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文档简介
专题11二次函数压轴探究考向1线段问题【母题来源】2021年中考东营卷【母题题文】如图,抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线yx+2过B、C两点,连接AC.(1)求抛物线的解析式;(2)求证:△AOC∽△ACB;(3)点M(3,2)是抛物线上的一点,点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,点P为抛物线对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PM的最小值.【试题解析】解:(1)∵直线yx+2过B、C两点,当x=0时,代入yx+2,得y=2,即C(0,2),当y=0时,代入yx+2,得x=4,即B(4,0),把B(4,0),C(0,2)分别代入yx2+bx+c,得,解得,∴抛物线的解析式为yx2x+2;(2)∵抛物线yx2x+2与x轴交于点A,∴x2x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,∴点A的坐标为(﹣1,0),∴AO=1,AB=5,在Rt△AOC中,AO=1,OC=2,∴AC,∴,∵,∴,又∵∠OAC=∠CAB,∴△AOC∽△ACB;(3)设点D的坐标为(x,x2x+2),则点E的坐标为(x,x+2),∴DEx2x+2﹣(x+2)x2x+2x﹣2x2+2x(x﹣2)2+2,∵0,∴当x=2时,线段DE的长度最大,此时,点D的坐标为(2,3),∵C(0,2),M(3,2),∴点C和点M关于对称轴对称,连接CD交对称轴于点P,此时PD+PM最小,连接CM交直线DE于点F,则∠DFC=90°,点F的坐标为(2,2),∴CD,∵PD+PM=PC+PD=CD,∴PD+PM的最小值为.【命题意图】函数思想;应用意识.【命题方向】本题考查二次函数的应用,解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定等,一般为压轴题目。【得分要点】二次函数综合题中线段问题的解题通法:(1)线段的数量关系问题:①在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度;②结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值).(2)线段的最值问题:①一条线段的最值问题,根据(1)①中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值;②两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决.(3)周长的最值问题:一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题.考向2面积问题【母题来源】2021年中考内江卷【母题题文】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3).(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式;(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方,连接PA、PD,求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值;(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.【试题解析】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣6),∵D(4,3)在抛物线上,∴3=a(4+2)×(4﹣6),解得a,∴抛物线的解析式为y(x+2)(x﹣6)x2+x+3,∵直线l经过A(﹣2,0)、D(4,3),设直线l的解析式为y=kx+m(k≠0),则,解得,,∴直线l的解析式为yx+1;(2)如图1中,过点P作PT∥y轴交AD于点T.设P(m,m2+m+3),则T(m,m+1).∵S△PAD•(xD﹣xA)•PT=3PT,∴PT的值最大值时,△PAD的面积最大,∵PTm2+m+3m﹣1m2m+2(m﹣1)2,∵0,∴m=1时,PT的值最大,最大值为,此时△PAD的面积的最大值为,P(1,).(3)如图2中,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,则T(﹣5,6),设DT交y轴于点Q,则∠ADQ=45°,∵D(4,3),∴直线DT的解析式为yx,∴Q(0,),作点T关于AD的对称点T′(1,﹣6),则直线DT′的解析式为y=3x﹣9,设DQ′交y轴于点Q′,则∠ADQ′=45°,∴Q′(0,﹣9),综上所述,满足条件的点Q的坐标为(0,)或(0,﹣9).【命题意图】二次函数图象及其性质;推理能力【命题方向】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,待定系数法,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题,学会构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴题.【得分要点】二次函数综合题中面积问题的解题通法:(1)直角坐标系中图形面积的求法,以“S三角形=×水平底×铅直高”为基础求解.