专题02整式的加减(难点)(原卷版+解析)

专题02整式的加减（难点）一、单选题1．代数式，，，，－2，a，中，单项式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列计算的叙述正确的是（

）A．单项式的系数是，次数是4 B．，0，都是单项式C．多项式的常数项是1 D．是一次二项式3．当时，代数式的值是，则当时，代数式的值为（

）．A． B． C． D．4．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．25．已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．按一定规律得列的单项式；，…，按照上述规律，第n个单项式为（

）A． B． C． D．7．三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，则与的差（

）

A．与正方形的边长有关 B．与正方形的边长有关C．与正方形的边长有关 D．与，，的边长均无关8．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同，已知：甲店的促销方式是：每买杯，第杯原价，第杯半价；乙店的促销方式是：每买杯，第、杯原价，第杯免费．例如，分别在甲、乙两店购买杯豆浆，均需杯的价钱若东东想买杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（

）A．在甲店买杯 B．在乙店买杯C．在甲店买杯，在乙店买杯 D．在甲店买杯，在乙店买杯9．在明代的《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图1，计算，将乘数42记在格子上面，乘数38记在格子右侧，然后用乘数42的每位数字乘以乘数38的每位数字，将结果记人相应的格子中，最后按斜行加起来，得到1596．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（

）A．的值为6 B．的值为偶数C．乘积的结果可以表示为 D．的值大于310．已知，，则下列说法：①若，，则；②若的值与x的取值无关，则，；③当，时，若，则或；④当，，有最小值为7，此时．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．多项式中一次项是．12．整数时，多项式是三次三项代数式．13．已知多项式是二次多项式，则．14．时中不含项15．甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了2件，丙比甲多拿了11件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补．已知丙付给甲30元，那么丙应付给乙元．16．数轴上的点A，B，C表示的数分别为-10、-5、5．点A以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位和3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，若存在一个m使得的值不变（分别表示点B与点C的距离、点A与点B的距离），则m的值为．17．已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式的值是同一个常数，则此常数为．18．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是．三、解答题19．已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同．（1）求m、n的值；（2）求多项式各项的系数和．20．小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴上和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是，最小整数是．（1）求的值．（2）若，，求的值．21．已知，当时，的值为10．(1)当时，求的值．(2)当时，的值为，求的值．(3)设，当时，比较与的大小．22．已知：，．(1)计算的表达式；(2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．23．如图1是2022年1月的月历．（1）带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由：（2）如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为t，则①t是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由；②t能否等于92，请说明理由．24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．价目表每月用水量单价不超出6立方米的部分2元/米超出6立方米但不超出10立方米的部分4元/米超出10立方米的部分8元/米注：水费按月结算（1）若某户居民7月份用水9立方米，求该用户7月份应交水费．（2）若某户居民8月份用水a立方米，则该用户8月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？（3）若某户居民9，10月份共用水15立方米（10月份用水量多于9月份），设9月份用水x立方米．①该用户9月，10月共交水费最多可能达到几元？最少呢？简要说明你的想法．②求该户居民9，10月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．25．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．(1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________；(2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；(3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________．26．对任意一个四位数，将这个四位数千位上数字与十位上数字对调、百位上数字与个位上数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字与个位上数字得到2314，所以．如果四位数满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数位“平衡数”，例如：1423，因为，所以1423是一个平衡数．(1)请计算，并证明：对于任意一个四位数，都有为整数；(2)若一个“平衡数”的十位数字比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能同时被3和11整除，求的最小值．27．对于一个四位自然数，其中A，B都是两位数，若A的各个数位数字之和等于B的各个数位数字之知，且A与B之和能被9整除，则称M为“九转功成数”．例如：∵，，为整数，∴5427是“九转功成数”．又如：∵，，不为整数，∴3719不是“九转功成数”．(1)判断1928，6345是否是“九转功成数”，并说明理由；(2)一个“九转功成数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．其中，记，，将P的各个数位数字之和记为G（P）．当（k为整数）时，求出所有满足条件的M．28．综合与实践数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐．(1)图中，数轴B上表示9的点与数轴A上表示___________的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示___________的点对齐；(2)如图，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示___________的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示___________的点对齐；(3)请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．A．若数轴A的原点与数轴B上表示的点对齐，则数轴A上表示4的点与数轴B上表示___________的点对齐，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示___________的点对齐．（用代数式表示）B．若数轴A上表示的点与数轴B表示的点对齐，则数轴A上表示的点与数轴B上表示___________的点对齐，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示___________的点对齐．（用代数式表示）

