2024-2025新教材高中数学第六章计数原理6.3.2二项式系数的性质素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE七二项式系数的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知QUOTE(其中n<15)的绽开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列.则下列结论正确的是 ()A.n的值为14B.绽开式中常数项为第8项C.绽开式中有理项有3项D.二项式系数最大的项是第7项【解析】选AC.由题意2QUOTE=QUOTE+QUOTE,化简得(n-14)(n-23)=0,因为n<15,所以n=14.A正确;绽开式通项为Tr+1=QUOTE=QUOTE(0≤r≤14,r∈N),明显其中无常数项,B错误;当r=0,6,12时,QUOTE=7,6,5为整数,因此绽开式中有3项为有理项,C正确;绽开式有15项,二项式系数最大的项为第8项,D错误.2.若QUOTE=a0+a1QUOTE+…+a2019(x+1)2019,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2019·32019的值为 ()A.-1-22019 B.-1+22019C.1-22019 D.1+22019【解析】选A.取x=-1,得到a0=22019;取x=2,则a0+a1·3+a2·32+…+a2019·32019=-1.故a1·3+a2·32+…+a2019·32019=-1-22019.3.在(1+x)6(1+y)4的绽开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60C.120 D.210【解析】选C.因为xmyn项的系数为f(m,n)=QUOTE,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=120.4.QUOTE的绽开式中只有第5项的二项式系数最大,则绽开式中的常数项是 ()A.-28 B.28 C.70 D.-70【解析】选B.QUOTE的绽开式中只有第5项的二项式系数最大,故n为偶数,绽开式共有9项,故n=8.QUOTE,即QUOTE,它的绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTE·(-1)r·QUOTE,令QUOTE=0,求得r=2,则绽开式中的常数项是QUOTE=28.5.已知QUOTE=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则QUOTE+QUOTE+…+QUOTE等于 ()A.29 B.39C.1 D.49【解析】选D.QUOTE绽开式的通项Tr+1=QUOTE·QUOTE,当r为奇数时,ar<0,当r为偶数时,ar>0,因此,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=[1-3×(-1)]9=49.6.(多选题)在QUOTE的绽开式中,系数最大的项为 ()A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项【解析】选AC.由二项式定理知,绽开式中,二项式系数与对应的项的系数的肯定值相等.由于二项式系数的最大项为T6,且T6=QUOTEx5QUOTE=-QUOTE,二项式系数等于项的系数的相反数,此时T6的系数最小.而T5=QUOTEx6QUOTE=QUOTEx2,T7=QUOTEx4QUOTE=QUOTEx-2,且QUOTE=QUOTE,所以系数最大的项为第5项和第7项.二、填空题(每小题5分,共10分)7.QUOTE的绽开式中各项的二项式系数之和为;各项的系数之和为.

【解析】绽开式中各项的二项式系数之和为28=256,各项的系数之和为QUOTE=QUOTE.答案:256QUOTE8.已知fn(x)=(1+x)n.若f2019(x)=a0+a1x+…+a2019x2019,则a1+a3+…+a2017+a2019的值为;若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),则g(x)中含x6项的系数为.

