基于数学思想渗透的数学解题教学研究

摘

要：解题是数学的构成要素，高中数学教师需要关注解题教学的开展，并联系高考的实际题型和新课标的教学要求做出综合设计。在过去的教学中，教师虽然也非常重视解题教学，但常采用题海战术来推动学生进行解题，这样的教学设计对学生的发展较为不利，也影响了学生的成长。在当前，为了贯彻新课标的教学优化理念，设计更加高效合理的数学解题教学，教师要关注数学思想渗透的价值，从教学调整入手，研究将数学思想渗透到高中数学教学中的具体方法。关键词：数学思想；高中数学；解题教学一、做出概念诠释，解读数学思想数学思想是数学的精髓所在，但学生从字面上难以理解数学思想，更难以从中找出解决数学问题的实际方法。为了让学生了解数学思想，并为其解题应用创造基础，教师在教学实际中需要对数学思想的概念进行诠释，为学生解读数学思想的构成。在学生对数学思想有了基本了解后，教师就可以为学生进行进一步展示，引领其使用数学思想来探索解题的实际方法。如教师可以在实际中用数形结合思想为学生做出解读，让学生了解数学思想的概念，并初步了解其在解题中的应用价值。具体而言，教师可以先为学生阐述数学思想的概念：“数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识中，经过思维活动而产生的结果。”在展示了概念后，教师可以结合12个常见的数学思想为学生做展示，帮助其理解概念。为帮助学生了解，教师可以从数与形的关系出发，体现“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简的解析让学生明确代数和几何知识相结合进行解題的价值。在实际中，教师可以简要展示下述例题，帮助学生加深认知：例题1：方程ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎｘ在区间（０，２π）解的个数为