专题02整式的加减（难点）一、单选题1．代数式，，，，－2，a，中，单项式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案．【解析】代数式，，，，－2，a，中，单项式有：，－2，a，共3个．故选C．【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题的关键．2．下列计算的叙述正确的是（

）A．单项式的系数是，次数是4 B．，0，都是单项式C．多项式的常数项是1 D．是一次二项式【答案】D【分析】直接利用单项式的定义以及单项式的系数与次数、多项式的项数与次数分别判断得出答案．【解析】A.单项式的系数是，次数是3，故此选项不合题意；B.是分式，0，都是单项式，故此选项不符合题意；C.多项式的常数项是，故此选项不合题意；D.是一次二项式，故此选项符合题意；故选D．【点睛】此题主要考查了单项式的定义以及单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，正确掌握相关定义是解题关键．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0，多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．3．当时，代数式的值是，则当时，代数式的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，得出；当时，可化为：，将代入求解即可；【解析】解：∵当时，代数式的值是∴∴当时故选：D．【点睛】本题考查了求代数式的值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．4．x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）的值与x的取值无关，则﹣a+b的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】根据整式的加减法，去括号合并同类项可得x2+ax﹣y﹣（bx2﹣x+9y+3）=x2+ax﹣y﹣bx2+x-9y-3=（1-b）x2+（a+1）x+（-1-9）y-3，由于值与x的值无关，可得1-b=0，a+1=0，解得a=-1，b=1，因此可求-a+b=2.故选D.点睛：此题主要考查了整式的值与字母无关形的题目，解题关键是明确无关的主要特点是系数为0，然后通过整式的化简，让相关的系数为0即可求解.5．已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意可得m=-1，|5-n|=1或m=-2，|5-n|=4，求出m、n的值，然后求出mn的值即可．【解析】∵代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，∴化简后的结果可能为2x4y，也可能为xy，当结果为2x4y时，m=-1，|5-n|=1，解得：m=-1，n=4或n=6，则mn=（-1）4=1或mn=（-1）6=1；当结果为xy时，m=-2，|5-n|=4，解得：m=-2，n=1或n=9，则mn=（-2）1=-2或mn=（-2）9=-29，综上，mn的值共有3个，故选C.【点睛】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．6．按一定规律得列的单项式；，…，按照上述规律，第n个单项式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别找出各个单项式的系数与字母部分的规律，即可解答．【解析】观察各个单项式可得，系数是连续的奇数：1，3，5，7，9，…，故第n个单项式的系数是；字母部分是的乘方，a的指数是1，2，3，4，5，…，故第n个单项式的字母部分是，所以第n个单项式是．故选：B【点睛】本题考查寻找单项式的规律，观察各个单项式，分别从系数和字母部分找到规律是解题的关键．7．三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，则与的差（

）

A．与正方形的边长有关 B．与正方形的边长有关C．与正方形的边长有关 D．与，，的边长均无关【答案】D【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，分别列代数式表示出m，n，然后求差即可．【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则，，∴，即与，，的边长均无关，故选：D．【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握长方形的周长公式，正确列出代数式是解题的关键．8．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同，已知：甲店的促销方式是：每买杯，第杯原价，第杯半价；乙店的促销方式是：每买杯，第、杯原价，第杯免费．例如，分别在甲、乙两店购买杯豆浆，均需杯的价钱若东东想买杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（

）A．在甲店买杯 B．在乙店买杯C．在甲店买杯，在乙店买杯 D．在甲店买杯，在乙店买杯【答案】B【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．【解析】解：设每杯售价元，在甲店购买杯的费用为（元）；在乙店购买杯的费用为（元）；在甲店买杯，在乙店买杯的费用为（元）；在甲店买杯，在乙店买杯的费用（元），，在乙店买杯花钱最少，故选：B．【点睛】本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键．9．在明代的《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图1，计算，将乘数42记在格子上面，乘数38记在格子右侧，然后用乘数42的每位数字乘以乘数38的每位数字，将结果记人相应的格子中，最后按斜行加起来，得到1596．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（

