第08讲有理数除法(7种题型)(原卷版+解析)

第08讲有理数除法（7种题型）【知识梳理】一、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．二、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．三、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【考点剖析】题型一：直接判定商的符号和绝对值进行除法运算例1.计算：(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－eq\f(1,4))；(3)(－0.75)÷(0.25)．题型二：倒数的概念例2.的倒数是（）A． B． C． D．3【变式】﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积为_________．题型三：分数的化简例3.化简下列分数：(1)eq\f(－21,－7)＝________；(2)eq\f(－3,6)＝________；(3)eq\f(－6,－0.3)＝________；(4)－eq\f(28,－49)＝________．【变式1】已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?【变式2】已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A．4B．5C．6D．7【变式3】计算的取值.题型四：将除法转化为乘法进行计算例4.计算：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))．【变式1】计算：【变式2】计算：【变式3】【变式4】；.【变式5】例5.计算：【变式1】..【变式2】（1）；（2）.题型五：根据eq\f(a,b)，a＋b的符号，判断a和b的符号例6.如果a＋b＜0，eq\f(a,b)＞0，那么这两个数()A．都是正数B．符号无法确定C．一正一负D．都是负数题型六：有理数的乘除混合运算例7.计算：(1)－2.5÷eq\f(5,8)×(－eq\f(1,4))；(2)(－eq\f(4,7))÷(－eq\f(3,14))×(－1eq\f(1,2))．【变式1】计算：【变式2】计算：题型七、有理数的加减乘除混合运算例8.【变式】计算（1）（）×（﹣78）（2）（﹣7）×（﹣5）﹣90÷（﹣15）（3）（﹣+）×（﹣36）（4）（﹣）×．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•仙居县期末）﹣3的倒数是（）A．﹣3 B． C． D．32．（2021秋•钱塘区期末）下列各组数中，互为倒数的是（）A．﹣1与﹣1 B．﹣0.25与 C．﹣0.5与﹣2 D．﹣1与13．（2022秋•义乌市月考）计算9÷（﹣3）×的结果为（）A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣94．（2022秋•鄞州区校级期中）下列各对数中，互为倒数的是（）A．1和﹣1 B．﹣2和﹣ C．﹣4和 D．0和05．（2022秋•瑞安市期中）计算6÷（﹣3）的结果是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣26．（2022秋•义乌市校级月考）学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（）A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元二．填空题（共7小题）7．（2022秋•上城区校级期中）整数﹣5的倒数为．8．（2022秋•杭州期中）在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为 ．9．（2022秋•杭州期中）计算：|﹣6|＝；﹣6的倒数是．10．（2022秋•长兴县月考）计算：＝．11．（2021秋•温州期末）计算：（﹣9）÷＝．12．（2022秋•苍南县期中）在﹣2，3，﹣4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是．13．（2022秋•瑞安市期中）计算：﹣5÷（﹣6）×16＝．三．解答题（共6小题）14．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．15．（2022秋•杭州月考）（1）；（2）﹣99×34．16．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．17．（2022秋•衢江区校级月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+的值．18．（2022秋•南湖区校级月考）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题．（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？19．（2021秋•临海市月考）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6+6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

第08讲有理数除法（7种题型）【知识梳理】一、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．二、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．三、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【考点剖析】题型一：直接判定商的符号和绝对值进行除法运算例1.计算：(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－eq\f(1,4))；(3)(－0.75)÷(0.25)．解析：采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；(2)12÷(－eq\f(1,4))＝－(12÷eq\f(1,4))＝－48；(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.方法总结：注意先确定运算的符号．根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算．本题属于基础题，考查对有理数的除法运算法则掌握的程度．题型二：倒数的概念例2.