高考数学一轮复习题型与专项训练：概率、条件概率与事件的独立性题型战法

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.3.1概率、条件概率与事件的独立性(题型战法)

知识梳理

一概率

1.随机事件：在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生。

2.必然事件：在一定条件下必然会发生的某种结果的现象。

3.不可能事件：在同样的条件下，重复进行试验，结果始终不会发生的事件。

4.事件：必然事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A,B,C…来表示。

5.基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示。

6.基本事件空间：所有基本事件构成的集合，用大写希腊字母Q来表示。

7.概率与频率：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为巴，随着n的增加，频

n

率总是在某个常数附近摆动，把这个常数叫做事件A发生的概率。

8.互斥事件：不可能同时发生的两个事件。

9.对立事件：不可能同时发生且必有一个发生的两个事件。对立事件是互斥事件的特例。

10.古典概型的概念：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能

性均相等，这种条件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具备两个特点：(1)试验结果的有限

性；(2)所有结果的等可能性。每个事件发生的概率都是工。

n

11.古典概型的解题步骤：①求出总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用

八千.、一所包含的基本事件的个数

么或(一总的基本事件个数一°

12.概率加法公式：

(1)若A,B是互斥事件：尸(AD5)=P(A)+P(5)

(2)若A,B不是互斥事件：P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AnB)

二条件概率

1.条件概率的定义：对于任何两事件A2在已知事件A发生的条件下，事件3发生的概率叫条件概率，用

符号PGBIA)来表示，其公式为P(3|A)=m^.

2.条件概率的性质：

(DO<P(B|A)<1.

②如果2和C是两个互斥事件，则尸(3C\A)=P(B\A)+P(C\A)

3.乘法公式：有条件概率公式P(3|A)=m^可得，P(AB)=P(A)P(B|A)；

这就是说时间A发生的概率以及在时间A发生的前提下时间B发生的概率，可以求时间AB同时发生的概

率，这个结论即为乘法公式。

4.全概率公式：若事件Al,A2,…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B,有如下公式成

立：

P(B)=P(BAI)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|Al)P(Al)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An).

此公式即为全概率公式。

三事件的独立性

如果P(B|A)=尸(B),那么一定有尸(AB)=尸(A)尸(B).所以当P(A)>O时，A与B独立的充要条件是

P(B|A)=P(B)O

当P(B|A)/P(B)时，时间A的发生会影响时间B发生的概率，此时时间A与时间B不是独立的，事

实上，“A与B独立”也被说成“A与B互不影响”等。

P(AB)P(A)P(B)

P(B|A)==P(B)

尸⑷「⑷

题型战法

题型战法一随机事件、频率与概率、生活中的概率

典例1.已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列

判断错误的是（）

A.事件“都是红色球”是随机事件B.事件“都是白色球”是不可能事件

C.事件“至少有一个白色球”是必然事件D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件

变式1-1.有下列事件：

①如果那么°-6>0；②某人射击一次，命中靶心；③任取一实数a（。>0且。中1）,函数

y=log。%是增函数；④从装有1个白色小球、2个红色小球的袋子中，摸出1个小球，观察结果是

黄球.其中是随机事件的有（）

A.①②B.③④C.①④D.②③

变式1-2.下列说法正确的是（）

A.任何事件的概率总是在（0,1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

变式1-3.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝

上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.48,0.48B.0.5,0.5

C.0.48,0.5D.0.5,0.48

变式1-4.某气象台预报“A地明天的降水概率是90%”，则下列说法正确的是（）

A.A地有90%区域明天会降水B.A地有90%时间明天会降水

C.A地明天必定会降水D.A地明天降水的可能性大小为90%

题型战法二事件的关系与运算、互斥事件、对立事件

典例2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件8,则（）

A.Au3B.A=B

c.AB表示向上的点数是1或2或3D.A3表示向上的点数是1或2或3

变式2-1.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A=｛至少1枚正面朝上｝,8=｛至多2枚正面朝上｝,

事件C=｛没有硬币正面朝上｝,则下列正确的是（）

A.C=ABB.C=AB

C.CcAD.C=B

变式2-2.一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（）

A.至少有两次中靶B.三次都不中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

变式2-3.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球，与“都是红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”

