第02讲特殊二次函数的图像(原卷版+解析)

第02讲特殊二次函数的图像一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）或向下（c＜0）平移│c│个单位得到的图象.要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．三、函数与函数的图象1.函数的图象的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h2.函数的图象的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h要点：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．四、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．例1．二次函数的图象的对称轴是（

）A． B． C．或 D．例2．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．例3．通过_______法画出和的图像：通过图像可知：的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．例4．对于抛物线y＝与抛物线y=＋1，下列说法错误的是（）A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．都有最高点 D．顶点坐标相同例5．拋物线①y＝3x2，②y＝x2-2，③y＝x2+3x-1的开口大小从大到小的顺序是（

）A．①②③ B．②③① C．②①③ D．③②①例6．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（

）A．0 B．3 C．1 D．0或3例7．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）例8．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．例9．抛物线的对称轴是直线x=-2，则m的值是（

）A． B．- C．2 D．-2例10．抛物线与的形状完全相同，则a的值为（

）A．2 B． C． D．不能确定例11．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么这个函数的解析式为（

）A． B．或C． D．或例12．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（

）A． B． C． D．例13．二次函数y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（

）A．开口向下，对称轴直线x=3，顶点坐标为（3，5）B．开口向上，对称轴直线x＝3，顶点坐标为（3，5）C．开口向上，对称轴直线x=－3，顶点坐标为(－3，5)D．开口向上，对称轴直线x=－3，顶点坐标为(－3，－5）例14．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（

）A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位例15．已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（

）A． B． C．﹣2或 D．﹣4或一、单选题1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．2．抛物线的顶点坐标是（）A．（，−2） B．（，2） C．（0，−2） D．（0，2）3．抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上4．抛物线的对称轴是直线（

）A． B． C． D．5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．对称轴是直线 B．开口向下C．与轴有两个交点 D．顶点坐标6．下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（

）A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线C．抛物线与y轴的交点坐标是 D．抛物线的顶点坐标是7．如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（

）A．h=m B．k＞nC．m＞0，n＜0 D．a2＞－a18．若拋物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．关于抛物线：与：，下列说法不正确的是（

）A．两条抛物线的形状相同 B．抛物线通过平移可以与重合C．抛物线与的对称轴相同 D．两条抛物线均与x轴有两个交点10．如图，已知，抛物线过点C，顶点M位于第一象限且在线段的垂直平分线上，若抛物线与线段无公共点，则k的取值范围是（）A． B．或 C． D．或二、填空题11．抛物线对称轴是________．12．抛物线y＝3（x＋2）2的顶点坐标为________．13．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式_______．14．抛物线和的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为，则该抛物线的解析式为_________．15．若抛物线的顶点在y轴上，则_______．16．把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．17．如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的顶点坐标是___________，解析式为_______________．18．当k取实数时，抛物线的顶点所在的函数图象的表达式为_____________．三、解答题19．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)(2)(3)20．请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同．21．已知二次函数（1）完成下表；（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．22．填表．解析式开口方向顶点坐标对称轴y＝(x－2)2－3y＝－(x＋3)2＋2y＝3(x－2)2y＝－3x2＋223．已知函数是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．24．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．25．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．26．已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．(1)若，，求的值；(2)若，，求a的值；(3)若，请直接写出h的取值范围．一、单选题1．（2018·浙江杭州·中考真题）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．2．（2019·山东·统考中考真题）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；③抛物线的对称轴是y轴；④抛物线的顶点坐标是（0，1）；⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．其中正确的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个D．2个3．（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2021·河南·统考中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．5．（2013·江苏淮安·中考真题）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____．三、解答题6．（2021·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线经过点和．（1）求、的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．第02讲特殊二次函数的图像一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）或向下（c＜0）平移│c│个单位得到的图象.要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．三、函数与函数的图象1.函数的图象的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h2.函数的图象的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h要点：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．四、二次函数的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．例1．二次函数的图象的对称轴是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质直接写出对称轴．二次函数的图象的对称轴是直线．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数，对称轴为，顶点坐标为（0，0）．例2．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A、B、D，故选C．解：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．【点睛】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．例3．通过_______法画出和的图像：通过图像可知：的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．【答案】