的倒数是（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】互为倒数的两个数乘积为1，故选A．【变式】﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积为_________．【答案】【解析】解：﹣（﹣）的相反数是﹣，﹣的倒数是﹣，﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积是﹣×（﹣）=，故答案为：．题型三：分数的化简例3.化简下列分数：(1)eq\f(－21,－7)＝________；(2)eq\f(－3,6)＝________；(3)eq\f(－6,－0.3)＝________；(4)－eq\f(28,－49)＝________．解析：(1)eq\f(－21,－7)＝eq\f(－7×3,－7)＝3；(2)eq\f(－3,6)＝eq\f(－3,（－3）×（－2）)＝－eq\f(1,2)；(3)eq\f(－6,－0.3)＝eq\f(（－0.3）×20,－0.3)＝20；(4)－eq\f(28,－49)＝eq\f(28,49)＝eq\f(4×7,7×7)＝eq\f(4,7).解：(1)3；(2)－eq\f(1,2)；(3)20；(4)eq\f(4,7).方法总结：化简分数时要注意分子、分母的符号，同号结果为正，异号结果为负．【变式1】已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，；(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，；(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，；(4)当a、b、c三个数都为负数时，综上，的值为：【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.【变式2】已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．综上所述：的可能值的个数为4．故选A．【变式3】计算的取值.【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；(2)当a＜0、b＜0时，；(3)当a＞0，b＜0时，；(4)当a＜0，b＞0时，．综上，的值为：题型四：将除法转化为乘法进行计算例4.计算：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))．解析：本题可采用有理数的除法：除以一个数就等于乘以这个数的倒数解答．解：(1)(－18)÷(－eq\f(2,3))＝(－18)×(－eq\f(3,2))＝18×eq\f(3,2)＝27；(2)16÷(－eq\f(4,3))÷(－eq\f(9,8))＝16×(－eq\f(3,4))×(－eq\f(8,9))＝16×eq\f(3,4)×eq\f(8,9)＝eq\f(32,3).方法总结：此题考查了有理数的除法运算，有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算来求．【变式1】计算：【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】解：【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．【变式2】计算：【答案】原式【变式3】【答案】【变式4】；.【答案】【变式5】【答案】=.例5.计算：【答案与解析】方法1：方法2：所以【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)＝a÷b+a÷c进行分配就错了．【变式1】..【答案】【变式2】（1）；（2）.【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。【答案】解：（1）解法一：解法二：（显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。）（2）错解：（出错的原因在于：除法没有分配律，从而是不能运用的）正确解法一：=正确解法二：∵∴根据倒数的定义有：=题型五：根据eq\f(a,b)，a＋b的符号，判断a和b的符号例6.如果a＋b＜0，eq\f(a,b)＞0，那么这两个数()A．都是正数B．符号无法确定C．一正一负D．都是负数解析：∵eq\f(a,b)＞0，根据“两数相除，同号得正”可知，a、b同号，又∵a＋b＜0，∴可以判断a、b均为负数．故选D.方法总结：此题考查了有理数乘法和加法法则，将二者综合考查是考试中常见的题型，此题的侧重点在于考查学生的逻辑推理能力．题型六：有理数的乘除混合运算例7.计算：(1)－2.5÷eq\f(5,8)×(－eq\f(1,4))；(2)(－eq\f(4,7))÷(－eq\f(3,14))×(－1eq\f(1,2))．解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．解：(1)原式＝－eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×(－eq\f(1,4))＝eq\f(5,2)×eq\f(8,5)×eq\f(1,4)＝1；(2)原式＝(－eq\f(4,7))×(－eq\f(14,3))×(－eq\f(3,2))＝－(eq\f(4,7)×eq\f(14,3)×eq\f(3,2))＝－4.方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．【变式1】计算：【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．【变式2】计算：【答案】题型七、有理数的加减乘除混合运算例8.【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。【答案】原式=24-2=22【变式】计算（1）（）×（﹣78）（2）（﹣7）×（﹣5）﹣90÷（﹣15）（3）（﹣+）×（﹣36）（4）（﹣）×．【答案】（1）27（2）31；（3）﹣19；（4）0【解析】试题分析：（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果；（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（4）原式利用0乘以任何数结果为0计算即可得到结果．解：（1）原式=﹣12+26+13=27；（2）原式=25+6=31；（3）原式=﹣18+20﹣21=﹣19；（4）原式=0．考点：有理数的混合运算【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•仙居县期末）﹣3的倒数是（）A．