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求

得的解为户-1,则左的值为（）

13

A.—B.2C.-1D.-3

3

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据题意得出方程4（x+4）-3（x+左）=2,将x=-1代入方程即

可求解.

【详解】解：由题意得：小琪去分母后得到的方程为：4（x+4）-3（x+4）=2,

将x=—1代入方程得：4x（-l+4）-3x（-l+Z:）=2>

13

解得：k=-f

故选：A.

3.佳佳同学解一元1一2次r-1方程1:1-的2x过程如下：

4224

解：去分母，得1+2（2%—1）=2—（1—2%）,第一步

去括号，得l+4x—2=2—1—2%,第二步

移项，得4x+2x=2-l-l+2,第三步

合并同类项，得6x=2,第四步

系数化为1,得x=j

前四个步骤中，开始出现箱堡的是()

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

【答案】B

【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记去括号时，括号前面是符号，括号内各项都要改变符号

是解本题的关键.

111-2r

【详解】解：

4224

去分母，得l+2(2x—1)=2—(1-2元)，第一步

去括号，得1+4工一2=2-l+2x,第二步

出现错误在第二步，去括号时，括号前面的负号，去括号后，括号内第二项没有改变符号;

故选：B

7_i।7

4.下面是小友同学解方程fr=l-r觉的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题:

解：去分母，得4(2%-1)=1-3(x+2),①

去括号，得8x—4=1—3x+6,②

移项，得8x+3x=l+6+4,③

合并同类项，得15=11,④

系数化为1,得x=l,⑤

(1)该同学的解答过程从第步开始出错；

(2)写出正确的解答过程.

【答案】⑴①

(2)见解析

【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；

(1)由去分母漏乘可得该同学的解答过程从第①步开始出错；

(2)先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可;

【详解】(1)解：该同学的解答过程从第①步开始出错

去分母，得4(2x—l)=12—3(x+2),

去括号，＜8x-4=12-3x-6,

移项,得8x+3x=12-6+4,

合并同类项，得llx=10,

系数化为1,得天=号.

5.解方程

(l)3x-10-3(2x-1)；

(2)型二3

23

7

【答案】⑴尤=一§

⑵尤=1

【分析】本题考查解一元一次方程，关键是掌握解法步骤.

(1)根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可；

(2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可.

【详解】(1)解：去括号，得3x-10=6x—3

移项、合并同类项，得-3x=7

7

化系数为1,得尤=一§

一7

原方程的解为尤=-§；

(2)解：去分母，得3(3x—l)=6-2(无一1)

去括号，得9x—3=6—2x+2

移项、合并同类项，得15=11,

化系数为1,得彳=1

二原方程的解为x=l.

6.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数。和b,m^a^b=b2+2ab,如：=3?+2x1x3=15.

(1)求(-2四5的值；

(2)若［苫％3)=8,求。的值；

(3)若==n(其中x为有理数)，试比较与"的大小.

【答案】（1）5

4

（2）「

（3）4m=n

【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解一元一次方程：

（1）根据新定义可得（-2）^5=52+2X（-2）X5,据此计算即可；

（2）根据新定义可得方程3?+2x宇x3=8,解方程即可得到答案；

（3）根据新定义求出尤?+x=根，4x2+4x=n,再利用作差法求出4机-〃的结果即可得到结论.

【详解】⑴解:由题意得（-2）然=5?+2x（-2）x5

=25—20

=5；

（2）解：：由题意得，32+2x51x3=8,

2

/.9+3（a+l）=8,

4

解得：«=

（3）解：根据题意得：x1+2x—x=m,即*+九=相，

（2x）2+2xl-2x=n,即4f+4x=〃

4帆—〃=4（12+1）一（4兀2+4尤）=4光之+一412—4%=0,

4m=n.

7.在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程,

请仔细阅读并完成相应的任务.

■一上=1一^^解：4（2^-l）-3（x+l）=12-2（5x+2）.......................第一步

346

8x-4-3x-3=12-10x-4............................第二步

8x-3x—10x=12-4+3+4.......................第三步

-5x=15.............................................第四步

尤=一3.............................................第五步

任务一：填空：

①以上解题过程中，第一步的变形的依据是「第二步去括号时依据的运算律是」

②以上解题过程中从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是二

③请直接写出该方程的正确解：

任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提

一条建议.

【答案】任务一：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时-Ox没有变号；③尤=1；任务二：①去

分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“一”号，

括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化（不唯一）.

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键.

任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；

任务二：结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可.