（）。Ａ．１

Ｂ．２

Ｃ．３

Ｄ．４在展示出该题目后，教师可以引导学生联系二倍角公式进行习题化简，让学生做出解读，然后结合三角函数知识，尝试绘制以下图像（见图１），然后借助读图分析，推断ｓｉｎ２ｘ和ｓｉｎｘ的值，进而求出题目所要求的内容。在学生完成解读后，教师需要根据学生的实际回答情况做出简单的评书，为学生展示数形结合的意义和方法，帮助学生理解数形结合的概念。如此，教师就可以让学生初步了解数形结合数学思想在函数习题中的应用价值。二、展示范例习题，引导学生认识为帮助学生利用数学思想解答数学习题，教师可以在实际中展示范例习题，借助这些习题引导学生初步认识数学思想在数学题解答中的具体应用要求。为做好这一解析展示工作，教师需要利用课下时间做出研究，找出适宜作为展示对象的习题，然后选择一个合适的形式展示出来，再引导学生做出解读。如在教学实际中，教师可以结合习题的选用做出展示，让学生了解相关数学思想在数学解题中的应用：例题１：（函数方程思想）建造一个容积为８ｍ３，深为２ｍ的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为１２０元和８０元，则水池的最低造价为＿＿＿＿＿＿。解析：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，进而解决相关问题。在实际的解题中，函数思想常会与方程思想融合运用实现解答。需要注意的是，通过函数方程思想解答数学问题是利用相关的概念和性质去解决现实问题，而非解答函数方程问题。对该题目而言，其考查点在于对函数模型的选择运用，在实际的解题中可以使用函数方程思想做出习题解析，引入数学符号建立数学模型，进而使用解答函数习题的方法完成该题目，解答过程如下：设长为ｘ，则宽为，造价ｙ＝４×１２０＋４ｘ×８０＋×８０≥１７６０，当且仅当：４ｘ×８０＝×８０，即ｘ＝２时取等号。因此该题目的答案为１７６０。教师解析：“本题考查对函数模型的选择与应用，在题目的解答中，同学们需要先审题，找准题目中的条件和关键因素，完成未知数的设列。在完成基本整理后，再引入数学符号，建立数学模型。在解答时，同学们需要使用解方程的方法得出数学结果。在这一题中，题目涉及了函数方程思想、分类讨论思想、整体思想，同学们知道这些数学思想的运用都体现在哪些地方吗？”通过上述案例的展示，函数方程思想、分类讨论思想、整体思想就可以很好地体现出来，教师也可以引导学生实现基本认知。在实际的教学中，针对其他数学思想，教师也应做出解答展示。三、结合具体思想，展现解题案例在实际的解题教学开展过程中，为了让学生掌握具体的教学方法，针对习题进行具体的案例解析是必不可少的，教师需要借助这些解题案例引导学生分析解题的过程，找出运用数学思想的方法途径。在这一解析过程中，教师除了需要注意习题的展示和简要解析，还需要注意引导性语言的运用，借助简单的提问，推动学生进行思考，以此帮助学生加深对数学思想的了解。如为了帮助学生深入解析并理解数学思想，教师需要设计解题案例的组合，帮助学生进行观察分析，以此实现学生对知识的透彻认知和掌握。如对整体思想，教师可以选用以下几类习题进行展示，帮助学生透彻了解：例题１：已知２ｍ－３ｎ＝－４，则代数式ｍ（ｎ－４）－ｎ（ｍ－６）的值为＿＿＿＿＿＿＿。例题２：已知ｘ＝２，ｙ＝－３是方程组ａｘ＋ｂｙ＝２，ｂｘ＋ａｙ＝３的解，则ａ２－ｂ２＝＿＿＿＿＿＿＿。例题３：已知ａ＝２＋，ｂ＝２－，求（ａ＋）２·（ｂ＋）２的值。在展示出上述习题后，教师可以先让学生尝试着解答，然后再根据学生的解答情况做出解读，引领学生认识整体思想，并使用整体思想对题目做出系统梳理。在进行案例展示的过程中，教师需要为学生展示完整的解题流程，并强调其中的整体思想和实际应用要点。以例题１为例，教师可以采用如下方式进行解读：师：“通过简单的读题，同学们可以发现这个题目属于什么类型呢？”生：“代数式化简求值。”师：“回答得很好，那么这一类题目的解题要点在哪里呢？”生：“化简式子，将代数式ｍ（ｎ－４）－ｎ（ｍ－６）化简为包含２ｍ－３ｎ的式子。”师：“根据整体思想，我们可以将原式拆解开，然后通过将２ｍ－ｎ看作一个整体完成化简。”上述的教师引领与展示过程可以推动学生对数学思想的理解，让学生认识运用数学思想解决数学问题的方法，这对学生解题能力的发展有着较强的推动作用。四、进行系统梳理，明确解题要素在完成基本的数学思想解析并帮助学生认识运用思想方法解决数学问题的具体途径后，教师在教学中，便需要从系统梳理出发，设计进一步的教学过程。在实际应用中，系统梳理是为了帮助学生认识数学思想对应的习题类型，将相关的习题做出分类处理，然后运用数学思想解答数学习题的要素进行总结与整理，形成行之有效的解题过程，推动学生的提升与发展。在这一过程中，教师要关注习题的展示，并督促学生进行总体思考，整理相关习题，以此实现有效引导。如在实际教学中，教师可以针对数形结合思想做出整理，引导学生系统分析，进而使学生明确借助数形结合思想解答几何图形问题的现实方法。其中，教师可以做出列举：数形結合可以解决集合问题，在集合运算中使用数轴处理集合的交、并、补的过程，便是使用数形结合解析数学问题的现实过程；利用数形结合可以解决函数问题，从函数的图像关系出发联系解析式，是解读函数解答的有效方法等。在完成上述知识的论述后，教师可以建立简要的框架图，对相关内容做出整理，帮助学生梳理和记忆，为实际解题应用创造条件。如此一来，教师可以帮助学生进一步认识数学思想在数学解题中的实际运用方法，这对学生数学解题能力的发展有着较强的推动作用，也能让学生更好地找准解题的要点。五、设置变式训练，推动解题运用变式训练的开展有利于提升学生的解题能力，也可以加强学生对相关知识技能的有效掌握。在例题学习中，学生虽然可以跟随教师的讲解与分析对习题产生基本认知，但难以真正做到理解与掌握，在遇到相似习题时，也可能会出现不能解答的情况。为解决这一问题，促进学生的发展，教师在教学实际中需要优选练习题，并针对性地拟定变式题目，再将相关的题目一并展现给学生，让学生借助这些题目进行解题练习，发展自身的解题能力。如在实际教学中，教师可以针对讨论思想的运用来展示习题与其变式题，帮助学生掌握解题的具体方法。其中，教师可以选用如下习题：原式：在同一平面上，∠ＡＯＢ＝７０°，∠ＢＯＣ＝３０°，射线ＯＭ平分∠ＡＯＢ，ＯＮ平分∠ＢＯＣ，求∠ＭＯＮ的大小。变式：已知∠ＡＯＢ＝６０°，过Ｏ作一条射线ＯＣ，射线ＯＥ平分∠ＡＯＣ，射线ＯＤ平分∠ＢＯＣ，求∠ＤＯＥ的大小。在展示该题目后，教师可以引导学生进行思考，分析分类讨论思想的运用。为了推动学生的进一步发展，教师还需要做出延展，设计学生拟题环节，让学生从该题目入手尝试着进行拓展构题，生成相关联的变式题。在这一拟题思考的过程中，学生的思想可以得到拓展，解题能力也能得到进一步提升。六、解读高考真题，实现知识内化高考是学生人生中的第一大考，也是高中阶段需要面临的一大挑战，学生能否通过高考的考查并考取心仪的大学，会直接影响到其未来发展。基于这一现实问题，高中数学教师需要认识到自己的教学职责，想办法借助教学的有效设计帮助学生发展解题能力。在实际教学中，教师可以选择一些高考真题做出展示和讲解，让学生对这些真题进行分析解读，尝试使用数学思想延伸出的解题方法进行有效解答。在这一过程中，学生不但可以实现数学思想解题知识的内化，还能熟悉并掌握高考题目，做好迎接高考的准备。在完成高考题的练习后，教师便可以引领学生进行探究学习，推动学生掌握数学思想。七、结语总而言之，数学思想作为数学的精髓所在，将其引入数学解题教学中，可以帮