变式2-4.将颜色分别为红、黄、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则互斥且

不对立的两个事件是（）

A.“甲分得红球”与“乙分得黄球”B.“甲分得红球”与“乙分得红球”

C.“甲分得红球，乙分得蓝球”与“丙分得黄球”D.“甲分得红球”与“乙分得红球或丙分得红球”

题型战法三古典概型的概率计算

典例3.设有5个大小和质地相同的小球，其中甲袋中装有标号分别为1,2的两个小球，乙袋中

装有标号分别为1,2,3的三个小球.现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则这两小球标号之和为

4的概率为（）

变式3-1.甲、乙、丙、丁四人准备从社区组织的道路安全或卫生健康志愿宣传活动中随机选择一

个参加，每个人的选择相互独立，则甲、乙参加同一个活动的概率为（）

A.-B.-C.JD.]

4324

变式3-2.从A,B,C,D,£这五个景点中选择两个景点游玩，则A,3景点都没被选中的概率

是（）

7323

A.—B.-C.—D.—

105510

变式3-3.一个盒子中装有除颜色外其它都相同的5个小球，其中有2个红球，3个白球，从中任

取一球，则取到红球的概率为（）

变式3-4.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有

一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性都相等，则首先到站正好是这

位乘客所要乘的汽车的概率为（）

题型战法四整数值随机数

典例4.为估计该运动员三次射击恰有两次命中目标的概率，设计了如下方法：先由计算器产生0

到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3,4,5,6,7表示命中目标，8,9表示未命中目标，

再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下10组随机数：

187111891331198286123837884214.据此估计，该运动员三次射击恰有两次命中目标的

概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

变式4-1.天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%,现采用随机模拟方法估计这三

天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示

下雨，5,6,7,8,9,0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989

据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（）

A.0.40B.0.30C.0.25D.0.20

变式4-2.某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.

先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7,故我们用0、1、2表示

手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经

随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏

手术全部成功”的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

变式4-3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现

随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2,由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，

代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

变式4-4.为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为40%.现采用

模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0到9之间的随机整数，用1、

2、3、4表示堵车，用5、6、7、8、9、0表示不堵车：再以每三个数作为一组，代表这三天的

堵车情况.经试验产生了如下20组随机数：

807066123923471532712259507752

443277303927756368840413730086

据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为（）

A.0.25B.0.3C.0.35D.0.40

题型战法五简单的条件概率计算

典例5.甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随机

选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件4=“甲选择农夫山泉”，事件3="甲和乙选择的饮品

不同”，则P（3|A）=（）

A.：B.|C.|D-|

变式5-1.有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第

一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）

A.1B.-C.-D.1

3593

变式5-2.把一枚质地均匀的硬币抛掷两次，事件A表示“第一次出现正面”，事件8表示“第二次

出现反面”,则尸（3⑶等于（）.

变式5-3.2021年5月15日，我国首次火星探测任务天间一号探测器在火星乌托邦平原南部预选

着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校

航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知

甲同学被选出，则乙同学也被选出的概率为（）

变式5-4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%

的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为60%.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，