【详解】解：任务一：

①以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；

②以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时TOx没有变号；

由4（21）-3（x+l）=12-2（5x+2）,

8x—4—3x—3=12—10%—4,

8x-3x+10x=12-4+3+4,

15%=15,

x=l

③该方程的正确解：元=1;

故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时TOx没有变号；③x=l；

任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常

数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“一”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符

合的变化

易错点二：①忽视二次项系数为0；②解方程易失根

一、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a^Q）,其中是二次项，。是二次项系数；法是一次

项，6是一次项系数；c是常数项

二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等

易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多

项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根

例3.若关于x的一元二次方程近2-2尤_1=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是（）

A.k>-lB.k<lC.k>-lS.k^OD.左>一1且ZHO

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念；由题意得△>（）,k^O,求解即可.

【详解】解：.••关于x的一元二次方程a2-2x-l=0有两个不相等的实数根，

2

A=（-2）-4^X（-1）>0,k片0,

解得：上>-1且kwO；

故选：D.

例4.关于方程x（3x+2）=6（3x+2）的描述，下列说法错误的是（）

A.它是一元二次方程B.解方程时，方程两边先同时除以（3x+2）

C.它有两个不相等的实数根D.用因式分解法解此方程最适宜

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判

别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键.

【详解】解：A、方程无（3x+2）=6（3x+2）整理得为3尤2一16X一12=0,

故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；

B、解方程时，方程两边先同时除以（3x+2）,会漏解，

故该说法错误，符合题意；

C、由3/-16x-12=0得：

A=（-16）2-4X3X（-12）=412>0,

故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；

D、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；

故选：B.

变式L下列方程中，关于尤的一元二次方程是（）

A.（x-l）（x-3）=%2B.ax2+bx+c=O

2

C.x2—2.x-1=0D.―+3尤一5=0

x

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整

式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

【详解】解：A、由@-1）（尤-3）=d可得f一4x+3=V即Yx+3=o,不是一元二次方程，选项错误；

B、办2+陵+0=0形式是一元二次方程，但二次项系数。没有标注不等于0,选项错误；

C、--2工-1=0符合一元二次方程定义.正确.

2

D、彳+3》-5=0含有分式，属于分式方程，选项错误.

X'

故选：C.

变式2.若关于x的一元二次方程依-2）/一2日+左=0有实数根，则左的取值范围为（）

33

A.^>0B.k>0S.k^2C.k>-D.左2—且左片2

22

【答案】B

【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式A20,即可得出关于左的一元一次不等式组，解之即可得出k

的取值范围.本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式

A>0,列出关于左的一元一次不等式组是解题的关键.

【详解】解：.••关于x的一元二次方程（4-2）公一2乙+左=0有实数根，

A=（-2左）2-4左（左一2）=8左20,且左一2力0,

解得上20且左w2,

故选：B

变式3.一元二次方程x（X-2）=2—x的根是（）

A.-1B.0

C.1和2D.—1和2

【答案】D

【分析】先将原方程整理为x2-X-2=0,再利用十字相乘法进行计算即可.

【详解】解：x（x-2）=2-x,

去括号移项得，x2-2x+x-2=0,

合并同类项得，X2-X-2=0,

/.(x+1)(x-2)=0

解得Xl=-1,X2=2.

故选D.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的各个方法.

变式4.选择适当的方法解方程；

(l)3x(x-l)=2(x-l)

(2)X(X-4)=2-8X

2

【答案】(1注=了%2=1

—

(2)玉=A/6—2,%2=^/6—2

【分析】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

(1)用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：3x(l-1)=2(%-1)

(3^-2)(^-1)=0

3x—2=0或"1=0

2

解得：菁=§,冗2=1；

(2)解：x(x-4)=2-8x

x2—4x=2—8x

x2+4%-2=0

/+4%+4=6

(x+2)2=6

x+2=±A/6

解得：x,=A/6—2,X2=—A/6—2.

1.下列方程中是一元二次方程的是()

A.X2-1-2=0B.x2-2xy+y2=0C.(x-3)2=0D.=x2-5x+6

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未

知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键.根据一元二次方程的定义逐个判

断即可.

【详解】A.方程-2=0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.方程炉-2孙+y2=0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C.方程(》-3)2=0,是一元二次方程，故本选项符合题意；

D.方程£=/一5x+6是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

2.方程2x=0的解是()

A.尤=2B.x=0C.尤=2或x=lD.x=2或x=0

【答案】D

【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案.

【详解】解：X2-2X=0

x(x-2)=0

解得X]=。,%=2

故选D.

【点睛】本题主要考查用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3.解一元二次方程x(x-2)=x-2时，小明得出方程的根是彳=1,则被漏掉的一个根是x=.

