第05讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质(原卷版+解析)

第05讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质一、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，二、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．例1．二次函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例2．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（

）A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点例3．已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．例4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6例5．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．自变量0.071.33因变量7.00890.16641.40253.284910.0889给出下列判断，其中错误的是（

）A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为C．当、时， D．当时，例6．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1例7．已知二次函数（m为常数，且），（

）A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小例8．已知二次函数（a为常数，且）（

）A．若时，y随x的增大而增大，则或B．若时，y随x的增大而增大，则C．若时，y随x的增大而减小，则或D．若时，y随x的增大而减小，则例9．已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．例10．已知抛物线y=-x2+mx+2m，当-1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值是6，则m的值是___________．例11．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．例12．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上x…0123…y…mn3n…则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．一、单选题1．当的值最小时，的取值是（）A．0 B． C．3 D．2．当二次函数有最大值时，可能是（

）A．1 B．2 C． D．33．已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小4．如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（

）A． B． C． D．或5．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（

）．A． B．C． D．6．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．且 B．且 C． D．8．对于题目“一段抛物线L：与直线l：有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是，乙的结果是的整数，丙的结果是的整数，则（

）A．甲、乙的结果合在一起才正确 B．乙、丙的结果合在一起才正确C．甲、丙的结果合在一起才正确 D．甲、乙、丙的结果合在一起才正确9．已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④10．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数(m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题11．已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是_____．12．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．13．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为_____．14．已知二次函数的图象如图所示，则当时或时，______0．15．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为_____．16．若，则的最大值为______．17．选你喜欢的、、的值，使二次函数的图象同时满足下列条件:①它的图象不经过第三象限；②图象经过点；③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是__________．18．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确的结论有__________（只填序号）三、解答题19．已知二次函数．(1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标；(2)当为何值时，随的增大而减小？(3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由．20．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：…………(1)求二次函数解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；(3)当时，的取值范围是____________．21．用描点法画出的图像（1）根据对称性列表：…-3-2-101………（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：（3）观察图像：①抛物线与轴交点坐标是；②抛物线与轴交点坐标是；③当x满足时，y＜0；④它的对称轴是；⑤当时，随的增大而减小22．已知二次函数．（1）将其化成的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；（5）说明其图象与抛物线的关系；（6）当x取何值时，y随x增大而减小；（7）x取何值时，；（8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？（9）时，y的取值范围；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．23．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程的根；（2）写出不等式的解集；（3）若方程无实数根，写出的取值范围．24．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．

(1)求点的坐标与的值；(2)求的面积．25．已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．26．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．27．若关于的函数，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰为，我们称函数是在上的“和谐函数”．(1)在下列关于的函数中，是在上的“和谐函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是在上的“和谐函数”的打“×”．①（）；②（）；③（）；(2)若一次函数（为常数，）是在上的“和谐函数”，求的值；(3)若二次函数（，为常数，）是在上的“和谐函数”，与一次函数交于，两点，且满足，求这个“和谐函数”的解析式，并写出的取值范围．一、单选题1．（2017·湖北随州·中考真题）对于二次函数，下列结论错误的是（

）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小2．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（

）A．点在函数图像上 B．开口方向向上C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点3．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（

）①；②；

③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④二、填空题6．（2022·江苏南京·统考中考真题）已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：________．7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．8．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．三、解答题9．（2022·贵州安顺·统考中考真题）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．(1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．①求，的值；②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．第05讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质一、二次函数的图象与性质1.二次函数图象与性质函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，二、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．例1．二次函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】C【解析】【分析】直接把二次函数的一般式化为顶点式即可排除选项．解：由二次函数可得：，∵，∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．例2．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（