则他每天玩手机超过2h的概率为（）

题型战法六利用排列组合处理条件概率问题

典例6.现有甲、乙、丙、丁四个人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景

点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则尸（加2）=（）

421

A9B-C-D-

19,9,9,3

变式6-1.一袋中装有除颜色外完全相同的6个白球和4个黑球，如果不放回地依次摸取3个小球,

则在前2次摸到白球的条件下，第3次还摸到白球的概率为（）

A.3B-|c"D.|

5

变式6-2.盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球.甲从中随机取出两个球，在已知甲

取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（）

B-1C.|D-

A-

变式6-3.一个盒子里装了10支外形相同的水笔，其中有8支黑色水笔，2支红色水笔，从中任意

抽取两支，则抽到一支黑笔的条件下，另一支是红笔的概率为（）

A2B

A.9-n。•工D.£

变式6-4.济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”美名.现有甲、乙两位游客慕名来到济南

旅游，分别准备从大明湖、千佛山、狗突泉和五龙潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩.记

事件A：甲和乙至少一人选择千佛山，事件8：甲和乙选择的景点不同，则条件概率尸（2|A）=（）

A-5B-ic-7D-1

题型战法七全概率公式的应用

典例7.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品

的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

变式7-1.某学生参与一种答题游戏，需要从A,B,C三道试题中选出一道进行回答，回答正确

即可获得奖品.若该学生选择A,B,C的概率分别为0.3,0.4,0.3,答对A,B,C的概率分别为

0.4,0.5,0.6,则其获得奖品的概率为（）

A.0.5B.0.55C.0.6D.0.75

变式7-2.学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一

天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐

厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（）

A.0.18B.0.28C.0.42D.0.65

变式7-3.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号0或

1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；

当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，

则接收的信号为1的概率为（）

A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51

变式7-4.某种疾病的患病率为0.5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人

验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳

性的概率为（）

A.0.0689B.0.049C.0.0248D.0.02

题型战法八相互独立事件与互斥事件

1_21

典例8.若尸（AB）=§,尸（A）=g，P（B）=］，则事件A与B的关系是（）

A.事件A与8互斥B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立

2

变式8-1.已知A,3是一次随机试验中的两个事件，若满足P（A）=P（B）=G，则（）

A.事件A,B互斥B.事件相瓦独立

C.事件A,8不互斥D.事件A,3不相互独立

变式8-2.袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A,“第

二次摸得白球”记为事件8,那么事件A与8,A与月间的关系是（）

A.A与8,A与否均相互独立B.A与3相互独立，A与否互斥

C.A与3,A与豆均互斥D.A与8互斥，A与8相互独立

变式8-3.分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B,

“两枚结果相同”记为事件C,那么事件A与8,A与C间的关系是（）

A.A与3,A与C均相互独立B.A与B相互独立，A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥D.A与3互斥，A与C相互独立

变式8-4.若尸（&怛）=jP（A）=|,则事件A与5的关系是（）

A.事件A与8互斥B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立D.事件A与B互斥又相互独立

题型战法九独立事件的乘法公式

典例9.如图，用K、4、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且4、4至少有一个正

常工作时，系统正常工作，已知K、4、A2正常工作的概率依次是0.9、0.7、0.7,则系统正常工作（）

A.0.441B.0.782C.0.819D.0.9

变式9-1.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构

各自研制成功的概率分别为g和;，而且两个机构互不影响，则恰有一个机构研制成功的概率为（）

变式9-2.已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是且三

643

人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）

A-1B•得C-1D.g

“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为假定三人的

变式9-3.g,g,

行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）

.59

A-0B.-C.1D.—

5260

三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为：，；，；，假设他们

变式9-4.

能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为（）

A-1B-1+D.H

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.3.1概率、条件概率与事件的独立性(题型战法)

知识梳理

一概率

1.随机事件：在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生。

2.必然事件：在一定条件下必然会发生的某种结果的现象。

3.不可能事件：在同样的条件下，重复进行试验，结果始终不会发生的事件。

4.事件：必然事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A,B,C…来表示。

5.基本事件:在试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来表示。

6.基本事件空间：所有基本事件构成的集合，用大写希腊字母Q来表示。

7.概率与频率：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为‘，随

n

着n的增加，频率总是在某个常数附近摆动，把这个常数叫做事件

A发生的概率。

8.互斥事件：不可能同时发生的两个事件。

9.对立事件：不可能同时发生且必有一个发生的两个事件。对立事件是互斥事件的

特例。

10.古典概型的概念：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事

件发生的可能性均相等，这种条件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具备两个

特点：(1)试验结果的有限性；(2)所有结果的等可能性。每个事件发生的概率都

是L

n

11.古典概型的解题步骤：①求出总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件

所包含的基本事件的个数

数，然后利用公式P(A)=

总的基本事件个数

12.概率加法公式：

(1)若A,B是互斥事件：尸(AD5)=尸(A)+PCB)

(2)若A,B不是互斥事件：P(A05)=P(A)+P(B)-P(AnB)

二条件概率

1.条件概率的定义：对于任何两事件4B在已知事件A发生的条件下，事件3发生的概率

叫条件概率，用符号尸(例4)来表示，其公式为P(5|A)=g^.