描点

向上

y轴

向上

y轴

【解析】【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．解：通过描点法画出和的图像，通过图像可知：的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为，的开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标，故答案为：描点；向上；y轴；；向上；y轴；．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．例4．对于抛物线y＝与抛物线y=＋1，下列说法错误的是（）A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．都有最高点 D．顶点坐标相同【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的顶点坐标以及对称轴和图象位置，分别分析即可．解：∵抛物线y＝，∴此函数顶点坐标为：（0，0），对称轴为：x＝0，a＝＜0，开口向下，有最高点，∵y=＋1，∴此函数顶点坐标为：（0，1），对称轴为：x＝0，a＝＜0，开口向下，有最高点，∴A、开口方向相同，正确，不符合题意；B、对称轴相同，正确，不符合题意；C、开口向下，都有最高点，正确，不符合题意；D、应该为顶点坐标不相同，错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．例5．拋物线①y＝3x2，②y＝x2-2，③y＝x2+3x-1的开口大小从大到小的顺序是（

）A．①②③ B．②③① C．②①③ D．③②①【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的大小进行判断即可；由题可知几个函数a的大小关系为：，根据越小，开口越大，可知开口从大到小依次为②③①；故答案选B．【点睛】本题主要考查了二次函数图象开口大小的判断，准确判断是解题的关键．例6．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（

）A．0 B．3 C．1 D．0或3【答案】B【解析】【分析】由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得问题的答案．解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，∴-（m2-3m）=0，解得：m=0或m=3，∵二次函数的二次项系数m不能为0，∴m=3．故选：B．【点睛】本题考查关于y轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a≠0，a、c为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．例7．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【答案】A【解析】【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．例8．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论．解：∵抛物线开口向下，∴，∴．故选择：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”例9．抛物线的对称轴是直线x=-2，则m的值是（

）A． B．- C．2 D．-2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的对称轴是即可求出m的值．解：抛物线的对称轴是，所以，所以．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，熟知二次函数对称轴公式是解决此题的关键．例10．抛物线与的形状完全相同，则a的值为（

）A．2 B． C． D．不能确定【答案】C【解析】【分析】若两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，则两条抛物线的形状完全相同，据此可完成解答．抛物线与的形状完全相同，则a=2或-2故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是掌握二次函数的二次项系数决定抛物线的大小与形状，即a相同或互为相反数，则两条抛物线的形状完全相同．例11．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么这个函数的解析式为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象的形状与的形状相同，可得到所求函数解析式的二次项系数为，再根据顶点坐标是，即可求解．解：∵二次函数图象的形状与的形状相同，即二次项系数相同，∴所求函数解析式的二次项系数为，∵顶点坐标是，∴这个函数的解析式为或，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到二次项系数相同是解题的关键．例12．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C选项错误；当a＜0，c＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A选项错误，D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．例13．二次函数y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（

）A．开口向下，对称轴直线x=3，顶点坐标为（3，5）B．开口向上，对称轴直线x＝3，顶点坐标为（3，5）C．开口向上，对称轴直线x=－3，顶点坐标为(－3，5)D．开口向上，对称轴直线x=－3，顶点坐标为(－3，－5）【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的顶点式，a＞0，开口向上，对称轴为直线x=-h，可求得对称轴为直线x=3，顶点坐标为（-h，k），可以求出顶点坐标，即可解决．解：∵a＞0∴开口向上∵y=2（x－3）2+5∴对称轴为直线x=3，顶点坐标（3，5）故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练二次函数顶点式的意义是解决本题的关键．例14．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（

）A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位【答案】B【解析】【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．解：抛物线的顶点为(0,0)，抛物线的顶点为(-3,-1)，抛物线向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位得到抛物线．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象平移问题，解答是最简单的方法是确定平移前后抛物线顶点，从而确定平移方向．例15．已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（

