Z矩阵、Y矩阵、A矩阵、S矩阵、T矩阵定义、推导及转换公式

微波网络各种参量矩阵定义REF_Ref123739937\h图1所示为二端口微波网络，1端口电压为U1，电流为I1；二端口电压为U2，电流为I2。图SEQ图\*ARABIC1二端口微波网络Z矩阵阻抗矩阵如下：(1.1-1)(1.1-2)其中，，，，(1.1-3)对于互易网络：(1.1-4)对于对称网络：(1.1-5)对于无耗网络：（i,j=1,2）(1.1-6)归一化阻抗矩阵定义归一化电压和电流与未归一化电压和电流的关系为：(1.1-7)代入式（1.1-1），有(1.1-8)进而(1.1-9)(1.1-10)其中，为归一化阻抗矩阵，，，，。不同书籍上，亦将归一化阻抗矩阵书写为Y矩阵导纳矩阵如下：(1.2-1)(1.2-2)其中，，，，(1.2-3)对于互易网络：(1.2-4)对于对称网络：(1.2-5)对于无耗网络：（i,j=1,2）(1.2-6)归一化导纳矩阵定义归一化电压和电流与未归一化电压和电流的关系为：(1.2-7)代入式（1.2-1），有(1.2-8)进而(1.2-9)(1.2-10)其中，为归一化导纳矩阵，，，，。不同书籍上，亦将归一化导纳矩阵书写为。。A矩阵端口2的电流取向外，应为-I2。图SEQ图\*ARABIC2二端口微波网络（A矩阵）转移矩阵如下：(1.3-1)(1.3-2)其中，，，，(1.3-3)归一化转移矩阵根据式（1.1-7）中归一化电压和电流与未归一化电压和电流的关系：代入式（1.3-1），有(1.3-4)进而(1.3-5)(1.3-6)其中，为归一化转移矩阵，，，，。不同书籍上，亦将归一化转移矩阵书写为。对于互易网络：(1.3-7)对于对称网络：(1.3-8)对于无耗网络：A11，A22为实数；A12，A21为虚数(1.3-9)微波网络各种参量矩阵转换Z矩阵<=>Y矩阵以归一化矩阵为例，根据归一化阻抗矩阵和归一化导纳矩阵，有(2.1-1)则(2.1-2)，根据式（2.1-1_2），，代入式（2.1-1_1），化简有： (2.1-3)，根据式（2.1-1_1），，代入式（2.1-1_2），化简有：(2.1-4)，根据式（2.1-1_2），，代入式（2.1-1_1），化简有： (2.1-5)，根据式（2.1-1_1），，代入式（2.1-1_2），化简有：至此，(2.1-6)同理，有(2.1-7)即，与归一化导纳矩阵中结论一致。Z矩阵<=>A矩阵根据归一化阻抗矩阵和归一化转移矩阵，有(2.2-1)则(2.2-2)，根据式（2.2-1_2），，代入式（2.2-1_1），化简有： (2.2-3)，根据式（2.2-1_2），，代入式（2.2-1_1），化简有： (2.2-4)，根据式（2.2-1_2），有 (2.2-5)，根据式（2.2-1_2），(2.2-6)，将式（2.2-1_3）和式（2.2-1_4）相除，有(2.2-7)，根据式（2.2-1_4），，代入式（2.2-1_3），化简有：(2.2-8)，根据式（2.2-1_4），有(2.2-9)，根据式（2.2-1_4），至此，由式（2.2-2）-式（2.2-5），有(2.2-10)则，互易网络中有，此时，，式（1.3-7）得证。对称网络中，，则，式（1.3-8）得证。无耗网络中，为纯虚数，则a11，a22为实数；a12，a21为纯虚数，与式（1.3-9）结论一致。 由式（2.2-6）-式（2.2-9），有(2.2-11)Y矩阵<=>A矩阵根据归一化导纳矩阵和归一化转移矩阵，有(2.3-1)则(2.3-2)，根据式（2.3-1_2），有 (2.3-3)，根据式（2.3-1_2），(2.3-4)，根据式（2.3-1_2），，代入式（2.3-1_1），化简有：(2.3-5)，将式（2.3-1_1）和式（2.3-1_2）相除，有：(2.3-6)，将式（2.3-1_3）和式（2.3-1_4）相除，有：(2.3-7)，根据式（2.3-1_3），，代入式（2.3-1_4），化简有：(2.3-8)，根据式（2.3-1_3），有(2.3-9)，根据式（2.3-1_3），有至此，由式（2.3-2）-式（2.3-5），有(2.3-10)同理，由式（2.3-6）-式（2.3-9），有(2.3-11)汇总式（2.1-6）、式（2.1-7）、式（2.2-10）、式（2.2-11）、式（2.3-10）、式（2.3-11），有：(2.3-12)微波网络的散射矩阵（S矩阵）归一化入射波和归一化反射波在微波电路中，用入射波、反射波的概念更甚于用电压、电流，用反射系数、驻波比等概念更甚于阻抗或导纳。在每个端口的参考面上定义归一化入射波a（复标量），等于入射波的归一化电压，有效值平方就是入射波功率。即：(3.1-1)定义归一化入射波b（复标量），等于入射波的归一化电压，有效值平方就是入射波功率。(3.1-2)则(3.1-3) 传输功率和归一化输入阻抗分别为： (3.1-4)(3.1-5)由a，b为复标量，将a，b写为式（3-4）证毕。 由式（3-3）和式（1.1-7），根据给定的，U，I可求得：(3.1-6)S矩阵定义图SEQ图\*ARABIC3微波归一化二端口网络 S矩阵定义如下：(3.2-1)(3.2-2)其中，，，，(3.2-3)此处表征端口i接匹配负载，应于参量矩阵中短路、开路作区分。对于互易网络：(3.2-4)对于对称网络：(3.2-5)对于无耗网络：(3.2-6)其中，是哈密尔顿矩阵，即的转置共轭矩阵。