(2)图形面积的数量关系:①找出所求图形的顶点,其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来;②结合图形作辅助线,并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来;③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积;④列方程求解.(3)图形面积的最值,解题思路跟(2)中的前三步相同,然后利用函数的增减性求解.考向3等腰三角形的存在性探究【母题来源】2021年中考攀枝花卷【母题题文】(2021•攀枝花)如图,开口向上的抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且AC⊥BC,其中x1,x2是方程x2+3x﹣4=0的两个根.(1)求点C的坐标,并求出抛物线的表达式;(2)垂直于线段BC的直线l交x轴于点D,交线段BC于点E,连接CD,求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标;(3)在(2)的结论下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PDE是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【试题解析】解:(1)由x2+3x﹣4=0得x1=﹣4,x2=1,∴A(﹣4,0),B(1,0),∴OA=4,OB=1,∵AC⊥BC,∴∠ACO=90°﹣∠BCO=∠OBC,∵∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB,∴,即,∴OC=2,∴C(0,﹣2),设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1),将C(0,﹣2)代入得﹣2=﹣4a,∴a,∴抛物线解析式为y(x+4)(x﹣1)x2x﹣2;(2)如图:由A(﹣4,0),B(1,0),C(0,﹣2)得:AB=5,BC,AC=2,∵DE⊥BC,AC⊥BC,∴DE∥AC,∴△ABC∽△DBE,∴,设D(t,0),则BD=1﹣t,∴,∴DE(1﹣t),BE(1﹣t),∴S△BDEDE•BE(1﹣t)2,而S△BDCBD•OC(1﹣t)×2=1﹣t,∴S△CDE=S△BDC﹣S△BDE=1﹣t(1﹣t)2t2t(t)2,∵0,∴t时,S△CDE最大为,此时D(,0);(3)存在,由yx2x﹣2知抛物线对称轴为直线x,而D(,0),∴D在对称轴上,由(2)得DE[1﹣()],当DE=DP时,如图:∴DP,∴P(,)或(,),当DE=PE时,过E作EH⊥x轴于H,如图:∵∠HDE=∠EDB,∠DHE=∠BED=90°,∴△DHE∽△DEB,∴,即,∴HE=1,DH=2,∴E(,﹣1),∵E在DP的垂直平分线上,∴P(,﹣2),当PD=PE时,如图:设P(,m),则m2=()2+(m+1)2,解得m,∴P(,),综上所述,P的坐标为(,)或(,)或(,﹣2)或(,).【命题意图】分类讨论;待定系数法;函数的综合应用;图形的相似;几何直观;应用意识.【命题方向】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法、三角形相似的判定及性质、三角形面积、等腰三角形判定及应用等知识,解题的关键是分类讨论及用含字母的代数式表示相关点的坐标、相关线段的长度,一般为压轴题.【得分要点】二次函数综合题中等腰三角形存在性探究的解题思路:(1)求出三角形的三边长(有的边长用含有未知数的代数式表示);(2)根据等腰三角形中两条边相等分类讨论,列方程求解.考向4直角三角形的存在性探究【母题来源】2021年中考毕节卷【母题题文】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,顶点为D,点B的坐标为(3,0).(1)填空:点A的坐标为,点D的坐标为,抛物线的解析式为;(2)当二次函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最小值为,求m的值;(3)P是抛物线对称轴上一动点,是否存在点P,使△PAC是以AC为斜边的直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【试题解析】解:(1)∵对称轴为直线x=2,∴b=﹣4,∴y=x2﹣4x+c,∵点B(3,0)是抛物线与x轴的交点,∴9﹣12+c=0,∴c=3,∴y=x2﹣4x+3,令y=0,x2﹣4x+3=0,∴x=3或x=1,∴A(1,0),∵D是抛物线的顶点,∴D(2,﹣1),故答案为(1,0),(2,﹣1),y=x2﹣4x+3;(2)当m+2<2时,即m<0,此时当x=m+2时,y有最小值,则(m+2)2﹣4(m+2)+3,解得m,∴m;当m>2时,此时当x=m时,y有最小值,则m2﹣4m+3,解得m或m,∴m;当0≤m≤2时,此时当x=2时,y有最小值为﹣1,与题意不符;综上所述:m的值为或;(3)存在,理由如下:A(1,0),C(0,3),∴AC,AC的中点为E(,),设P(2,t),∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形,∴PEAC,∴,∴t=2或t=1,∴P(2,2)或P(2,1),∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时,P点坐标为(2,2)或(2,1).