）A． B． C．﹣2或 D．﹣4或【答案】A【解析】【分析】先表示出平移后的函数为，得到，，求出Q点的横坐标为：，代入求得，再根据等腰直角三角形的性质得到，解出m即可求解.抛物线沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到∴，，∴Q点的横坐标为：，代入求得，若，则是等边三角形，∴，由勾股定理得，，解得，故选A．【点睛】此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质.一、单选题1．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用形如形式的二次函数的顶点坐标确定正确的选项即可．【解析】解：抛物线的顶点坐标是，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记形如形式的二次函数的顶点坐标是解答本题的关键，难度不大．2．抛物线的顶点坐标是（）A．（，−2） B．（，2） C．（0，−2） D．（0，2）【答案】C【分析】由二次函数解析式求解．【解析】解：，顶点坐标为，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点式求抛物线的顶点坐标．3．抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上【答案】B【分析】根据抛物线的性质分别判断两个函数图象的开口向上、对称轴、顶点坐标，即可得到答案．【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2），∴两条抛物线对称轴相同，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质．4．抛物线的对称轴是直线（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线的对称轴是直线．【解析】解：抛物线的对称轴是直线，故选：D．【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题的关键．5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．对称轴是直线 B．开口向下C．与轴有两个交点 D．顶点坐标【答案】D【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案．【解析】解：∵，∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，∴A、B不正确，D正确，∵抛物线开口向上，最小值为1，∴抛物线与x轴没有交点，∴C不正确，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．6．下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（

）A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线C．抛物线与y轴的交点坐标是 D．抛物线的顶点坐标是【答案】C【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解析】解：∵a=-2<0，∴抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；∴对称轴为直线x=-1，故选项B正确，不符合题意；当x=0时，，即抛物线与y轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意；顶点坐标为（-1，3），故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．7．如图，在同一坐标系内的两条抛物线有相同对称轴，则下列关系中，不正确的是（

）A．h=m B．k＞nC．m＞0，n＜0 D．a2＞－a1【答案】D【分析】利用函数的解析式可以得到函数的顶点坐标，以及开口方向，据此即可作出判断．【解析】解：y＝a1（x﹣h）2+k的顶点是（h，k）；y＝a2（x﹣m）2+n的顶点是（m，n）．两个函数的对称轴是同一条直线，故h＝m，k＞n，m＞0，n＜0成立，故A，B，C都是正确的；y＝a2（x﹣m）2+n的开口向上，则a2＞0，y＝a1（x﹣h）2+k的开口向下，则a1＜0，则a1＜a2，故D不正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，通过函数解析式能判断开口方向以及顶点坐标是关键．8．若拋物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标，根据顶点在第二象限得到的取值范围．【解析】解：由得，，抛物线的顶点坐标为，顶点在第二象限，，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征，将二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握第二象限的点的特征是解题的关键．9．关于抛物线：与：，下列说法不正确的是（