【答案】2

【详解】移项得x(x-2)-(x-2)=0,,提取公因式得(x-2)(x-1)=0,所以x-2=0或x-l=0,即x=2或x=l,则被漏

掉的一个根是x=2,故答案为2.

4.如果方程(0-2)尤of-尤+3=0是关于x的一元二次方程，则P的值是()

A.2B.-2C.±2D.3

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的定义.根据一元二次方程的定义得出=2且？-2二0,再求出P的值

即可.

【详解】解：・方程(p-2)x--x+3=0是关于X的一元二次方程，

p?-2=2且p-2w0,

2=±2且〃W2,

即p=-2.

故选：B.

5.一元二次方程O-1)%2+%+疗—1=0有一个根为0,则根的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解，将工=0代入得出疗-1=0且机-求解即可.

【详解】解：•・•一元二次方程0-1)%2+%+苏-1=0有一个根为0,

根2_]=0且m—1w0,

解得m=-1,

故答案为：-1.

6.解方程：

⑴炉+6x+3=0.

(2)(X+2)2-3(X+2)=0.

【答案】(1)外=一3+逐，%=-3-瓜

(2)%=-2,%2=1

【分析】本题考查了一元二次方程的解法：

(1)根据公式法求解一元二次方程；

(2)根据因式分解即可求解方程；

解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.

【详解】(1)解：在尤2+6x+3=0中，a=l,6=6,c=3,

A=Z?2-4ac=36-4xlx3=24,

根据.也巫=一6±4,

2〃2

可得药=—3+\/6,x2=—3—A/6；

(2)解：(X+2)2—3(X+2)=0,

提取公因式得(x+2Xx+2-3)=0,

即(x+2)(x-l)=0,

••x+2=OJSJCV—1=0,

解得西=-2,X2=1.

7.已知关于尤的一元二次方程％型-(2"l)x+l=0有两个实数根.

(1)求左的取值范围；

(2)若方程两根之和为-3,求k的值.

【答案】⑴U且

4

⑵左=-1

【分析】(1)本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和方程有两个实数

根，列式求解即可.

b

(2)本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用入+9=-±结合％的取值范围即可解题.

a

【详解】(1)解：A=[-(2左一1)『一4女2=4/-4左+1—4%2=-4左+1,

由题意得A20,即YZr+lNO,

4

又不去0即以0,

・・・左V—且上W0.

4

(2)解：设该方程两根为毛，巧，则玉+9=下-，

K

玉+%2=-3,

2k—\

.,.—^=-3,3/2+2左一1二0,

解得：%=；,k2=-l,

由（1）知左«!,

4

/.k——1f

7^—1

经检验，左=-1是方程*=-3的解且符合题意.

易错点三：运用根的判别式时代入错误

一、一元二次方程根的判别式:A=匕2—4ac.

（1）当△=〃—4ac>0时，原方程有两个不等的实数根;

（2）当八=尸-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根;

（3）当八=尸-4ac<0时,原方程没有实数根.

二、求根公式：当/—4ac20时，方程以2+foe+c=0（a♦0）的根为％±一4碇

2a

易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定以6、。前面的性质符号.

例5.解方程：X2-1-3X.

r优安】_3+V13_3-V13

Lo'1x,=----------,x=-----------;

12022

【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，移项，定系数，判断判别式，代入求根公式即可得到答案;

【详解】解：原方程变形得，

£—3%—1=0,

•*.a=1,b=—3,c=—lf

A=(-3)2-4xlx(-l)=13>0,

.-(-3)±y/133±y/13

••x=---------------=----------，

2x12

.3+7133-V13

,•Xi—,—；

22

例6.已知关于x的一元二次方程d-2(Z-l)x+公+3=0有两个实数根，则上的取值范围为

【答案】k<-\/-\>k

【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握△=〃-4a>0

方程有两个不相等的实根；A=〃_4ac=0方程有两个相等的实根；A=62_4ac<0方程无实根的判定方法

是解题的关键.

根据方程有两个实根，可得ANO,由此即可求解.

【详解】解：二•一元二次方程丁-2化-1卜+产+3=0有两个实数根，

/.A=[-2（^-l）]2-4（F+3）>0,

整理得，4左2-8上+4—4左2-1220,

解得，k<—l,

故答案为：k<-l.

变式1.一元二次方程x?-4=4x的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不等的实数根C.没有实数根D.有一个实数

根

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程依2+云+。=0（470）,若

A=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若△=/-4。。=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=b2-4ac<0,则方程没有实数根，据此求解即可.