【命题意图】二次函数图象及其性质;运算能力;应用意识【命题方向】本题考查二次函数的综合应用,熟练掌握二次函数解析式的求法,利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半,将直角三角形存在性问题转化为边的关系是解题的关键,一般为压轴.【得分要点】二次函数综合题中直角三角形存在性探究的解题思路:(1)求出三角形的三边长(有的边长用含未知数的代数式表示);(2)根据直角顶点分类讨论,应用勾股定理列方程求解.考向5平行四边形的存在性探究【母题来源】2021年中考西藏卷【母题题文】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,5).(1)求该抛物线的解析式;(2)如图(甲).若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)图(乙)中,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【试题解析】(1)将A的坐标(﹣1,0),点C的坐(0,5)代入y=﹣x2+bx+c得:,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5;(2)过P作PD⊥x轴于D,交BC于Q,过P作PH⊥BC于H,如图:在y=﹣x2+4x+5中,令y=0得﹣x2+4x+5=0,解得x=5或x=﹣1,∴B(5,0),∴OB=OC,△BOC是等腰直角三角形,∴∠CBO=45°,∵PD⊥x轴,∴∠BQD=45°=∠PQH,∴△PHQ是等腰直角三角形,∴PH,∴当PQ最大时,PH最大,设直线BC解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入得0=5k+5,∴k=﹣1,∴直线BC解析式为y=﹣x+5,设P(m,﹣m2+4m+5),(0<m<5),则Q(m,﹣m+5),∴PQ=(﹣m2+4m+5)﹣(﹣m+5)=﹣m2+5m=﹣(m)2,∵a=﹣1<0,∴当m时,PQ最大为,∴m时,PH最大,即点P到直线BC的距离最大,此时P(,);(3)存在,理由如下:抛物线y=﹣x2+4x+5对称轴为直线x=2,设M(s,﹣s2+4s+5),N(2,t),而B(5,0),C(0,5),①以MN、BC为对角线,则MN、BC的中点重合,如图:∴,解得,∴M(3,8),②以MB、NC为对角线,则MB、NC的中点重合,如图:∴,解得,∴M(﹣3,﹣16),③以MC、NB为对角线,则MC、NB中点重合,如图:,解得,∴M(7,﹣16);综上所述,M的坐标为:(3,8)或(﹣3,﹣16)或(7,﹣16).【命题意图】数形结合;分类讨论;待定系数法;函数的综合应用;多边形与平行四边形;几何直观;应用意识.【命题方向】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识,解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度,一般为压轴题.【得分要点】二次函数综合题中平行四边形存在性探究的解题思路:(1)已知三个点,顺次连接这三个点,分别过这三个点作对边的平行线,三条平行线的交点即为所求的点;如图1,已知点A,B,C,则点P1,P2,P3即为所求的与点A,B,C组成平行四边形的点.(2)已知两个点,分两种情况:①以这两点所构成的线段为边时,可将该线段上下左右平移确定另两点的位置,如图2,已知点A,B;②以这两点所构成的线段为对角线时,取该线段的中点,旋转经过该点的直线确定另两点的位置,如图3,已知点A,B.图1图2图31.(2021•耿马县二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),顶点坐标为点D,连接CD、BC、BD.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)求证:△DCB∽△AOC;(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到新的抛物线y=a1x2+b1x+c1,点E是平移后的抛物线与原抛物线的交点,点F是原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点P,使得以点B、E、F、P为顶点的四边形是矩形.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)把A(﹣1,0)、C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得,解得,∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)证明:如图1,连结AC,∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴抛物线的顶点D的坐标为(1,4),对称轴为直线x=1,∵点B与点A(﹣1,0)关于直线x=1对称,∴A(3,0),∴CD2=12+(4﹣3)2=2,BC2=32+32=18,BD2=(3﹣1)2+42=20,∴CD,CB=3,CD2+BC2=BD2=20,∴△DCB是直角三角形,且∠DCB=90°,∵OA=1,OC=3,∴,,∵∠DCB=∠AOC,,∴△DCB∽△AOC.(3)存在.∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴将该抛物线向右平移两个单位得到的抛物线为y=﹣(x﹣3)2+4,即y=﹣x2+6x﹣5,由得,∴E(2,3),设点F的坐标为(1,m),如图2,四边形PBEF是矩形,设PF交x轴于点K,抛物线平移后点A的对应点为L,则L(1,0),∴L在抛物线的对称轴直线x=1上,过点E、P分别作直线x=1的垂线,垂足分别为点G、T,作EH⊥x轴于点H,则G(1,3),H(2,0),∴EG=LH=BH=1,EH=3,∵∠EGL=∠GLK=∠EHL=90°,∴四边形EGLH是矩形,∴∠GEH=∠FEB=90°,∴∠FEG=∠BEH=90°﹣∠FEH,∵∠EGF=∠EHB=90°,∴△FEG∽△BEH,∴,∴FGBH1,∴m=3,∵PT∥x轴,PF∥BE,∴∠FPT=∠FKL=∠EBH,∵∠FTP=∠EHB=90°,PF=BE,∴△FPT≌△EBH(AAS),∴PT=BH=1,FT=EH=3,∴xP=1+1=2,yP=yT3,∴P(2,);如图3,以BE的中点Q为圆心,以BE为直径作⊙Q交直线x=1于点F、F′,过点F作直径为FP,作四边形BPEF、四边形BP′EF′,∵QP=PF,PB=PE,∴四边形BPEF是平行四边形,∵PF=BE,∴四边形BPEF是矩形,∵QF=QB,∴QF2=QB2,∵Q(,),∴(m)2+(1)2=()2+(3)2,解得m1=1,m2=2,∴F(1,1),F′(1,2),∵点P与点F(1,1)关于点Q(,)成中心对称,∴P(4,1),同理可得P′(4,2).综上所述,点P的坐标为(2,)或(4,1)或(4,2).2.(2021•东胜区一模)如图,已知直线y=2x+n与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,抛物线的顶点是A(1,﹣4),点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是y轴上一点,点N是坐标平面内一点,当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时,求点M的坐标.(3)在抛物线上是否存在点Q,使∠BAQ=45°,若存在,请直接写出点Q的横坐标;若不存在,说明理由.解:(1)将点A(1,﹣4)代入直线y=2x+n得,2+n=﹣4,∴n=﹣6,∴直线y=2x﹣6,当y=0时,代入直线得:0=2x﹣6,解得:x=3,∴点B坐标(3,0),设抛物线表达式为y=a(x﹣1)2﹣4,将点B代入抛物线得,0=4a﹣4,解得:a=1,∴抛物线表达式y=(x﹣1)2﹣4;(2)当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时,有两种情况:①如图,当AB为边时,设点M(0,m),已知点A(1,﹣4),点B(3,0)∴MA2=12+(m+4)2,AB2=(1﹣3)2+(﹣4﹣0)2=20,BM2=32+m2,∴MB2=AM2+AB2,即12+(m+4)2+20=32+m2,解得m,即点M的坐标(0,),延长BN交y轴于点M′,作AG⊥y轴于G,BH⊥GA交GA的延长线于点H.由△BOM∽△BHA,可得,∴,∴OM′,∴M′(0,),②如图,当AB为对角线时,取线段AB的中点P,作辅助圆⊙P,与y轴交于点M1,M2,作PG⊥y轴于点G,点P坐标(,),即(2,﹣2),由①可得线段AB2,∴⊙P半径,在Rt△PM1G中,PM1,PG=2,M1G1,根据垂径定理可得,M2G=1,∴点M1坐标(0,﹣1),点M2坐标(0,﹣3);综上所述,当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时,点M坐标为:(0,)或(0,)或(0,﹣1)或(0,﹣3);(3)存在点Q的横坐标为﹣2或,使∠BAQ=45°.理由如下:假设存在满足条件的点Q,如图,当四边形ADBC为正方形,且点Q1,Q2分别在直线AD和直线AC上时,∠BAQ=45°,设过线段AB中点P,且与线段AB垂直的直线:yb,将点P(2,﹣2)代入得:﹣2=﹣1+b,解得b=﹣1,∴直线为y,设点C点坐标(n,n﹣1),在Rt△ABD中,∠BAQ=45°,AB=2,sin45°,解得BD,∴BD,解得n1=0,n2=4,∴点C坐标(0,﹣1),点D坐标(4,﹣3),设直线AD表达式为:y=qx+p,将点A(1,﹣4),点D(4,﹣3)代入得,,解得,∴直线AD的表达式为y,同理可得直线AC的表达式为y=﹣3x﹣1,联立直线AD与抛物线y=(x﹣1)2﹣4可得,(x﹣1)2﹣4,解得x1=1,x2,同理联立直线AC与抛物线可解得x3=1,x4=﹣2,∴点Q的横坐标为﹣2或.3.(2021•南充模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0)、B(0,4)、C.其对称轴l交x轴于点D,交直线AB于点F,交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为直线l上的动点,求△PBC周长的最小值;(3)点N为直线AB上的一点(点N不与点F重合),在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M的坐标,不存在,说明理由.解:(1)把点A(4,0)、B(0,4)代入抛物线y=﹣x2+bx+c中,得,,解得,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+3x+4,(2)由抛物线解析式可知,l:x,C(﹣1,0),如图,作点B关于直线l的对称轴B′,连接B′C交l于一点P,点P即为使△PBC周长最小的点,此时B′(3,4),直线B′C:y=x+1,∴P(,),∵B(0,4),C(﹣1,0),B′(3,4),∴BC,CB′=4,∴△PBC周长的最小值为:4.