2025年广东省春季高考学业水平考试数学试卷试题（含答案解析）

广东学业水平考试（春季高考）数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，，则（

）A． B．C． D．2．石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（

）A．950 B．1000 C．1050 D．11003.复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. B.C. D.4．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．55．“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．7.若不等式的解集为，则（）A.1B. C. D.8.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.9.函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A. B. C. D.10.在中，点D在边AB上，．记，则 ()A． B．C． D．11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)12.已知是奇函数，且当时，.若，则实数（）A.-4 B.-3 C.-2 D.-1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为．14．若正数满足，则的最小值是．15．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式．16．若为第二象限角，且，则tan＝．17．已知函数，若，则.18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，则二面角C1—BD—C的大小为__________．三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在）（1）求居民月收入在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；20.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．21.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元超过的部分但不超过的部分6元超过的部分9元（1）甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；（2）乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．22.如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.（1）求、两地之间的距离；（2）求.答案详解一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，，则（

）A． B．C． D．1．【答案】B【解析】因为，，所以．故选B．2．石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（

）A．950 B．1000 C．1050 D．1100【答案】D【分析】根据分层抽样的抽样比的性质进行求解即可.【详解】设高一年级学生总数为N,根据分层抽样，则.故选：D.3.复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，利用复数乘法运算求得正确答案.【详解】依题意.故选：D4．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D5．“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[因为sin30°＝eq\f(1,2)，所以“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是eq\f(1,2)，故“sinA＝eq\f(1,2)”不是“A＝30°”的充分条件．故“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的必要不充分条件．6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．6．【答案】B【解析】如图所示，截面正方形ABCD的面积为16，故边长，即底面半径，侧棱长为，则圆柱的侧面积是．故选B．7.若不等式的解集为，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意知，是方程的两个根，且，则，解得，所以.故选：D.8.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数、对数函数的单调性即可得出答案.【详解】解：，，所以，，所以.故答案为：A.9.函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令指数为，求出，再代入计算可得；【详解】解：令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B10.在中，点D在边AB上，．记，则 ()A． B．C． D．【答案】B解析：因点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)C解析：如图，连接AC1，BC1，AC．因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，所以在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，所以V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．12.已知是奇函数，且当时，.若，则实数（）A.-4 B.-3 C.-2 D.-1【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解.【详解】解：因为是奇函数且，所以，又当时，，所以，解得，故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为．【答案】【分析】利用独立事件乘法公式计算即可.【详解】甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，互不影响，互相独立，故2人都射中的概率为故答案为：14．若正数满足，则的最小值是．【答案】【分析】利用基本不等式直接求解即可.【详解】，，，（当且仅当时取等号），的最小值为.故答案为：.15．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式．【答案】【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.因此，所求函数解析式为.故答案为：.16．若为第二象限角，且，则tan＝．【答案】－【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．【详解】因为为第二象限角，且，所以，所以．故答案为：．17．已知函数，若，则.【答案】【分析】代入，求出，得到.【详解】，故，所以，则.故答案为：18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，则二面角C1—BD—C的大小为__________．30°解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O．因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．在Rt△C1CO中，C1C＝eq\r(2)，CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(6)，则C1O＝2eq\r(2)，所以sin∠C1OC＝eq\f(C1C,C1O)＝eq\f(1,2)．由图可知，二面角C1­BD­C为锐二面角，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°．三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在）（1）求居民月收入在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；【详解】（1）月收入在的频率为．………………2分（2）从左数第一组的频率为；第二组的频率为；第三组的频率为；………………4分∴中位数位于第三组，设中位数为，则∴………………7分样本数据的中位数为2400（元）由，样本数据的平均数为2400（元）．………………10分20.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．20．【解析】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，∵平面，∴，………………1分∵在中，，，，∴，∴，∴．………………2分，………………3分∴平面，………………4分∵平面，∴．………………5分（2）∵是中点，∴………………7分∵平面，，………………8分∴．………………10分21.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元超过的部分但不超过的部分6元超过的部分9元（1）甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；（2）乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．解：（1）甲用户该月需要缴纳的水费：元.………………3分（2）设用水量为，需要缴纳的水费为，由题可知，………………5分整理得，………………6分当时，，………………7分当时，，…………