【详解】解：♦•*-4=4x,

/.X2-4X-4=0,

AA=（-4）2-4X（-4）X1=16+16=32>0,

二原方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

变式2.已知关于龙的一元二次方程V-3x+2a=0有两个不相等的实数根.

（1）若。=1时，求方程的根；

（2）求。的取值范围.

【答案】（1）玉=2,々=1

9

（2）a<-

【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当△>（）时，方程有两个不

相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法一公式法.

(1)将。=1代入原方程，解之即可求出方程的根.

(2)根据方程根的判别式△>(),即可得出关于。的一元一次不等式，解之即可得出。的取值范围;

【详解】(1)当4=1时,

此时，方程为尤2一3X+2=0,

3±24xlx2

解得：x=-(-)^-

2x1

即罚=2,%2=],

；・方程的根为』=2,X2=1；

(2)•・•关于X的一元二次方程/—3%+2〃=0有两个不相等的实数根,

「.A=(—3)2—4・2〃>0,

9

解得a<~

O

9

二。的取值范围为。<了；

O

变式3.小明在解方程%2—5%=-3的过程中出现了错误，其解答如下:

解：a=l,b--5,c=-3f...第——步

/.b1—4tzc=(—5)2—4x1x(—3)=37,.......第二步

5±历

------,第三步

2

5+国5-737

第四步

-2~

(1)问：小明的解答是从第步开始出错的;

(2)请写出本题正确的解答.

【答案】⑴一；

(2)正确的解答见解析.

【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的

关键.

(1)先把方程化为一般式，再确定。、6、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；

(2)方程化为一般式得到。=1,b=-5,c=3,再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

【详解】(1)小明的解答是从第一步开始出错的，

故答案为：一；

(2)解：方程化为一般式为/一5彳+3=0,

a=1,b——5,c=3,

.-.Z22-4ac=(-5)2-4xlx3=13,

5±y/13

x=---------,

2

5+V135-y/13

二.玉=-，%2=~~—•

变式4.求证：无论“为何值，关于x的一元二次方程(〃L3)x-2m-1=0总有两个不相等的实数根.

【答案】见解析

【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程依2+Zw+c=0(aw0)的根与△=〃一44c的关系①当△>()

时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；③当A<0时，方程无

实数根.先根据一元二次方程中“氏c的值求出△的值，即可证明.

【详解】证明：VA=[-(m-3)]2-4xlx(-2/n-l)

=m2—6m+9+8m+4

=(777+l)2+12,

.,.无论，"为何值，A总大于3

...无论相为何值，关于x的一元二次方程--(机-3卜-2根-1=0总有两个不相等的实数根.

1.一元二次方程(x+2)2=x-5的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握△>(),方程有两个不相等的实数根；△=()方程有

两个相等的实数根；A<0方程没有实数根是解题的关键.化成一般形式，计算方程根的判别式，进而判断

即可.

【详解】解：,•,(X+2)2=X-5

x~+4-x+4=x—5

x2+3尤+9=0

A=62-4ac=32-4xlx9=-27<0,

...方程无实数根.

故选：C.

2.已知，。的半径为一元二次方程2/-5》_6=0的根，圆心。到直线/的距离d=4,则直线/与(。的位

置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当r>d,直线与圆相交，当r=d,直线与

圆相切，当厂<工直线与圆相离，据此即可作答.

【详角单】解：2x2—5x-6=0

.5+7735-A/73八

••x-----------,—----------<0

1424

故。，。的半径为史先，

4

Vd=4,5+历<4

4

直线与圆相离

故选：C.

3.对于实数a,6定义运算“☆”为。☆6=4一4+6,例如：4曙=42-4+5=17,则关于无的方程

(x-2"2=x-1的根的情况，下列说法正确的是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】B

【分析】题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方

程根的判别式是解题的关键.

【详解】解：；(x-2)^2=xT,

方程为(x-2)2-(x-2)+2=x-l,

即x2_6%+9=0,

A=£?2—4ac=36—36=0>

.♦•有两个相等的实数根，

故选：B.

4.己知关于x的方程+2x=l有两个实数根，那么加.

【答案】加〉一2且加。一1

【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程法+。=0(。。0)的根与

△=Z?2_4ac有如下关系：当人＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根;

当AvO时，方程无实数根.

【详解】解：关于X的方程(利+1厅+2X=1有两个实数根,

；，Im+10,

14+4(m+l)>0解得:祖〉一2且加。一1,

故答案为：加＞-2且根

5.解方程：x2+x=1.

-1-下

【答案】—二，

I'"*22

【分析】利用公式法求解即可.本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键.

【详解】-：x2+x=l,

••/+%—1=0，

a=l,b=l,c=-l,b2-4ac=l2-4xlx(-l)=5

**x­

解得七二二1小_-1-A/5

―2

6.