(3)存在,以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为(,),(,)或(,).理由如下:由抛物线解析式可知,E(,),∵A(4,0)、B(0,4),∴直线AB的解析式为:y=﹣x+4,∴F(,).∴EF.设M(m,﹣m2+3m+4),①当EF为边时,则EF∥MN,∴N(m,﹣m+4),∴NM=EF,即|﹣m2+3m+4﹣(﹣m+4)|,解得m(舍)或或或,∴M(,)或(,),(,)).②当EF为对角线时,EF的中点为(,),∴点N的坐标为(3﹣m,m2﹣3m),∴﹣3+m+4=m2﹣3m,解得m(舍),m,∴M3(,).综上,满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为(,),(,)或(,).4.(2021•诸城市三模)如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(﹣2,0),点B(4,0),与y轴交于点C,过点C作直线CD∥x轴,与抛物线交于点D,作直线BC,连接AC.(1)求抛物线的函数表达式,并用配方法求抛物线的顶点坐标;(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上,且位于点C的上方,点N在直线BC上,点P为直线BC上方抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),∴得,∴解得,∴抛物线解析式为yx2+x+4,∵,∴抛物线的顶点坐标为;(2)如图1,设满足条件的点在抛物线上:①当点E位于直线CD下方时,过点E作EF⊥直线CD,垂足为F.则F(t,4),CF=t,,根据题意,当∠ECD=∠ACO时,tan∠ACO=tan∠ECD,即,∴,解得t1=0(舍去),t2=3,∴;②当点E'位于直线CD上方时,过点E'作E'F'⊥直线CD,垂足为F'.则F'(s,4),CF'=s,E'F's2+s+4﹣4s2+s,根据题意,当∠ECD=∠ACO时,tan∠ACO=tan∠ECD,即,∴,解得s1=0(舍去),s2=1.∴,所以,点E的坐标为或;(3)①CM为菱形的边,如图2,在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,交y轴于M′,∴四边形CM′P′N′是平行四边形,∵四边形CM′P′N′是菱形,∴P′M′=P′N′,过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P′(m,m2+m+4),在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′m,∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵P′N′∥y轴,∴N′(m,﹣m+4),∴P′N′m2+m+4﹣(﹣m+4)m2+2m,∴mm2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2,菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=44.②CM为菱形的对角线,如图3,在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,∵四边形CPMN是菱形,∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,∵∠OCB=45°,∴∠NCQ=45°,∴∠PCQ=45°,∴∠CPQ=∠PCQ=45°,∴PQ=CQ,设点P(n,n2+n+4),∴CQ=n,OQ=n+4,∴n+4n2+n+4,∴n=0(舍),∴此种情况不存在.综上,菱形的边长为44.10.(2021•达拉特旗三模)如图,抛物线交x轴于A(﹣2,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),连接AC,BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.(1)求抛物线的表达式;(2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x+2)•(x﹣3),∴a•2×(﹣3)=3,∴a,∴抛物线的关系式是y(x+2)•(x﹣3)x23;(2)∵B(3,0),C(0,3),∴直线BC的表达式是y=﹣x+3,∴Q(m,﹣m+3),∴QM=﹣m+3,∵P(m,),∴PM,∴PQ=PM﹣QM,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵QM∥OC,∴∠PQN=∠OCB=45°,∴PN=PQ•sin∠PQN()(m)2,∴当m时,PN最大;(3)设Q(m,﹣m+3),AC2=22+32=13,AQ2=(m+2)2+(﹣m+3)2=2m2﹣2m+13,CQ2=m2+m2=2m2,当AQ=AC时,2m2﹣2m+13=13,∴m1=0(舍去),m2=1,∴Q1(1,2),当AC=CQ时,2m2=13,∴m3,m4(舍去),∴Q2(,3),当AQ=CQ时,2m2﹣2m+13=2m2,∴m3,故舍去,综上所述,Q(1,2)或(,3).6.