）A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点【答案】C【解析】【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．解：，抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，令，则，解方程解得，，△，抛物线与轴有两个交点．故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．例3．已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，进而可得点，关于抛物线的对称轴对称，然后根据二次函数的性质可排除选项．解：∵二次函数，∴二次函数的对称轴为直线，∴点为二次函数的顶点，∵点，，∴根据二次函数的对称性可得：，∴，∵3＞0，∴二次函数的开口向上，∴；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．例4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6【答案】B【解析】【分析】把点（4，c）代入y＝x2+bx+c即可得b＝-4，再把y＝x2+bx+c，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得c．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，c），∴c＝16+4b+c，∴b＝-4．∴，∵最小值是﹣6∴-4+c=-6∴c=-2故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数y＝x2+bx+c的解析式化成顶点式是解题的关键．例5．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．自变量0.071.33因变量7.00890.16641.40253.284910.0889给出下列判断，其中错误的是（

）A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为C．当、时， D．当时，【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项．利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项．根据表格将和代入二次函数解析式，得：，解得：．故该二次函数解析式为，且改为顶点式为．∴该抛物线的对称轴是直线，故A正确，不符合题意；该二次函数的最小值为−1，故B正确，不符合题意；∵关于对称轴对称为，∴，当时，y随x的增大而增大，∴，即．故C正确，不符合题意；∵，∴，∴，，∴，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质．根据表格利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．例6．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1【答案】C【解析】【分析】先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为：再利用图像得到y＜0时，函数图像在轴的下方，从而可得答案．解：由抛物线的对称轴为：且过所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为：当y＜0时，函数图像在轴的下方，所以：＜＜故选：【点睛】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键．例7．已知二次函数（m为常数，且），（

）A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小【答案】D【解析】【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论．该二次函数图象的对称轴为直线，若，对于无法判断其符号，故A、B选项不一定正确；若，则，即，且抛物线的开口向下，∴当时，随的增大而减小，故选：D．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．例8．已知二次函数（a为常数，且）（

）A．若时，y随x的增大而增大，则或B．若时，y随x的增大而增大，则C．若时，y随x的增大而减小，则或D．若时，y随x的增大而减小，则【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质和题意，可以求得的取值范围，本题得以解决．解：二次函数为常数，且，若时，随的增大而增大，则当时，，得；当时，，得；若时，随的增大而减小，则当时，，得；当时，，得；故选：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．例9．已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．【答案】或【解析】【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．解：∵点是该抛物线的顶点，且，∴该函数有最小值，则函数开口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴；当时，点B、C重合，则，不符合题意；∴的取值范围为：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．例10．已知抛物线y=-x2+mx+2m，当-1≤x≤2时，对应的函数值y的最大值是6，则m的值是___________．【答案】【解析】【分析】求出抛物线的对称轴，分，，三种情况进行讨论即可．抛物线开口向下，对称轴为直线x=①当时，即m<-2时，x=-1时，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）；②当时，即时，x=时，y最大=，解得，（舍）；③当时，即时，x=2时，y最大=，解得m=（舍）.综上所述：故答案为．【点睛】考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论，不要漏解．例11．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．【答案】10【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．例12．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上x…0123…y…mn3n…则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．【答案】

-1

【解析】【分析】根据二次函数图象的对称性确定其对称轴，根据对称轴公式求出b的值，代入表格中的坐标求出c的值，然后根据二次函数的对称性及增减性判断和的大小关系．根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是n，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∴，b=4∴把(2，3）代入得：c=-1∴把x=0代入得：m=-1又∵对称轴是直线x=2，∵，关于对称轴的对称点在4和5之间，∵该二次函数的图象的开口方向是向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴y1＜y2，故答案为：-1；y1＜y2【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．一、单选题1．当的值最小时，的取值是（）A．0 B． C．3 D．【答案】C【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答，即可得出答案．【解析】，，，∴当时，的值最小故选：C【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式的形式是解题的关键．2．当二次函数有最大值时，可能是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据二次函数有最大值，即可得出结论．【解析】解：二次函数有最大值，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3．已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可．【解析】解：由抛物线，可知：，抛物线开口向上，因此A选项正确；抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确；当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确；因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．4．如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】只需要根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．【解析】解：由函数图象可知当或时，，故选D．【点睛】本题主要考查了图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．5．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到，，的大小关系．【解析】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．已知二次函数的图象经过，两个点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据函数的对称性和增减性即可解答．【解析】解：二次函数，抛物线的开口向上，对称轴为直线，二次函数的图象经过两个点若，两个点都在抛物线对称轴的右边，随的增大而增大，则，故A选项错误，不符合题意；若，点比点更接近抛物线的对称轴，则，故B选项正确，符合题意；若，不能确定两个点都在抛物线对称轴的右边或左边，不能判定抛物线的增减性，则不能确定的大小，故C选项错误，不符合题意；若，两个点都在抛物线对称轴的左边，随的增大而减小，则，故D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性和增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键．7．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．且 B．且 C． D．【答案】A【分析】根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共解即可．【解析】依题意得：，解得，，解得，故选：A．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．8．对于题目“一段抛物线L：与直线l：有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是，乙的结果是的整数，丙的结果是的整数，则（

