广东省深圳市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE20-广东省深圳市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题:本大题共10小题。1.若集合，，则（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过集合B中，用列举法表示出集合B，再利用交集的定义求出．【详解】由题意，集合，所以故答案为：B【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中熟记集合的表示方法，以及精确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．2.连续两次抛掷一枚质地匀称的硬币，出现正面对上与反面对上各一次的概率是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法求得基本领件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，连续两次抛掷一枚质地匀称的硬币，基本领件包含：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中状况，出现正面对上与反面对上各一次，包含基本领件：（正面，反面），（反面，正面），共2种，所以的概率为，故选C．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中娴熟利用列举法求得基本领件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一推断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论．【详解】由于函数是奇函数，不是偶函数，故解除A；由于函数是偶函数，但它在区间上单调递增，故解除B；由于函数是奇函数，不是偶函数，故解除C；由于函数是偶函数，且满意在区间上单调递减，故满意条件．故答案为：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．4.如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得．【详解】由已知可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，精确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．5.已知函数，下列结论不正确是（

）A.函数的最小正周期为B.函数在区间内单调递减C.函数的图象关于轴对称D.把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一推断，再利用平移“左加右减”及诱导公式得出，进而得出答案．【详解】由题意，函数其最小正周期为，故选项A正确；函数在上为减函数，故选项B正确；函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确把函数的图象向左平移个单位长度可得，所以选项D不正确．故答案为：D【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．6.已知直线是平面的斜线，则内不存在与（

）A.相交的直线 B.平行的直线C.异面的直线 D.垂直的直线【答案】B【解析】【分析】依据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案．【详解】由题意，直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内确定不存在与直线平行的直线．故答案为：B【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题．7.若，且，则“”是“函数有零点”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行推断，即可得出答案．【详解】由题意，当时，，函数与有交点，故函数有零点；当有零点时，不确定取，只要满意都符合题意．所以“”是“函数有零点”的充分不必要条件．故答案为：A【点睛】本题主要考查了函数零点的概念，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数零点的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．8.如图，中，分别是边中点，与相交于点，则（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减法的法则，利用是的重心，进而得出，再利用向量的加减法的法则，即可得出答案．【详解】由题意，点分别是边的中点，与相交于点，所以是的重心，则，又因为，所以故答案为：C【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形重心的性质，其中解答中熟记三角形重心的性质，以及向量的线性运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．9.英国数学家布鲁克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：。试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）A.0.99 B.0.98 C.0.97

D.0.96【答案】B【解析】【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得，故答案为：B【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，精确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．10.已知函数，若存在实数，满意，则实数的取值范围为（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出，再利用分类探讨思想即可求出实数的取值范围．【详解】由题意知，方程有解，则，化简得，即，因为，所以，当时，化简得，解得；当时，化简得，解得，综上所述的取值范围为．故答案为：A【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用题设条件化简，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于中档试题．二、填空题。11.设为虚数单位，复数的模为______。【答案】5【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．【详解】由题意，复数，则复数的模为．故答案为：5【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．12.已知，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，精确运算，即可求解．【详解】由题意，向量，则，，所以．故答案为：【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．13.甲、乙两名射击运动员进行射击竞赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为______．【答案】0.56【解析】【分析】依据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事务的概率乘法公式，即可求解．【详解】由题意，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，所以两人均中靶的概率为，故答案为：0.56【点睛】本题主要考查了相互独立事务的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．14.某学校高一年级实行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参与，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人【答案】16【解析】【分析】利用分层抽样性质，干脆计算，即可求得，得到答案．【详解】由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参与，其中家长256人，通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．故答案为：16【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，精确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．15.函数的部分图象如图，其中，，．则____；_____．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】由图求得，再由求出，利用图象过点，求出，进而求出，即可求解，得到答案．【详解】由题意，依据三角函数的部分图象，可得即，因为，所以，又由图可知，依据，解得，因为，所以，所以．故答案为：2；【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．16.棱长均为1m的正三棱柱透亮封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为（如图1）；当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充溢三棱锥（如图2），则___；_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积比值，进而求出的值，得到答案．【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，所以，由题意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等边中，边上的高为因为，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算实力，属于中档试题．三、解答题．17.已知的三个内角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）通过正弦定理得，进而求出，再依据，进而求得的大小；（2）由正弦定理中的三角形面积公式求出，再依据余弦定理，求得，进而求得的周长．【详解】（1）由题意知，由正弦定理得，又由，则，所以，又因为，则，所以．（2）由三角形的面积公式，可得，解得，又因为，解得，即，所以，所以的周长为【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题．18.如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点（1）当时，求的值；（2）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由三角函数的定义得出，通过当时，，，进而求出的值；（2）利用三角恒等变换的公式化简得，得出，进而得到的取值范围．【详解】（1）由三角函数的定义，可得当时，，即，所以．（2）因为，所以，由三角恒等变换的公式，化简可得：，因为，所以，即的取值范围为．【点睛】本题主要考查了随意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差的三角函数的运算公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．19.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）依据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）依据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500依据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均须要花费多少元?【答案】(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】【分析】（1）依据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）依据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）依据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．【详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由，所以中位数位于区间中，设中位数为，则，解得，因为，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均须要元．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应学问的综合应用，着重考查了化简实力，推理计算实力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．20.如图长方体中，，分别为棱，的中点（1）求证:平面平面；（2）请在答题卡图形中画出直线与平面的交点（保留必要的协助线），写出画法并计算的值（不必写出计算过程）．【答案】(1)见证明；(2)；画图见解析【解析】【分析】（1）推导出平面，得出，得出，从而得到，进而证出平面，由此证得平面平面．（2）依据通过协助线推出线面平行再推出线线平行，再依据“一条和平面不平行的直线与平面的公共点即为直线与平面的交点”得到点位置，然后计算的值．【详解】（1）证明：在长方体中，，分别为棱，的中点，所以平面，则，在中，，在中，，所以，因为在中，，所以，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）如图所示：设，连接，取中点记为，过作，且，则.证明：因为为中点，所以且；又因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，则；又因为，所以，且平面，所以平面；又因为，则，平面，即点为直线与平面的交点；因为，所以，则；且有上述证明可知：四边形为平行四边形，所以，所以，因为，.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，娴熟驾驭空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21.已知函数，其中．（1）当时，求的最小值；（2）设函数恰有两个零点，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2