2.条件概率的性质：

®0<P(B|A)<1.

②如果B和C是两个互斥事件，则P(3C\A)=P(B\A)+P(C\A)

3.乘法公式：有条件概率公式P(3|A)=g^可得，P(AB)=P(A)P(B|A)；

这就是说时间A发生的概率以及在时间A发生的前提下时间B发生的概率，可以求时间

AB同时发生的概率，这个结论即为乘法公式。

4.全概率公式：若事件Al,A2,…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B,

有如下公式成立：

P(B)=P(BAI)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|Al)P(Al)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An).

此公式即为全概率公式。

三事件的独立性

如果P(B|A)=P(B)，那么一定有P(A3)=P(A)尸(B).所以当P(A)>0时，A与B独立的

充要条件是P(B|A)=P(B)。

当P(B|A)*P(B)时，时间A的发生会影响时间B发生的概率，此时时间A与时间B

不是独立的，事实上，“A与B独立”也被说成“A与B互不影响”等。

P(AB)尸⑷尸(B)

P(B|A)==P(B)

P(A)尸(A)

题型战法

题型战法一随机事件、频率与概率'生活中的概率

典例1.已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取

4个，则下列判断错误的是()

A.事件“都是红色球”是随机事件

B.事件“都是白色球”是不可能事件

C.事件“至少有一个白色球”是必然事件

D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件

【答案】C

【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可.

【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从

中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.

故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；

事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；

事件，，至少有一个白色球，，是随机事件，故c错误；

事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确.

故选：C

变式1-1.有下列事件：

①如果那么a-b>0；

②某人射击一次，命中靶心；

③任取一实数a（。>0且awl）,函数》=log”%是增函数；

④从装有1个白色小球、2个红色小球的袋子中，摸出1个小球，观察结果是黄球.

其中是随机事件的有（）

A.①②B.③④C.①④D.②③

【答案】D

【分析】根据随机事件的定义分析判断即可.

【详解】对于①，当时，6>0一定成立，是必然事件，

对于②，某人射击一次，有可能命中靶心，所以②是随机事件，

对于③，任取一实数。（。>0且分1）,若。>1,则函数"log。》是增函数，若0<”1,

则函数y=10g。X是减函数，所以③是随机事件，

对于④，由于袋子中没有黄球，所以摸出1个小球，观察结果是黄球是不可能事件，

故选：C

变式1-2.下列说法正确的是（）

A.任何事件的概率总是在（0,1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

【答案】C

【分析】对于A,举例判断，对于B,由频率的性质判断，对于CD,根据频率与概

率的关系判断.

【详解】必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,故A错；

频率是由试验的次数决定的，故B错；

概率是频率的稳定值，故C正确，D错.

故选：C.

变式1-3.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，

发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.48,0.48B.0.5,0.5

C.0.48,0.5D.0.5,0.48

【答案】C

【分析】由频率和概率的定义即可得

【详解】由频率的定义，正面朝上的频率=蒜=。.48；

正面朝上的概率是抛硬币试验的固有属性，为0.5,与试验次数无关.

故选：C

变式1-4.某气象台预报“A地明天的降水概率是90%”，则下列说法正确的是（）

A.A地有90%区域明天会降水B.A地有90%时间明天会降水

C.A地明天必定会降水D.A地明天降水的可能性大小为90%

【答案】D

【分析】根据概率的概念求解即可.

【详解】A地明天的降水概率是90%表示：A地明天降水的可能性大小为90%,

故选：D

题型战法二事件的关系与运算、互斥事件、对立事件

典例2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为

事件8,则（）

A.Au5B.A=5

C.A3表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3

【答案】C

【分析】根据题意可知A={1,2},3={2,3},求出A3与3即可得到结果.