(2021•洛江区模拟)如图1,抛物线yx2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B点,与y轴交于点C(0,2).(1)求这个抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线上,且满足∠PAB=∠ACO,求点P的坐标;(3)如图2,若点D是在直线BC上方的抛物线的一点,作DE⊥BC于点E,求线段DE的最大值.解:(1)∵抛物线yx2+bx+c经过A(﹣1,0)、C(0,2),∴,解得,∴抛物线解析式为yx2x+2;(2)过P作PM⊥x轴于M,如图:设P(m,m2m+2),则PM=|m2m+2|,AM=m+1,∵∠PAB=∠ACO,∴tan∠PAB=tan∠ACO,即,∴,当P在x轴上方时,,解得m=3或m=﹣1(与A重合,舍去),∴P(3,2),当P在x轴下方时,,解得m=5或m=﹣1(舍去),∴P(5,﹣3),综上所述,点P的坐标为(3,2)或(5,﹣3);(3)作D作DN⊥x轴于N交BC于F,如图:在yx2x+2中,令y=0得x2x+2=0,解得x=4或x=﹣1,∴B(4,0),设直线BC为y=kx+2,∴0=4k+2,解得k,∴直线BC为yx+2,在Rt△BOC中,BC2,∴cos∠CBO,∵DE⊥BC,∠DFE=∠BFN,∴∠EDF=∠NBF,∴DE=DF•cos∠EDF=DF•cos∠CBODF,∴DF最大时,DE最大,设D(n,n2n+2),则F(n,n+2),∴DF=(n2n+2)﹣(n+2)(n﹣2)2+2,∴n=2时,DF最大为2,∴DE的最大值为2.7.(2021•陕西模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),抛物线的顶点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)连接AC、BC.问:是否存在这样的点P,以P为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍后得到△DEF(即点A、B、C的对应点分别是点D、E、F),使得点D、E恰好在抛物线上且点F在抛物线的对称轴上?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得到,,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)存在.由题意点A(﹣1,0),B(3,0),则AB=3﹣(﹣1)=4,∵△EDF∽△ABC,相似比为2,∴DE=2×4=8,∵二次函数为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4的对称轴为直线x=1,∴点D的横坐标为5或﹣3,①当点D在点E的右边时,点D的横坐标为5,点E的横坐标为﹣3,所以,y=﹣52+2×5+3=﹣12,此时,点D(5,﹣12),E(﹣3,﹣12),设直线AE的解析式为y=kx+b,直线BD的解析式为y=ex+f,则,,解得,所以直线AE的解析式为y=6x+6,直线BD的解析式为y=﹣6x+18,联立,解得,所以,点P的坐标为(1,12),②点D在点E的左边时,点E的横坐标为5,点D的横坐标为﹣3,所以,y=﹣52+2×5+3=﹣12,此时,点E(5,﹣12),D(﹣3,﹣12),设直线AE的解析式为y=kx+b,直线BD的解析式为y=ex+f,则,,解得,所以,直线AE的解析式为y=﹣2x﹣2,直线BD的解析式为y=2x﹣6,联立,解得,所以点P的坐标为(1,﹣4).综上所述,存在位似中心点P(1,12)或(1,﹣4).8.(2021•西宁一模)如图1,以点M(1,4)为顶点的抛物线与直线y=﹣x交于A,B两点,且点A坐标为(4,),点B在y轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点(如图2),过点D作DE⊥x轴于点E,交直线AB于点F,求线段DF长度的最大值;(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使以点A,M,P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,∴a(4﹣1)2+4,∴a,∴y(x﹣1)2+4;(2)如图1,设D(m,),∴F(m,﹣m),∴DF=()﹣(﹣m)(m﹣2)2+2,∴当m=2时,DF有最大值是2;(3)如图2,当∠APM=90°时,∵A(4,),∴P(1,),如图3,当∠PAM=90°时,∴∠APM+∠AMP=90°,作AQ⊥PM于Q,∴∠AQM=∠AQP=90°,∴∠APM+∠QAP=90°,∴∠AMP=∠QAP,∴△AQP∽△MQA,∴,∵QM=4﹣(),AQ=4﹣1=3,∴,∴PQ=2,∴PH=HQ+PQ,∴P(1,),综上所述:P的坐标是(1,)或(1,).9.(2021•包头一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣2,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.(1)求此抛物线的解析式及对称轴;(2)D是抛物线的对称轴上一点,且位于x轴的下方若S△ACD=6,求点D的坐标;(3)取点E(0,2),连接AE,在第四象限内的抛物线上是否存在
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