证明：无耗网络：根据电磁场的特性，有微分方程：(3.2-7)根据矢量分析恒等式：，将式（3.2-7_1）和式（3.2-7_2）代入有：(3.2-8)式（3.2-8）两边作体积积分，有：(3.2-9)令功率密度复矢量，有(3.2-10)其中，为体积内的总磁场储能，为体积内的总电场储能，为体积内的总平均损耗功率。在网络分析中，网络和外界交换能量仅能通过几个口，即的积分仅在几个口的截面才有值。则总的复数功率可以用各个口的电流、电压的乘积之和来表示，即：(3.2-11)由于表示向网格内部的功率，正好与能流密度方向相反，因此式（3.2-11）左侧有负号。根据，，代入式（3.2-11）有(3.2-12)此处将归一化电压写成复数形式，有：，，则(3.2-13)其中(3.2-14)(3.2-15)将，…和，…均以列矩阵表示，则式（3.2-14）可表示为：(3.2-16)无损网络中，P=0，则有：，或(3.2-17)通常网络均为可逆，转置矩阵即等于其本身，进而有：或(3.2-18)式（3.2-6）证毕。互易、无耗三端口微波网络的三个端口不能同时匹配三个端口不能同时匹配，即S11，S22，S33不能同时为零。令S11=0，S22=0。此时互易网络的散射矩阵可写为：(3.2-19)根据网络的无耗性，即，有：(3.2-20)根据式（3.2-20_4）可知，S31和S32中有一个为零，再根据式（3.2-20_1）和式（3.2-20_2），可知，|S21|=1，|S31|=|S32|=0。再根据（3.2-20_3），有|S33|=1≠0，即互易、无耗、三端口微波网络的三个端口不能同时匹配。S矩阵与其他矩阵的转换3.3.1S矩阵<=>z矩阵求法1：将式（3.1-3）写成矩阵形式有：(3.3.1-1)则有：(3.3.1-2)(3.3.1-3)进而：(3.3.1-4)设，代入式（3.3.1-2），有：(3.3.1-5)设，代入式（3.3.1-4），有：(3.3.1-6)求法2：将归一化阻抗矩阵、S矩阵列出如下：(3.3.1-7)(3.3.1-8)根据式（3.1-3）有： ，将代入式（3.3.1-7_2）有，再代入式（3.3.1-7_1）有，则(3.3.1-9) ，将代入式（3.3.1-7_1）有，再代入式（3.3.1-7_2）有，则(3.3.1-10)，将代入式（3.3.1-7_2）有，再代入式（3.3.1-7_1）有，则(3.3.1-11) ，将代入式（3.3.1-7_1）有，再代入式（3.3.1-7_2）有，则(3.3.1-12) 根据式（3.3.1-9）-（3.3.1-12），有(3.3.1-13) 与式（3.3.1-5）一致。 同理可证： (3.3.1-14)3.3.2S矩阵<=>y矩阵求法1：将式（3.1-3）写成矩阵形式有：(3.3.2-1)则有：(3.3.2-2)(3.3.2-3)进而：(3.3.2-4)设，代入式（3.3.2-2），有：(3.3.2-5)设，代入式（3.3.2-4），有：(3.3.2-6)求法2：将归一化导纳矩阵、S矩阵列出如下：(3.3.2-7)(3.3.2-8)根据式（3.1-3）有： ，将代入式（3.3.2-7_2）有，再代入式（3.3.2-7_1）有，则(3.3.2-9) ，将代入式（3.3.2-7_1）有，再代入式（3.3.2-7_2）有，则(3.3.2-10)，将代入式（3.3.2-7_2）有，再代入式（3.3.2-7_1）有，则(3.3.2-11) ，将代入式（3.3.2-7_1）有，再代入式（3.3.2-7_2）有，则(3.3.2-12) 根据式（3.3.2-9）-（3.3.2-12），有(3.3.2-13) 与式（3.3.2-5）一致。同理可证：(3.3.2-14)3.3.3S矩阵<=>a矩阵 归一化a矩阵列出如下：(3.3.3-1) 将u=a+b，i=a-b代入式（3.3.3-1），有(3.3.3-2) 将式（3.3.3-2）分别两式相加和相减有：(3.3.3-3) (3.3.3-4) (3.3.3-5)a1=0，，代入式（3.3.3-3_2）有： (3.3.3-6)(3.3.3-7) 根据式（3.3.3-4）-（3.3.3-7），有(3.3.3-8)将S矩阵列出如下：(3.3.3-9) 根据u=a+b，i=a-b，有：(3.3.3-10)i2=0，a2=b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），则 (3.3.3-11)u2=0，a2=-b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），则 (3.3.3-12)i2=0，a2=b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），则(3.3.3-13)u2=0，a2=-b2，代入式（3.3.3-9_2），有，代入式（3.3.3-9_1），则综上，根据式（3.3.3-10）-（3.3.3-13），有：(3.3.3-14)二端口网络的传输矩阵（T矩阵）T矩阵定义图SEQ图\*ARABIC4二端口级联网络以入射波和反射波作为端口变量，有：(4.1-1)(4.1-2)其中，(4.1-3)表征2端口接负载时，1端口到2端口传输系数的倒数。 ，，(4.1-4) T12、T21、T22无明确的物理意义。 REF_Ref124242763\h图4中，，进而(4.1-5)T矩阵与其他矩阵的转换4.2.1T矩阵<=>S矩阵 将T矩阵和S矩阵列出如下：(4.2.1-1)(4.2.1-2) 将式（4.2.