【详解】由题意，可知A={L2},B={2,3},则Ac3={l},AB={1,2,3},

•••A3表示向上的点数为1或2或3.所以D正确

故选:C

变式2-1.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上},3={至多2

枚正面朝上},事件C={没有硬币正面朝上},则下列正确的是（）

A.C=ABB.C=AB

C.CcAD.CjB

【答案】D

【分析】合理设出事件，从而得到事件4,B,C三者的关系.

【详解】记事件。={1枚硬币正面朝上},E={2枚硬币正面朝上},歹={3枚硬币

正面朝上},则A=。EF,B=CDE,

显然CwAB,CNAB,C=B,C不含于A.

故选：D

变式2-2.一个人打靶时连续射击三次,与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（）

A.至少有两次中靶B.三次都不中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

【答案】D

【分析】根据互斥事件的定义分析判断.

【详解】由题意可知一个人打靶时连续射击三次，事件“至多有两次中靶”与“三次都

中靶''不可能同时发生，

所以事件，，至多有两次中靶，，的互斥事件为，，三次都中靶，，，

故选：D

变式2-3.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件

是（）

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D.“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”

【答案】A

【分析】根据互斥事件的概念判断即可.

【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B不正确；

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；

“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D不正确.

故选:A.

变式2-4.将颜色分别为红、黄、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1

个，则互斥且不对立的两个事件是（）

A.“甲分得红球”与“乙分得黄球”

B.“甲分得红球”与“乙分得红球”

C.“甲分得红球，乙分得蓝球”与“丙分得黄球”

D.“甲分得红球”与“乙分得红球或丙分得红球”

【答案】B

【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案.

【详解】颜色分别为红、黄、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，

基本事件为：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”、“甲黄，乙红，丙蓝”、

“甲黄，乙蓝，丙红”、“甲蓝，乙红，丙黄”、“甲蓝，乙黄，丙红”，共6个，

A选项，“甲分得红球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”，

“乙分得黄球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲蓝，乙红，丙黄”，

所以，，甲分得红球，，与，，乙分得黄球，，不是互斥事件，A选项错误.

B选项，“甲分得红球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”，

“乙分得红球“：甲黄，乙红，丙蓝”、“甲蓝，乙红，丙黄”，

所以“甲分得红球”与“乙分得红球”互斥且不对立，B选项正确.

C选项，“甲分得红球，乙分得蓝球”包括：“甲红，乙蓝，丙黄”，

“丙分得黄球”包括：“甲红，乙蓝，丙黄”、“甲蓝，乙红，丙黄”，

所以“甲分得红球，乙分得蓝球”与“丙分得黄球”不是互斥事件，C选项错误.

D选项，“甲分得红球”包括：“甲红，乙黄，丙蓝”、“甲红，乙蓝，丙黄”，

“乙分得红球或丙分得红球”包括：“甲黄，乙红，丙蓝”、“甲黄，乙蓝，丙红”、

“甲蓝，乙红，丙黄”、“甲蓝，乙黄，丙红”，

所以“甲分得红球”与“乙分得红球或丙分得红球”是对立事件，D选项错误.

故选：B

题型战法三古典概型的概率计算

典例3.设有5个大小和质地相同的小球，其中甲袋中装有标号分别为1,2的两个

小球，乙袋中装有标号分别为1,2,3的三个小球.现从甲袋和乙袋中各任取一个小

球，则这两小球标号之和为4的概率为()

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】B

【分析】利用列举法求解古典概型的概率.

【详解】从甲袋和乙袋中各任取一个小球，标号共有6种情况，

分别为(1,1),(1,2),(1,31(2#,(20,(2,3),

其中这两个小球标号之和为4的有(1,3),(2,2),2种情况，

21

则概率为

63

故选：B

变式3-1.甲、乙、丙、丁四人准备从社区组织的道路安全或卫生健康志愿宣传活动

中随机选择一个参加，每个人的选择相互独立，则甲、乙参加同一个活动的概率为

()

A.-B.—C.[D.—

4324

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率计算公式计算出所求答案.