）A．甲、乙的结果合在一起才正确 B．乙、丙的结果合在一起才正确C．甲、丙的结果合在一起才正确 D．甲、乙、丙的结果合在一起才正确【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，求得，②当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c的取值范围．【解析】解：∵抛物线L：与直线l：y＝－x＋5有唯一公共点．∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得解得：，当时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点，当时，，当时，，当在抛物线下方和在抛物线上或上方时，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点．∴，∴，又∵c为整数，∴，综上，甲、丙的结果合在一起才正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．9．已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．【解析】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，此时，，当时，，当时，，∴函数图象总过定点，：故②正确；当时，，∵，∵，∴，∴当时，∴，∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；函数图象上任取不同的两点、，则当时，抛物线的对称轴为，∴抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，综上可知，正确的是①②③，故选：A【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．10．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数(m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可．【解析】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，∴点，一定在直线上，又∵点，在二次函数(m为常数）的图象上，∴、是方程的两个解，即，∴，，，∵，又∵，∴，∴m取任意实数时，总成立，∵，∴，，∴，即，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且．二、填空题11．已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是_____．【答案】向下【分析】根据二次函数的性质即可解答．【解析】解：∵抛物线有最大值，∴抛物线的其他值都是小于，∴抛物线开口向下，故答案为：向下．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．12．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．【答案】对称轴都为（答案不唯一）【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．【解析】如图所示，由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为，故答案为：对称轴都为（答案不唯一）．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为_____．【答案】【分析】根据函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上得到，解得m的值即可．【解析】解：由题意可知，解得，故m的值为，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的定义和性质、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题的关键．14．已知二次函数的图象如图所示，则当时或时，______0．【答案】【分析】根据或，可得抛物线的图象在轴的下方，从而可得答案．【解析】解：当时或时，抛物线的图象在轴的下方，∴此时，故答案为：【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象确定不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是解本题的关键．15．已知、是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为_____．【答案】【分析】将A，B代入二次函数关系式得出，即可比较大小．【解析】解：将A，B代入二次函数得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，直接求出函数值比较大小，属于基础题．16．若，则的最大值为______．【答案】2【分析】根据题意可得，代入可得，根据二次函数的性质即可得出答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴当时，的最大值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．17．选你喜欢的、、的值，使二次函数的图象同时满足下列条件:①它的图象不经过第三象限；②图象经过点；③当时，函数值随自变量的增大而增大，这样的二次函数的表达式可以是__________．【答案】(答案不唯一)【分析】首先由①得到；由③得到对称轴为，即；由②得到顶点，即可得出答案．【解析】解：二次函数，①它的图象不经过第三象限，；③当时，函数值随自变量的增大而增大，故对称轴为，即；②得到顶点，故可设顶点式为；可取，二次函数的解析式是．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．18．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图像上，则；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确的结论有__________（只填序号）【答案】①②③⑤【分析】根据抛物线对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值小于0，则，即；由于，，则，易得，所以，再根据抛物线开口可知：所以；利用抛物线的对称性得到，然后利用二次函数的增减性求解即可．【解析】①有对称轴可知：，∴，故①正确．②由图可知：时，∴，即，故②正确．③令，，∴，∵，∴，∴，由开口可知：∴，故③正确．④由抛物线的对称性可知：点C关于直线的对称点为，∵，∴，故④错误．⑤有题意可知：关于直线的对称点为，∴二次函数，令，∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，，∴，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题19．已知二次函数．