专题10类比、拓展探究题-（全国通 用）（原卷版）

专题10类比、拓展探究题考向1图形旋转引起的探究【母题来源】2021年中考日照卷【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①；②直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为QUOTEQUOTE．【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DGDE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面积AE×DG；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积AE×DG；故答案为：或．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。【命题方向】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键，一般为压轴题型。【得分要点】类比、拓展探究题的解题通法:1.类比、拓展探究题一般会有三问,每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用,解题的一般思路:(1)第一问通过操作发现,找到解决问题的思路和方法;(2)第二问通常是在第一问的基础上,改变其中的一个条件,只需观察改变的条件,即可利用同样的思路解决问题;(3)第三问通常将原题中的特殊情况推广到一般情况,利用前两问的做题思路进行求解.2.关于探究两条线段之间的数量关系:(1)两条线段相等,通常通过特殊四边形和三角形全等来证明.(2)两条线段有倍数关系,通常通过构造基本图形模型来证明:①利用三角形的中位线或含有30°角的直角三角形证明2倍关系;②利用等腰直角三角形证明倍关系;③利用含有30°角的直角三角形证明倍关系.3.关于探究两条线段之间的位置关系:(1)平行,通常用以下方法进行证明:①平行线判定定理;②平行四边形对边平行;③三角形中位线的性质.(2)垂直,通常用以下方法进行证明:①两线段所在直线夹角为90°;②两线段是矩形的邻边;③两线段是菱形的对角线;④勾股定理的逆定理;⑤等腰三角形三线合一的性质.考向2动点引起的探究【母题来源】2021年中考重庆卷【母题题文】在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BHBF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NPMP最小时，直接写出△DPN的面积．【试题解析】（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC∠ABC＝30°，CDACAB＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△FDC中，CF2，∴GF＝2，Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°，CH＝CD•cos30°，∴FH＝CF﹣CH，∴GH＝GF+FH，Rt△GHD中，DG；②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，∴△EGF是等边三角形，∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC+∠EFH＝180°，∴B、E、F、H共圆，∴∠FBH＝∠FEH，而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，∴∠FEH＝30°，∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，∴∠EPF+∠EGF＝180°，∴E、P、F、G共圆，∴∠GPF＝∠GEF＝60°，∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，∴∠BMH＝60°，∴∠BMH＝∠GPF②，而∠GFP＝∠HFM③，由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），∴PF＝FM，∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，∴EPBP＝BN＝NP，∴PF+NP＝FM+BN，∴NFBM，Rt△MHB中，MHBM，∴NF＝MH，∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°BH，∴BFBEBH，∴BE+BHBF；（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：Rt△PMH中，HPMP，∴NPMP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，而BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND是矩形，∴DN＝GH，∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又DN＝2NC，∴DN＝GH＝2，∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，Rt△BGM中，MGBM，BG＝BM•cos30°，∴MH＝MG+GH，GD＝BD﹣BG，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°，∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP，∴S△DPNPN•DN．【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识【命题方向】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线，一般为压轴位置．考向3图形变化引起的探究【母题来源】2021年中考赤峰卷【母题题文】数学课上，有这样一道探究题．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为，β＝；小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为，β＝；【类比探究】他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：（用含m、n的式子表示）；β＝（用含α的式子表示）．（2）求出α＝120°时的值和β的度数．【试题解析】（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，∵F、E分别是CD、BC的中点，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PCCD，ACCB，∵F、E分别是CD、BC的中点，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，由此，可归纳出，β＝∠ACB；（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∠CAE＝60°∴sin60°，同理可得：，∴，∴，又∵∠ECF＝∠ACP，∴△PCA∽△FCE，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．【命题意图】图形的相似；模型思想．【命题方向】考查学生的探究能力，综合性较强，一般为压轴题.【得分要点】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．1．（2021•范县模拟）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．（1）如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若A，D，E三点在同一直线上，α＝60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）图3中，若CA＝2，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当时，△CAD的面积最大，最大面积是．2．（2021•宛城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过A作AD⊥BC于点D，点E为直线AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，连接FC、FB，直线AD与BF相交于点G．（1）[发现]如图1，当α＝60°时，填空：①的值为；②∠AGB的度数为；（2）[探究]如图2，当α＝120°时，请写出的值及∠AGB的度数，并就图2的情形给出证明；（3）[应用]如图3，当α＝90°时，若AB＝2，∠ACE＝15°，请直接写出△DFG的面积．3．（2021•南关区校级一模）【教材呈现】华师版九年级上朋数学教材第77页的部分内容：如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DEBC．请根据教材内容，结合图1，写出证明过程．【结论应用】如图2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝5，BC＝9，求EF的长．【拓展廷仲】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，D为AC中点，将AD绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AD1，连结CD1，取CD1的中点E，连结BE．则△BEC面积的最大值为．4．（2021•市南区校级二模）如图，等腰三角形△ABC的腰长AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分∠P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．5．（2021•朝阳二模）如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，经过点A的直线MN∥BC，D是直线MN上的一个动点，射线DB绕点D逆时针旋转90°交直线AC于点E．（1）若∠ABC＝45°．①如图1，当点E在线段AC上时，直接写出线段AB，AE，AD之间的数量关系，不用证明；②如图2，当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明．（2）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他条件不变，直接写出AD的长．6．（2021•寻乌县模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为A′，连接A′B，点P为直线BC上的动点（不与点B重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接A′D，BD．【问题发现】（1）如图1，当点D在直线BC上时，线段BP与A′D的数量关系为，∠DA′B＝；【拓展探究】（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；【问题解决】（3）当∠BDA′＝30°时，求线段AP的长度．7．（2021•太原二模）综合与实践问题背景数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作DE⊥AB于点E．连接AD，M为AD的中点，连接EM，CM．观察发现（1）如图1，EM与CM之间的数量关系是EM＝CM；思考分享（2）如图2，将△BDE绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．小明是这样思考的：延长DE至点D'，使得ED′＝DE，连接AD′运用三角形中位线定理，…，按照他的思路或采用其他方法证明；探究计算（3）若∠ABC＝30°，AC＝4，DE＝2，在△BDE绕点B旋转一周的过程中，当直线DE经过点A时，线段AD的长为．8．（2021•重庆模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以正方形的边长BC为斜边在正方形内作Rt△BEC，∠BEC＝90°．（1）求证：BE﹣CEOE；（2）若CE＝3，BE＝4，①△OBE的面积为（直接写出结果）；②点P为BC边上的动点，则△OPE周长的最小值为（直接写出结果）．9．（2021•环翠区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．（1）发现问题如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是BQ＝PC；（2）类比探究如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明；（3）迁移应用如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，P是线段BC上的任意一点．连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转45°，得到线段AQ，连接BQ，试求线段BQ长度的最小值．10．（2021•宁波