﹣3 B． C． D．3【分析】根据倒数的定义即可得到结论．【解答】解：﹣3的倒数是﹣，故选：B．【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．（2021秋•钱塘区期末）下列各组数中，互为倒数的是（）A．﹣1与﹣1 B．﹣0.25与 C．﹣0.5与﹣2 D．﹣1与1【分析】根据倒数的定义判断即可．【解答】解：A、﹣1的倒数是﹣，故该选项不符合题意；B、﹣0.25＝﹣，与﹣4互为倒数，故该选项不符合题意；C、﹣0.5的倒数是﹣2，故该选项符合题意；D、﹣1的倒数是﹣1，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．3．（2022秋•义乌市月考）计算9÷（﹣3）×的结果为（）A．﹣1 B．1 C．9 D．﹣9【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣3×＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（2022秋•鄞州区校级期中）下列各对数中，互为倒数的是（）A．1和﹣1 B．﹣2和﹣ C．﹣4和 D．0和0【分析】应用倒数的计算方法进行计算即可得出答案．【解答】解：A、﹣1×1＝﹣1，两数不是互为倒数，不符合题意；B、﹣2×＝1，两数互为倒数，符合题意；C、﹣4×＝﹣1，两数不是互为倒数，不合题意；D、0没有倒数，不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了倒数，熟练掌握倒数的计算方法进行求解是解决本题的关键．5．（2022秋•瑞安市期中）计算6÷（﹣3）的结果是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】原式利用除法法则计算即可求出值．【解答】解：6÷（﹣3）＝﹣2．故选：D．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2022秋•义乌市校级月考）学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（）A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8．【解答】解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180，∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元．故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．故选：C．【点评】本题考查有理数的运算在实际生活中的应用．注意售书有三种优惠方案．二．填空题（共7小题）7．（2022秋•上城区校级期中）整数﹣5的倒数为．【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：有理数﹣5的倒数是．故答案为：．【点评】本题考查了倒数，熟记倒数的定义是解答本题的关键．8．（2022秋•杭州期中）在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为 ﹣2.5．【分析】由实数的大小比较法则，即可求解．【解答】解：∵在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商是负数，且商的绝对值最大时，此时两数商最小，∴在2，5，﹣3，﹣5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为﹣5÷2＝﹣2.5，故答案为：﹣2.5．【点评】本题考查实数的大小比较，关键是掌握：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．9．（2022秋•杭州期中）计算：|﹣6|＝6；﹣6的倒数是﹣．【分析】利用倒数和绝对值的性质，分别分析得出答案．【解答】解：|﹣6|＝6；﹣6的倒数是﹣．故答案为：6，﹣．【点评】此题主要考查了倒数、绝对值，正确把握定义是解题关键．10．（2022秋•长兴县月考）计算：＝﹣3．【分析】利用有理数的除法法则运算即可．【解答】解：原式＝1×（﹣3）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了有理数的除法法则，正确利用有理数的除法法则运算是解题的关键．11．（2021秋•温州期末）计算：（﹣9）÷＝﹣18．【分析】先变除法为乘法后再进行乘法计算．【解答】解：（﹣9）÷＝﹣9×2＝﹣18．【点评】此题考查了有理数的除法计算能力，关键是能按照除法运算法则进行准确计算．12．（2022秋•苍南县期中）在﹣2，3，﹣4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是﹣6．【分析】取异号且商绝对值较大两数相除便可．【解答】解：根据题意得，商最小的是：12÷（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．13．（2022秋•瑞安市期中）计算：﹣5÷（﹣6）×16＝13．【分析】利用有理数的除法、乘法运算法则计算即可．【解答】解：算：﹣5÷（﹣6）×16＝﹣5×（﹣）×＝×＝＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了有理数的乘法，除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法的法则．三．解答题（共6小题）14．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）；（2）﹣99×34．【分析】（1）先确定最后结果的符号，并变除法运算为乘法进行求解；（2）先确定结果的符号，再运用乘法分配律进行计算．【解答】解：（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）＝×4＝；（2）﹣99×34＝﹣（100﹣）×34＝﹣（100×34﹣×34）＝﹣（3400﹣4）＝﹣3396．【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确确定正确的运算顺序和方法．15．（2022秋•杭州月考）（1）；（2）﹣99×34．【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝××4＝；（2）原式＝（﹣100+）×34＝﹣100×34+×34＝﹣3400+4＝﹣3396．【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：