天津市和平区双菱中学2024-2025学年高二数学4月阶段检测试题含解析

PAGE16-天津市和平区双菱中学2024-2025学年高二数学4月阶段检测试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先依据导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式方程得到切线方程．详解：∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选C．点睛：利用导数的几何意义求切线方程时要留意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区分．对于第一种说法可干脆利用导数的几何意义求解，其次种说法则要转化为第一种说法求解．2.函数在上的最大值为（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值，得到答案．【详解】由题意，函数，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，故选D．【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题．3.若函数在x＝2处有极大值，则常数c为（）A.2 B.6 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，则，求出c值．然后再代回去检验函数的导数在处左侧为正数，右侧为负数．因为满意这个条件才能说在处取得极大值．【详解】∵函数，它的导数为，由题意知，在x＝2处的导数值为，∴c＝6，或c＝2，又函数在x＝2处有极大值，故导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.当c＝2时，，不满意导数值在x＝2处左侧正数，右侧为负数.当c＝6时，，满意导数值在x＝2处左侧为正数，右侧为负数.故c＝6.故选B.【点睛】函数在处取得极值的充要条件是：1）2)导函数在处两端异号．所以此类题先求，再推断导函数在处是否异号即可．4.已知，则等于()A.-4 B.-2 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最终将x＝3代入即可．【详解】因为f′（x）＝2x+2f′（1令x＝1，可得f′（1）＝2+2f′（1∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4当x＝3，f′（3）＝2．故选D【点睛】本题考查导数的运用，求出f′（1）是关键，是基础题．5.平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取轴上的单位向量，则轴与平面所成的角的大小，由公式可求解.【详解】解：设轴与平面所成的角的大小为，在轴上的单位向量，平面的一个法向量为，，．故选：B．【点睛】本题考查用向量方法求线面的夹角，属于基础题.6.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（）A. B. C.- D.【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】直三棱柱中，，，为的中点．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．7.已知函数在处有极值10，则值为（）A.， B.，或，C.， D.以上都不正确【答案】A【解析】【分析】依据条件函数在处有极值10，则有且，解出的值，然后再代入检验是否满意条件，得出答案【详解】解：函数的导数为，因为函数在处有极值10，所以且．即，解得或．当，，，此时函数单调递增，所以此时函数没有极值，所以不满意条件．所以经检验值当，时，满意条件．故选：A．【点睛】本题考查函数取极值的状况，求参数的值，留意要检验，属于中档题.8.已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分别变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.【详解】因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以．故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分别变量是解决本题的关键.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知函数，则函数的单调递减区间为_____．【答案】，【解析】【分析】求出函数的导函数，令可得到答案.【详解】解：令，解得：或．函数的单调递减区间为，，故答案为：，，【点睛】本题考查利用导数求函数的减区间，属于基础题.10.如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．【答案】4【解析】【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，故，，，设平面一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．故答案为：4．【点睛】本题考查依据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.11.如图是的导函数的图像，现有四种说法：①在上是增函数；②是微小值点；③在上是减函数，在上是增函数；④是的微小值点；以上正确的序号为________．【答案】②【解析】【详解】试题分析：由的图像可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以是函数的微小值点，故①错误，②正确；从图中可以看到在有一个零点，设为，当时，，单调递减，当时，，单调递增，时，，单调递增，所以，是函数有极大值点，故③错误，④错误；综上可知，②正确.考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的极值与导数.12.已知函数，函数，若对随意的，存在，使得，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】依据题意即等价于，求出，得出函数的单调区间，得出最小值，从而得出答案.【详解】解：对随意的，存在，使得，等价于，令，解得，且当时，，则在上单调递增，所以，又在上单调递减，所以，则，解得，故答案为．【点睛】本题考查两函数构成的不等式中的随意和存在性问题求参数，属于中档题.13.正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是_____，点A到侧面PBC的距离是_____．【答案】(1).2(2).【解析】【分析】作底面，交面于点，连接并延长交于点，取中点，连结，则点在上，是二面角的平面角，依据棱锥的高、结合侧棱与底面成的角，可得；求得，利用，可得点到面的距离．【详解】作底面，交面于点，连接并延长并于点，取中点，连结，则点在上，是二面角的平面角，∵正三棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为，，，∴二面角的正切值，又，设，则，由勾股定理得，解得，，，，设点到面的距离为，，解得，∴点到面的距离为．故答案为．【点睛】本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查线面角的定义、棱锥的体积公式，考查空间想象实力，是中档题．求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算实力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清楚、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.14.已知函数在上的最大值为3，则实数_______．【答案】【解析】【分析】由，分和探讨函数的单调区间，从而得出函数的最值，得出答案.【详解】解：，令，，①当时，，，，在上单调递增，，即（舍去），②当时，，，，时，，．故在上单调递增，在上单调递减，，，即，即，令，，在上单调递减，且.解得.故答案为：．【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调区间得出函数的最值，求参数的范围，属于中档题.三、解答题（本题共2小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）当时，求在区间上的最值；（2）探讨函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析；（3）（﹣1，0）【解析】分析】（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）依据的不同取值进行分类探讨，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当时，，∴．∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，函数取得微小值，也为最小值，且最小值为．又，，∴．所以函数在区间上的最小值为，最大值为．（2）由题意得，．①当，即时，恒成立，∴在上单调递减．②当时，恒成立，∴在上单调递增．③当时，，由得，或（舍去），∴在上单调递减，在上单调递增．综上可得，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减．（3）由（2）可得，当时，，若不等式恒成立，则只需，即，整理得，解得，∴，又，∴．∴实数的取值范围为．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，肯定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必需分类探讨．（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成立问题，则可实行逐步消去变量的方法求解，此时须要分清谁是主变量谁是次变量，一般状况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数．16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．（1）求证：面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，恳求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)答案见解析.【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面；（2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。【详解】解：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．则，，．设平面的法向量是，则，即令，则，．