）A．两条抛物线的形状相同 B．抛物线通过平移可以与重合C．抛物线与的对称轴相同 D．两条抛物线均与x轴有两个交点【答案】C【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案．【解析】解：与的形状相同，故A正确，不符合题意；将抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，得到，所以抛物线通过平移可以与重合，故B正确，不符合题意；抛物线关于y轴对称，的顶点坐标为，对称轴是直线，抛物线与的对称轴不相同，故C不正确，符合题意；当时，，故抛物线与x轴有两个交点，当时，，故抛物线与x轴有两个交点，故D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中熟练的掌握给定函数解析式求顶点坐标，对称轴方程，是解答的关键．10．如图，已知，抛物线过点C，顶点M位于第一象限且在线段的垂直平分线上，若抛物线与线段无公共点，则k的取值范围是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于2，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出．综上即可得出结论．【解析】解：抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，且点，，，．抛物线与线段无公共点分两种情况：当点在线段下方时，点的坐标为，；当点在线段上方时，有，解得：．综上所述：的取值范围为或．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合、分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．抛物线对称轴是________．【答案】直线或轴【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解析】抛物线的对称轴是y轴（或直线），故答案为：直线或轴．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．抛物线y＝3（x＋2）2的顶点坐标为________．【答案】（－2，0）【解析】略13．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式_______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．【解析】解：由题意得，满足题意的二次函数解析式可以为，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为，当时开口向上，当时开口向下是解题的关键．14．抛物线和的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为，则该抛物线的解析式为_________．【答案】【分析】根据抛物线和的图象形状相同，得出，根据顶点为，写出抛物线的解析式即可．【解析】解：∵抛物线和的图象形状相同，∴，∵顶点为，∴抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，抛物线的顶点式．15．若抛物线的顶点在y轴上，则_______．【答案】2【分析】根据题意可知抛物线对称轴为，然后可求得的值．【解析】解：∵抛物线的顶点在y轴上，∴对称轴，解得：．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的性质，判断对称轴为是解题的关键．16．把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．【答案】【分析】函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．【解析】解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；故答案为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的顶点坐标是___________，解析式为_______________．【答案】【分析】根据的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后确定的开口方向及顶点坐标，即可求解．【解析】解：抛物线的解析式为∴抛物线的开口向上，顶点坐标为：∵抛物线，抛物线关于原点中心对称．∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：抛物线的解析式为故答案为：①；②．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．18．当k取实数时，抛物线的顶点所在的函数图象的表达式为_____________．【答案】【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，令，，得出，即可求出结果．【解析】解：抛物线的顶点坐标为：，令，，则，∴，∴顶点所在的函数图象的表达式为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练求出抛物线的顶点坐标，准确计算．三、解答题19．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)(2)(3)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．【解析】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．20．请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同．【答案】如与，与（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据二次函数对称轴和开口方向的决定因素写出即可．【解析】解：∵抛物线的对称轴为y轴，∴符合的形式，∵开口方向相同，∴的符号相同，∴如与，与（答案不唯一，符合题意即可）．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，掌握二次函数系数与图象之间的关系是解题关键．21．已知二次函数（1）完成下表；（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）选取合适的的值，求出对应的的值即可完成表格；（2）利用描点法画出函数图象．【解析】解：（1）完成表格如下：012340（2）描点，画出该二次函数图象如下：【点睛】本题主要考查二次函数的图象，解题的关键是选取合适的的值，求出对应的的值．22．填表．解析式开口方向顶点坐标对称轴y＝(x－2)2－3y＝－(x＋3)2＋2y＝3(x－2)2y＝－3x2＋2【答案】解析式开口方向顶点坐标对称轴y＝(x－2)2－3向上(2，－3)直线x＝2y＝－(x＋3)2＋2向下(－3，2)直线x＝－3向下(－5，－5)直线x＝－5向上(，1)直线x＝y＝3(x－2)2向上(2，0)直线x＝2y＝－3x2＋2向下(0，2)直线x＝0【分析】各个函数都是顶点坐标式，根据顶点式可求抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴．【解析】解析式开口方向顶点坐标对称轴y＝(x－2)2－3向上(2，－3)直线x＝2y＝－(x＋3)2＋2向下(－3，2)直线x＝－3向下(－5，－5)直线x＝－5向上(，1)直线x＝y＝3(x－2)2向上(2，0)直线x＝2y＝－3x2＋2向下(0，2)直线x＝0【点睛】本题考查了二次函数的性质．在抛物线的顶点式方程y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．23．已知函数是二次函数．（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）-3；（2），开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．【解析】解：（1）∵∴∵∴m≠3∴（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为∵a=-6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．24．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．【解析】解：（1）∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（，），∵抛物线的顶点坐标在第二象限，∴，∴；（2）当时，抛物线解析式为，令，即，解得或，令，，∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．25．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．【答案】（1），M(1，-2)；（2）【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．【解析】解

（1）∵抛物线过点A(2，0)，，解得，，,∴顶点M的坐标是(1，-2)；（2）设直线AM的解析式为，∵图象过A(2，0)，M(1，-2)，，解得，∴直线AM的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．26．已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．(1)若，，求的值；(2)若，，求a的值；(3)若，请直接写出h的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值；（2）方法同（1）得，即，求出a的值即可；（3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围．（1）当，时，，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，