(1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标；(2)当为何值时，随的增大而减小？(3)把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由．【答案】(1)开口向上，顶点坐标(2)(3)抛物线不过点，理由见详解【分析】（1）二次函数中，，，，根据的判断抛物线的开口，将一般式化成顶点式即可求出顶点；（2）由（1）可知，对称轴左边是随的增大而减小，对称轴右边是随的增大而增大，由此即可求解；（3）抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得到新的函数解析式，把代入计算，若，则点在函数上，否则不在．【解析】（1）解：二次函数中，，，，∵，∴抛物线开口向上，将一般式化成顶点式得：，∴顶点坐标为．（2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴直线，∴当时，函数值随着自变量的增大而减小．（3）解：抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位得，，化简得，∴当时，，∴抛物线不过点．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，平移是解题的关键．20．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：…………(1)求二次函数解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；(3)当时，的取值范围是____________．【答案】(1)(2)画图见详解(3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；（3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围．【解析】（1）解：当时，；当时，；当时，，∴，解方程得，∴二次函数解析式为．（2）解：二次函数解析式为，图像如图所示，函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意．（3）解：当时，根据（2）中图示可知，当时，；当当时，；当时，．∴当时，．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．21．用描点法画出的图像（1）根据对称性列表：…-3-2-101………（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：（3）观察图像：①抛物线与轴交点坐标是；②抛物线与轴交点坐标是；③当x满足时，y＜0；④它的对称轴是；⑤当时，随的增大而减小【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1④直线x=-1；⑤x<-1【分析】（1）把对应的x值代入求出对应的y值填表即可；（2）根据表中的数值描点、连线即可；（3）根据画的图象回答问题即可．【解析】解：（1）根据对称性列表：…-3-2-101……0-3-4-30…（2）描点、连线，函数图像如图所示：（3）观察图像：①抛物线与轴交点坐标是（0，-3）；②抛物线与轴交点坐标是（-3，0），（1，0）；③当-3<x<1时，y＜0；④它的对称轴是直线x=-1；⑤当x<-1时，随的增大而减小．故答案为：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1④直线x=-1；⑤x<-1．【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法和二次函数图象的性质，解题关键是正确画出函数图象，利用数形结合思想准确解题．22．已知二次函数．（1）将其化成的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；（5）说明其图象与抛物线的关系；（6）当x取何值时，y随x增大而减小；（7）x取何值时，；（8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？（9）时，y的取值范围；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．【答案】（1）；（2）开口向上，直线，顶点；（3）与x轴交点，与y轴交点；（4）见解析；（5）将抛物线向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到的图象；（6）；（7）当或时，；当或时，；当时，；（8）时，；（9）；（10）．【分析】（1）将函数表达式配方成顶点式形式即可；（2）由a值的正负可判断开口方向，顶点式可得出对称轴和顶点坐标；（3）分别让x=0，y=0可分别求出图像与y轴的交点坐标，和x轴的交点坐标；（4）可根据顶点坐标，图像与x、y轴交点坐标，对称轴方程画出函数图像的简图；（5）将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度即可得到y＝2(x＋1)2－8；（6）根据函数图像可判断函数的增减性；（7）根据函数图像可判x取何值时，；（8）根据函数图像可得当x取何值时，函数y有最值，以及最值的结果；（9）根据图像的开口方向及x的值离对称轴的远近即可求解；（10）根据图像可求线段长度，利用三角形面积公式即可求解．【解析】解：（1）∵===∴化成的形式为；（2）由可得：开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－8)；（3）由y=0得，，解得或，由x=0得：∴与x轴交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴交点坐标为(0，－6)；（4）由（1）（2）（3）可得函数简图如下：（5）将抛物线先向左平移1个单位，可得的图象，然后再向下平移8个单位得到的图像；（6）由图像可得：当时，y随x增大而减小；（7）由图像可得：当或时，，当或时，，当时，；（8）由图像可得：当时，函数有最小值，且最小值为；（9）∵，∴当时取得最小值为，当时离对称轴最远，此时，∴y的取值范围为；（10）由图可得，三角形底的长度为，高的长度为6，∴三角形的面积为．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质，熟练运用数形结合的思想．23．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程的根；（2）写出不等式的解集；（3）若方程无实数根，写出的取值范围．【答案】（1），；（2）或；（3）【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【解析】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，∴，．（2）观察图象可知：不等式的解集为或．（3）由图象可知，时，方程无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．24．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．