21

(1)计算：-2-(71+1)°+5/12-2-+|2-73|

(2)解方程：71-12x=4

【答案】⑴-3.5+73

(2)芭=2,x2=--

【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，对于(1),根据22=4,("+1)°=1,712=273,

2T=1,|2-^|=2-^3,再计算即可；

对于(2),先整理，再求出〃-4ac=(-12)2-4x7x(-4)=256＞0,然后根据求根公式求出解即可.

【详解】(1)原式=—4—1+2^3——+2—^3

=-3.5+^/3;

(2)整理，得77—12%-4=0,

由。=7,b=-12,c=-4,

Ab2-4ac=(-12)2-4x7x(-4)=256>0,

.12±A/25612±16

••x=--------=-------，

1414

•x_2x—2

7.已知关于x的一元二次方程O+1)--2，“T_2=1.

⑴求m的值；

(2)用公式法解这个方程.

【答案】⑴3

(2)%=1,x?~一~

【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程；

(1)根据一元二次方程的定义可得根+1。0，W-2m-1=2,解方程，即可求解;

(2)根据公式法解一元二次方程，即可求解.

2

【详解】(1)解：依题意，m+1^0,m-2m-l=2f

m2—2m—3=0,

(m-3)(m+l)=0,

*.*加+1+0,

解得：m=3；

(2)解：当m=3时，原方程为4-一3%—1=0,

/.a=4,b=-3,c=-l,A=Z?2-4〃。=9+16=25,

・-b±yjb2-4ac3±5

••x=------------------，

2a8

解得：玉=L%2=-；.

易错点四：忽略检验根的存在

分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；

②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；

③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解.

13

例7.分式方程一二=三的解为（）

x—2x

A.x=4B.x=3C.x=2D.无解

【答案】B

【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.方程两边同时乘以最简公

分母x（x-2）转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：£=:，方程两边同时乘以最简公分母MX-2）得：x=3（x-2）,

去括号得：x=3x-6,

移项合并同类项得：-2x=-6,

系数化为1：x=3,

当x=3时，X（X-2）H0,

x=3是原方程的解，

故选：B.

易错警示：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。；

例8.已知分式三芷（«,6为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）

x—a

尤的取值2m-2

分式的值03无解

A.b=—4B.a=2C.m=—10D.a=—2

【答案】B

【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为。的条件，以及解分式方程，首先根据已知条件分别确

定。和b的值，然后确定出分式，最后根据％=加时，原分式值为3,通过解分式方程确定机，即可得出结

论.

【详解】解：:-2=0,分式无意义，

・・・。=一2,故D正确；B错误，

当尤=2时，原分式值为0,

.・.4+6=0

解得：b=-4,故A正确

•••原分式为三2Y—一4，

x+2

=时，原分式值为3,

.2/71-4

..-----二3

m+2

解得：m=—10,经检验，加=-10是原方程解得解，故C选项正确,

故选：B.

x22

变式1・分式方程2的解为（）

X-1x-lX+1

A.x=-lB.x=-4C.x=—2D.x=—3

【答案】B

【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解分式方程即可.

x22

【详解】解:----------------------

-1X—1JV+1

等式两边同时乘以(x+l)(x-l),得：^+2(x+l)=2(x-l),

去括号得：x+2x+2=2x—2,

移项和合并同类项得：x=T,

经检验x=-4是该分式方程的解.

故选：B

变式2.解分式方程:

⑴11r2+亡;

(2)--------1=-----------------.

7x—\(x-l)(x+2)

【答案】⑴x=7

(2)无解

【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；

(1)根据分式方程的解法进行求解即可；

(2)根据分式方程的解法可进行求解.

【详解】(1)解：娱=2+4

x-33-x

去分母得：l=2(x-3)-xr

解得：x=7,

经检验：x=7是原方程的解；

x3

(2)斛：---7一[1二7—八]

x—1(%—1)(%+2)

x(x+2)-(X-l)(x+2)=3

解得：X=1,

经检验：当X=1是原方程的增根，

...原方程无解.

变式3.。取下列何值时，方程-1=0的解是正数()

2-x

A.3B.-2C.-4D.-2或T

【答案】B

【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式，正确运算是解题的关键.解分式方程得工==9,

由原方程的解是正数得犬=甘>0,》=T？2即可求解.

【详解】解：^^-1=0

2-x

2%+a=2—x

2—a

x=

3

-1=0的解是正数

2-x

：.x=—>0,且彳=2

33

，。＜2且aw-4

故选：B.

变式4.对于两个非零有理数x