【解析】因为fn(x)=(1+x)n,所以f2019(x)=(1+x)2019,又f2019(x)=a0+a1x+…+a2019x2019,所以f2019(1)=a0+a1+…+a2019=22019,①f2019(-1)=a0-a1+…+a2018-a2019=0,②①-②得:2(a1+a3+…+a2017+a2019)=22019,所以a1+a3+…+a2017+a2019=22018.因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8,所以g(x)中含x6项的系数为1+2×QUOTE+3QUOTE=99.答案:2201899三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知QUOTE的绽开式中二项式系数的最大值是中间的一项,等于70,(1)求n的值.(2)问绽开式中系数最大的项是第几项?(3)求(1+2x2)QUOTE的绽开式中的常数项.【解析】(1)由杨辉三角中的数可知当n=8时的行中最大的数是70,所以n=8.(2)QUOTE的绽开式的第r+1项的系数为QUOTE208-r18r,解不等式组QUOTE得r=4,所以第5项的系数最大.(3)QUOTE的绽开式的通项为QUOTEx8-rQUOTE=(-1)rQUOTEx8-2r,令8-2r=0得r=4,令8-2r=-2得r=5,所以(1+2x2)QUOTE的绽开式中的常数项是(-1)4QUOTE+2(-1)5QUOTE=-42.10.设m为正整数,(x+y)2m绽开式的二项式系数的最大值为a,绽开式(x+y)2m+1的二项式系数的最大值为b,a与b满意13a=7b.(1)求m的值;(2)求(x-y)(x+y)m+2的绽开式中x2y7的系数.【解析】(1)由题意知QUOTE=a,QUOTE=b,又13a=7b,所以13·QUOTE=7·QUOTE,所以13QUOTE=7QUOTE,所以13=7×QUOTE,所以m=6.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE,含x2y7的项:x2·QUOTEy7,-y2×QUOTEx2y5,所以绽开式中x2y7的系数为1-QUOTE=-20.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(1-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+a3+a5+a7+a9= ()A.512 B.1024 C.-1024 D.-512【解析】选D.令x=1,得0=a0+a1+a2+a3+…+a10;令x=-1,得210=a0-a1+a2-a3+…+a10;两式相减得,-210=2QUOTE,所以a1+a3+a5+a7+a9=QUOTE=-29=-512.2.在QUOTE的绽开式中,各项系数之和为A,二项式系数之和为B,若A+B=72,则n= ()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.因为各项系数之和为(1+3)n=4n,二项式系数之和为2n,因为A+B=72,所以4n+2n=72,所以2n=8,所以n=3.3.(多选题)已知QUOTE(a>0)的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且绽开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是 ()A.绽开式中奇数项的二项式系数和为256B.绽开式中第6项的系数最大C.绽开式中存在常数项D.绽开式中含x15项的系数为45【解析】选BCD.由二项式的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10,又绽开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,QUOTE=1024,所以a=1,所以二项式为QUOTE=QUOTE,则二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为QUOTE×1024=512,故A错误;由n=10可知绽开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与QUOTE的系数均为1,则该二项式绽开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若绽开式中存在常数项,由通项Tr+1=QUOTEx2(10-r)QUOTE可得2(10-r)-QUOTEr=0,解得r=8,故C正确;由通项Tr+1=QUOTEx2(10-r)QUOTE可得2QUOTE-QUOTEr=15,解得r=2,所以系数为QUOTE=45,故D正确.4.已知QUOTE绽开式的各个二项式系数的和为128,则QUOTE的绽开式中x2的系数为 ()A.7 B.560 C.448 D.35【解析】选C.因为QUOTE绽开式的各个二项式系数的和为128,所以2n=128,则n=7,即2QUOTE+QUOTEn=QUOTE.设QUOTE的通项公式为Tr+1=QUOTE=27-rQUOTE.令QUOTE=2,则r=1.所以QUOTE的绽开式中x2的系数为26QUOTE=64×7=448.二、填空题(每小题5分,共20分)5.(1+QUOTE)n绽开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是.

【解析】因为8<QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<32,即8<2n<32.所以n=4.所以绽开式共有5项,系数最大的项为T3=QUOTE(QUOTE)2=6x.答案:6x6.(a+x)(1+x)4的绽开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.

【解析】方法一:将(a+x)(1+x)4绽开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.方法二:(1+x)4绽开式的通项为QUOTE=QUOTExr,由题意可知a(QUOTE+QUOTE)+QUOTE+QUOTE+QUOTE=32,解得a=3.答案:37.QUOTE的二项绽开式中系数最大的是第三项,且a∈N+,则a=,绽开式中二项式系数最大的是第项.

【解析】由题意得QUOTE的二项绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTE·1r=QUOTE·a9-r·x9-r,由第三项的系数最大可得QUOTE即QUOTE解得QUOTE≤a≤4,又a∈N+,所以a=3或4.绽开式中二项式系数最大的是QUOTE和QUOTE,即为第5项和第6项.答案:3或45和68.在(x+1)QUOTE的绽开式中,各项系数的和为512,则x2项的系数是.(用数字作答)

【解析】因为(x+1)QUOTE的绽开式中,各项系数的和为512,所以令x=1,得(1+1)QUOTE=512,即:2n+1=29,解得n=8,所以原式为:(x+1)QUOTE,所以QUOTE绽开式的通项为Tr+1=QUOTE=QUOTE,当16-QUOTEr=1或16-QUOTEr=2时,符合题意,解得r=6或r=QUOTE(舍去),所以x2项的系数为QUOTE=28.答案:28三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知(1+3x)n的绽开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求:(1)绽开式中二项式系数最大的项.(2)绽开式中系数最大的项.【解析】(1)由已知得QUOTE+QUOTE+QUOTE=121,则QUOTEn(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15,所以,绽开式中二项式系数最大的项是T8=QUOTE(3x)7和T9=QUOTE(3x)8.(2)Tr+1=QUOTE(3x)r,由题意得,设第r+1项系数最大,则QUOTE所以11≤r≤12.所以绽开式中系数最大的项对应的r=11,12,即绽开式中系数最大的项是T12=QUOTE(3x)11和T13=QUOTE(3x)12.10.在(3x-2y)20的绽开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数肯定值最大的项;(3)系数最大的项.【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=QUOTE310(-2)10x10y10=QUOTE610x10y10.(2)设系数肯定值最大的项是第r+1项,于是化简得QUOTE解得7QUOTE≤r≤8QUOTE(r∈N),所以r=8,即T9=QUO