）A．的值为6 B．的值为偶数C．乘积的结果可以表示为 D．的值大于3【答案】D【分析】根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立等式即可做出判断．【解析】解：用“铺地锦”的方法将图2补充完整如下所示：则，，解得，，乘积结果为，由此可知，结论正确的是选项A、B、C，故选：D．【点睛】本题考查了整式加减的应用等知识点，理解题中的利用“铺地锦”计算两个数相乘的方法是解题关键．10．已知，，则下列说法：①若，，则；②若的值与x的取值无关，则，；③当，时，若，则或；④当，，有最小值为7，此时．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】代入，直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，根据，则有：，解方程即可求解；④代入，，可得，即有，再分类讨论去绝对值即可作答．【解析】①若，，∵，，∴，，则，正确；②∵，，∴，∵的值与x的取值无关，∴，，则，，正确；③当，时，∵，，∴，，即：，若，则有：，则或，正确；④当，，∵，，∴，，即：，∴，当时，；当时，；当时，；即有最小值为7，此时，正确．即正确的有4个，故选：D．【点睛】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．二、填空题11．多项式中一次项是．【答案】【分析】直接利用多项式中各部分名称分析得出答案．【解析】解：多项式=，故多项式中的一次项是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的相关定义是解题关键．12．整数时，多项式是三次三项代数式．【答案】2或1【分析】根据为三次三项式可得或，算出后再带入多项式判断是否满足三次三项式即可．【解析】∵为三次三项式，∴或，解得或，（1）当时，原多项式是满足题意；（2）当时，原多项式是满足题意；（3）当时，原多项式是，当时，无意义，不满足题意；综上，整数n的值为2或1，故答案为：2或1．【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的概念是解题关键．13．已知多项式是二次多项式，则．【答案】13【分析】根据多项式为二次多项式，可得，进一步求出，即可求出．【解析】解：∵．且此多项式为二次多项式，∴，解得．∴．故答案为：13【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法及多项式的次数的定义：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．一个多项式的次数为二次，即此多项式中高于二次的项的系数为0．本题根据多项式的次数的定义，得出四次项系数、三次项系数都为0是解题的关键．14．时中不含项【答案】5【分析】多项式不含项，即合并后项系数为0，据此即可得到答案．【解析】解：，，，故答案为：5．【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是理解多项式不含项即其系数为0．15．甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了2件，丙比甲多拿了11件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补．已知丙付给甲30元，那么丙应付给乙元．【答案】50．【分析】设甲拿了x件，则乙拿了（x-2）件，丙拿了（x+11）件，所以平均每人（x+3）件，所以甲少拿了3件，乙少拿了5件，丙多拿了8件，因为丙付给甲30元，所以每件是10元，所此能解．【解析】解：设甲拿了x件，则乙拿了（x-2）件，丙拿了（x+11）件，所以共买了（3x+9）件，平均每人（x+3）件，所以甲少拿了3件，乙少拿了5件，丙多拿了8件，因为丙付给甲30元，所以每件是30÷3=10元，所以丙应付给乙5件的价钱共50元.故答案是：50元．【点睛】本题主要考查了理解题意的能力，关键知道30元是几件商品的钱，求出丙多拿了几件，从而可求出解．16．数轴上的点A，B，C表示的数分别为-10、-5、5．点A以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位和3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，若存在一个m使得的值不变（分别表示点B与点C的距离、点A与点B的距离），则m的值为．【答案】【分析】根据题意表示出，再得到，即可求解．【解析】解：由题意得，，，∴，∴当时，的值不变，故答案为：．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、列代数式，合并同类项，正确理解题意，列出代数式是解题的关键．17．已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式的值是同一个常数，则此常数为．【答案】2022【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．【解析】由题意，得将进行化简后代数式中不含x，才能满足题意．因此，当时，原式=．故答案为：2022．【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减、整式的加减，解题的关键是确定x的取值范围．18．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积与（2）图长方形的面积的比是．【答案】【分析】本题需先设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，再结合图形分别得出图形（3）的阴影周长和图形（4）的阴影周长，相等后列等式可得：a＝2y，x＝3b，最后根据长方形面积公式可得结论．【解析】解：设图（1）中长方形的长为acm，宽为bcm，图（2）中长方形的宽为xcm，长为ycm，由两个长方形ABCD的AD＝3b＋2y＝a＋x，∴图（3）阴影部分周长为：2（3b＋2y＋DC−x）＝6b＋4y＋2DC−2x＝2a＋2x＋2DC−2x＝2a＋2DC，∴图（4）阴影部分周长为：2（a＋x＋DC−3b）＝2a＋2x＋2DC−6b＝2a＋2x＋2DC−2（a＋x−2y）＝2DC＋4y，∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，∴2a＋2DC＝2DC＋4y，a＝2y，∵3b＋2y＝a＋x，∴x＝3b，∴S1：S2＝ab：xy＝2yb：3yb＝，故答案是：．