(1)求点的坐标与的值；(2)求的面积．【答案】(1)；3(2)3【分析】（1）根据所给的二次函数解析式，易求顶点的横坐标为1，再把代入，可求，于是可得顶点的坐标是，再把代入，易求；（2）画图后，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解析】（1）解：，此函数的顶点的横坐标，把代入，可得，二次函数顶点的坐标是，把代入，可得，解得，当时，，解得，点坐标是；（2）解：如图，．

【点睛】本题考查了二次函数的顶点、一次函数图象上点的特征、二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点点的坐标．25．已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；（2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果．【解析】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，将代入得，解得，∴，∴抛物线顶点坐标为．（2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为，∴抛物线顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，，解得，此时抛物线与只有1个交点；②当抛物线经过点时，，解得，当抛物线经过时，，解得，

根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点，∴时，满足题意；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算．26．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；（2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可；（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【解析】（1）解：当，时，，∴当，时，该函数图象的顶点坐标为；（2）解：∵该函数图象经过点，∴，则，∵该二次函数图象的顶点坐标是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，∵，∴当即时，该函数的最大值为，即，解得，，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值为，解得，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．27．若关于的函数，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰为，我们称函数是在上的“和谐函数”．(1)在下列关于的函数中，是在上的“和谐函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是在上的“和谐函数”的打“×”．①（）；②（）；③（）；(2)若一次函数（为常数，）是在上的“和谐函数”，求的值；(3)若二次函数（，为常数，）是在上的“和谐函数”，与一次函数交于，两点，且满足，求这个“和谐函数”的解析式，并写出的取值范围．【答案】(1)√；×；√(2)(3)【分析】（1）根据给出的“和谐函数”的新定义逐一进行计算判断即可；（2）在和两种情况下，根据函数性质在最大值和最小值情况下，根据新定义计算求解即可；（3）首先求出对称轴，根据函数的增减性，表示出最大值和最小值，根据有两个交点，用判别式和根与系数的关系求出最后结果即可．【解析】（1）解：①，在上为减函数，最大值为当时，，最小值为当时，，，，是在上的“和谐函数”；②，在上为增函数，最大值为当时，，最小值为当时，，，，不是在上的“和谐函数”；③，对称轴为，在上为减函数，最大值为当时，，最小值为当时，，，，是在上的“和谐函数”，故答案为：√；×；√；（2）①若，随增大而增大，当时，，当时，，解得：，②若，随增大而减小，，解得：，综上所述，；（3）对称轴为：，，，当时，随增大而增大，当时，，当时，，，，，，，联立，得：，

，，，，，，，解得：，（舍），．【点睛】本题是函数的综合题，理解函数的新定义，涉及反比例函数、二次函数、一次函数的性质，二次函数与系数的关系，能够将函数性质和新定义相结合，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．一、单选题1．（2017·湖北随州·中考真题）对于二次函数，下列结论错误的是（

）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小【答案】C【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【解析】解：A、∵，∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；C、∵的值不能确定，∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；D、∵，对称轴，∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．2．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（

）A．点在函数图像上 B．开口方向向上C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点【答案】D【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【解析】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，∴B错误；C、∵二次函数对称轴是直线x∴C错误；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，∴D正确；故选：D．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．3．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【解析】解：∵∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．【解析】∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，即，∴，∵抛物线与y