【详解】基本事件的总数为2"=16,

甲、乙参加同一个活动包含的基本事件有2x2?=8,

Q1

所以甲、乙参加同一个活动的概率为2=不

lo2

故选：C

变式3-2.从A,B,C,D,E这五个景点中选择两个景点游玩，则43景点都没

被选中的概率是()

7323

A.—B.—C.-D.—

105510

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率公式，采用列举法，可得答案.

【详解】从4B,C,D,E这五个景点中选择两个游玩，不同的情况有（AB）,（AC）,

（A。）,（AE）,（B,D）,（B,E）,（C,D）,（C,E）,（D,E）,共10种，其中A,

a

8景点都没被选中的情况有（CD）,（C,E）,（D,E）,共3种，故所求概率P=而.

故选：D.

变式3-3.一个盒子中装有除颜色外其它都相同的5个小球，其中有2个红球，3个

白球，从中任取一球，则取到红球的概率为（）

BCD

A-三-|-|-|

【答案】D

【分析】直接利用概率公式求解即可.

【详解】一个袋里装有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相

2

同，，摸出1个球是红球的概率为：p=-.

故选：D

变式3-4.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠

一辆汽车），有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性

都相等，则首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为（）

A"B.|C.|D.|

【答案】D

【分析】用古典概型的概率公式求解即可

【详解】根据题意，样本点分别是1,3,4,5,8路公共汽车首先到站，显然共有

5个，

而这位乘客所要乘的汽车有4路和8路两路，

故所求概率尸=（.

故选：D

题型战法四整数值随机数

典例4.为估计该运动员三次射击恰有两次命中目标的概率，设计了如下方法：先

由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3,4,5,6,7表示命

中目标，8,9表示未命中目标，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，

经随机模拟产生了如下10组随机数：

187111891331198286123837884214.据此估计，该运动员三次射击恰有

两次命中目标的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】B

【分析】根据题意，可得满足条件的随机数组有3组，再运用古典概率公式可求解.

【详解】经随机模拟产生了如下10组随机数：

187111891331198286123837884214,其中该运动员三次射击恰有两次命

中目标的的随机数有：187286837这3组.

所以据此估计，该运动员三次射击恰有两次命中目标的概率尸=输=0-3.

故选：B.

变式4-1.天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%,现采用随机模

拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的

随机数，指定1,2,3,4表示下雨，5,6,7,8,9,0表示不下雨.经随机模拟产

生了如下20组随机数：

907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989

据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（）

A.0.40B.0.30C.0.25D.0.20

【答案】D

【分析】由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4

组随机数，根据概率公式得到结果.

【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271

932812393共4组随机数

4

所求概率为元=0.20

故选：D

变式4-2.某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部

成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率

是0.7,故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3

个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812、832

、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为

)

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】C

【分析】从随机数中观察得出三个数都是大于2的组数，从而可得概率.

【详解】10组随机数中，代表“3例心脏手术全部成功”的有569,683,989,537,

共4个，

因此概率为P=*=0.4.

故选：C.

变式4-3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为02用计算器产生1~5之间的随

机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2,由于有3台设备,

所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机

数如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

【答案】B

【分析】找出代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的

概率公式可求得结果.

【详解】由题意可知，代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组有：412、

451、312、151、142、414、132、123、314,共9组，

9

因此，所求概率为尸=5=045.

故选：B.

变式4-4.为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为

40%.现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产

生。至"9之间的随机整数，用1、2、3、4表示堵车，用5、6、7、8、9、0表示不

堵车：再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况.经试验产生了如下20组随

机数：

807066123923471532712259507752

443277303927756368840413730086

据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为()

A.0.25B.0.3C.0.35D.0.40

【答案】A

【分析】找出表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组，利用古典概型的概率公式可

求得结果.

【详解】表示事件“三天中恰有两天堵车”的数组有：923、471、532、712、303,

共5组，

所以，这三天中恰有两天堵车的概率近似为P=卷=0.25.

故选：A.

题型战法五简单的条件概率计算

典例5.甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3

种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件4=“甲选择农夫山泉”,

事件3="甲和乙选择的饮品不同“，则尸(洌A)=()

1C1-1C2

A.-B.*C.一D.-

4233

【答案】D

【分析】利用条件概率公式求解即可.