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，根据题意结合图形得出3b＋2y＝a＋x，2a＋2DC＝2DC＋4y是解题的关键．三、解答题19．已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同．（1）求m、n的值；（2）求多项式各项的系数和．【答案】（1），；（2）-13【分析】（1）根据多项式是六次四项式，可求m，根据的次数也是6可求n；（2）把各项系数相加即可．【解析】解：（1）∵多项式是六次四项式，∴，解得，，5-m=5-3=2，的次数与多项式的次数相同，，解得，．（2）各项的系数之和为：．【点睛】本题考查了多项式的次数与项，单项式的次数，解题关键是依据多项式的次数和单项式的次数的意义建立方程；注意：多项式每一项的系数包括前面的符号．20．小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴上和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是，最小整数是．（1）求的值．（2）若，，求的值．【答案】（1）12；（2）1．【分析】（1）首先求出最大整数为2，最小整数为-3，然后代入式中即可求解；（2）首先将原式进行化简，然后根据a和b的值求出m和n的值，最后代入即可求解．【解析】（1）在和之间的数中，最大的整数是2，则，最小的整数是，则，∴．（2）原式===∵，，∴原式．【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，整式的化简求值，题目较为简单，计算时一定要注意符号的变号问题．21．已知，当时，的值为10．(1)当时，求的值．(2)当时，的值为，求的值．(3)设，当时，比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把，，代入等式中，求值即可；（2）把，代入等式，求解即可；（3）分别求出时，的值，即可得解．【解析】（1）解：把，，代入，得：，整理，得：，解得：；（2）解：把，代入，得：，∴∴，∵当时，的值为10，∴，即：，∴；（3）当时，，，∵，∴．【点睛】本题考查整式的加减，以及解一元一次方程．熟练掌握合并同类项法则，以及解一元一次方程的步骤，利用整体思想进行求解，是解题的关键．22．已知：，．(1)计算的表达式；(2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列出式子，再去括号合并同类项即可得到答案；（2）先去括号，再合并同类项进行化简，再根据“代数式的值与字母的取值无关”可求出的值，从而得到答案．【解析】（1）解：；（2）解：，代数式的值与字母的取值无关，，，．【点睛】本题主要考查了整式的加减—去括号、合并同类项，整式的加减中的无关型问题，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键．23．如图1是2022年1月的月历．（1）带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由：（2）如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为t，则①t是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由；②t能否等于92，请说明理由．【答案】（1）三数之和不为36，理由见解析；（2）①t存在最大值且最大值为88；②t不能等于92，理由见解析．【分析】（1）设中间行的那个数为x（x＞7），则同一列上一行的数为x-7，同一列下一行的数为x+7，然后求和即可判断和说明；（2）①设中间行的那个数为x（9＜x＜24），则其余数分别为x-7、x-8、x+7，然后求和，即可说明；②根据①确定t的取值范围，然后判断即可．【解析】解：（1）三数之和不为36，理由如下：设中间行的那个数为x（x＞7），则同一列上一行的数为x-7，同一列下一行的数为x+7，所以这三个数之和为：（x-7）+x+（x+7）=3x只有x=12时，三数之和为36，故三数之和不为36；（2）①t存在最大值且最大值为88设中间行的那个数为x（9＜x＜24），则其余数分别为x-7、x-8、x+7，所以，t=（x-8）+(x-7)+x+(x+7)=4x-8（9＜x＜24）当x=24时，t有最大值88；②t不能等于92，理由如下：由①得t=4x-8（9＜x＜24）所以t的取值范围为24＜t＜88所以t不能等于92．【点睛】本题主要考查了整式的加减，发现日历中左右相邻的数相隔1、上下相邻的数相隔7是解答本题的关键.．24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．价目表每月用水量单价不超出6立方米的部分2元/米超出6立方米但不超出10立方米的部分4元/米超出10立方米的部分8元/米注：水费按月结算（1）若某户居民7月份用水9立方米，求该用户7月份应交水费．（2）若某户居民8月份用水a立方米，则该用户8月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？（3）若某户居民9，10月份共用水15立方米（10月份用水量多于9月份），设9月份用水x立方米．①该用户9月，10月共交水费最多可能达到几元？最少呢？简要说明你的想法．②求该户居民9，10月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．【答案】（1）7月份应交水费24元；（2）8月份应交水费（4a-12）元；（3）①最多为68元，最少为36元，理由见解析；②当，共交水费（-6x+68）元，，共交水费（-2x+48）元，当时，共交水费36元．【分析】（1）由题意可知：9立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，3立方米需按每立方米4元的单价收费；（2）由题意可知：a立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，a-6立方米需按每立方米4元的单价收费；（3）①根据图表可知，超出10立方米的部分最多，水费越大，若不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少，据此作答；②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3，分9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3；9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3；9月份用水量超过6m3，但少于7.5m2时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3三种情况分别求出水费即可．【解析】解：（1）根据题意得：6×2+3×4=24元，故该用户7月份应交水费24元；（2）根据题意得：4（a-6）+6×2=（4a-12）元该用户8月份应交水费（4a-12）元；（3）①若要使9月，10月共交水费最多，则超出10立方米的部分最多，即当9月份用水0立方米,10月份用水15立方米时，费用最多为：元，若要使9月，10月共交水费最少，则不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少，即当9月份用水6立方米,10月份用水9立方米或9月份用水7立方米,10月份用水8立方米时，费用最少为：元；②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3，当9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3，此时共交水费：2x+8（15-x-10）+4×4+6×2=（-6x+68）元；9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，此时共交水费：2x+6×2+4（15-x-6）=（-2x+48）元；当9月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3，则共交水费：4（x-6）+6×2+4（15-x-6）+6×2=36（元）．综上所述，当，共交水费（-6x+68）元，，共交水费（-2x+48）元，当时，共交水费36元．【点睛】本题考查列代数式，整式的加减的应用，找出题目蕴含的数量关系，能分段计算是解决问题的关键．25．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．(1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________；(2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；(3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________．【答案】(1)0(2)奇整式；理由见解析(3)①；②35【分析】（1）根据定义直接判断即可；（2）将代替x代入观察结果与原式的结果关系即可判断；（3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式；②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解．【解析】（1）由定义可知，整式的值互为相反数，故答案为：0；（2）奇整式理由：将代入中可得；∵与互为相反数，∴该式为奇整式；（3）①，∵，，∴是偶整式，是奇整式．②由于是偶整式，是奇整式，∴当x分别取，，，0，1，2，3时，的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0；∴这七个整式的值之和是；故答案为：35．【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等．26．对任意一个四位数，将这个四位数千位上数字与十位上数字对调、百位上数字与个位上数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字与个位上数字得到2314，所以．如果四位数满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数位“平衡数”，例如：1423，因为，所以1423是一个平衡数．(1)请计算，并证明：对于任意一个四位数，都有为整数；(2)若一个“平衡数”的十位数字比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能同时被3和11整除，求的最小值．【答案】(1)，证明见解析(2)的最小值为9【分析】（1）按例子的运算法则进行相关计算即可，设，按运算法则计算即可证得；（2）根据平衡数的定义，引入方程思想来解答即可．【解析】（1）解：，证明：设一个四位数，其中a、b、c、d为的整数，，、b、c、d为的整数，对于任意的四位数，都是整数；（2）解：设平衡数，由平衡数定义，可得，由N的十位数字比百位数字的2倍少1，得，.可被11整除，，为整数，又且n为整数，，，，又能被3整除，，为整数，又，或5或8，或或，，，，的最小值是9．【点睛】此题考查了整式的加减运算，有理数整除的相关知识，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，有一定的新意．27．对于一个四位自然数，其中A，B都是两位数，若A的各个数位数字之和等于B的各个数位数字之知，且A与B之和能被9整除，则称M为“九转功成数”．例如：∵，，为整数，∴5427是“九转功成数”．又如：∵，，不为整数，∴3719不是“九转功成数”．(1)判断1928，6345是否是“九转功成数”，并说明理由；(2)一个“九转功成数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．其中，记，，将P的各个数位数字之和记为G（P）．当（k为整数）时，求出所有满足条件的M．【答案】(1)1928不是“九转功成数”，6345是“九转功成数”(2)所有满足条件的M有，，【分析】（1）根据“九转功成数”的定义计算即可；（2）根据“九转功成数”的定义找到a、b、c、d的关系，再代入中消去未知数即可．【解析】（1）∵，，不为整数，∴1928不是“九转功成数”．∵，，为整数，∴6345是“九转功成数”．（2）根据“九转功成数”的定义可得：，，为整数，∴，当时的十位是，个位是∴∵，∴∴当时，，∵k为整数，∴此时∵为整数∴或∴当时，，此时当时，不合题意同理，当时