专题08二次函数最值的几何应用(原卷版+解析)

专题08二次函数最值的几何应用考点1：二次函数与线段最值；考点2：二次函数与面积最值。题型01二次函数与线段最值题型01二次函数与线段最值1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm2．如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy=72，那么这个“定差值矩形”的对角线A．72 B．5 C．3 D．3．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．4．（易错题）如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．5．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．6．（易错题）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．题型02二次函数与面积最值题型02二次函数与面积最值7．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大8．如图，从长宽比为2：1的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点 B．AE：ED＝（5−1）：2C．AE：ED=2：1 D．AE：ED＝（29．（易错题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm210．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8 B．6 C．4 D．2211．（易错题）如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．912．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为．13．（易错题）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为．14．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．16．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°．AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．[参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（−b2a，17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？18．（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．（1）若AD＝BC，求a的值；（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．

专题08二次函数最值的几何应用考点1：二次函数与线段最值；考点2：二次函数与面积最值。题型01二次函数与线段最值题型01二次函数与线段最值1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ=P∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是25，答案：C．2．如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy=72，那么这个“定差值矩形”的对角线A．72 B．5 C．3 D．解：∵AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∵2（x+y）﹣xy=7∴xy＝2（x+y）−7∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，∴当x+y＝2时，AC有最小值为3，答案：C．3．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是1．解：如图，连接DE．设AC＝x，则BC＝2﹣x，∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC=22x，CE=∴∠DCE＝90°，故DE2＝DC2+CE2=12x2+12（2﹣x）2＝x2﹣2x+2＝（当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．答案：1．4．（易错题）如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是5．解：作MG⊥DC于G，如图所示：

设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；答案：5．5．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，即：四边形OAPB周长的最大值为6．答案：6．6．（易错题）对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．解：（1）∵点A（﹣3，0）与点B关于直线x＝﹣1对称，∴点B的坐标为（1，0）．（2）∵a＝1，∴y＝x2+bx+c．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴9−3b+c=0∴解得：b=2c=−3∴y＝x2+2x﹣3，且点C的坐标为（0，﹣3）．设直线AC的解析式为y＝mx+n，则−3m+n=0n=−3解得：m=−1n=−3∴y＝﹣x﹣3如图，设点Q的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0．则有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）∵﹣3≤−32≤0，∴当x=−32∴线段QD长度的最大值为94题型02二次函数与面积最值题型02二次函数与面积最值7．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大解：设AC＝x，则CB＝1﹣x，S＝x2+（1﹣x）2即S＝2x2﹣2x+1，所以当x=−(−2)2×2=此时，C是AB的中点．答案：A．8．如图，从长宽比为2：1的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点 B．AE：ED＝（5−1）：2C．AE：ED=2：1 D．AE：ED＝（2解：设AE＝x．则DE＝1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，则y＝AE2+DE2＝x2+（1﹣x）2＝2（x−12）2当x=12时，y取最小值．即点E是答案：A．9．（易错题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC=AB2设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ=12AC•BC−12PC•CQ=12×6×8−12（6﹣t）×2t＝∵1＞0，∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．答案：C．10．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8 B．6 C．4 D．22解：作PM⊥AD于M，

∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4﹣x，∴AF＝2（4﹣x），∵S△APF=12AF•∴S△APF=12×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x∴当x＝2时，S△APF有最大值4，答案：C．11．（易错题）如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，∴a+b+c=0解得，a=−1∴y＝﹣x2+5x﹣4，设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m4k+m=0m=−4解得，k=1即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4，设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴S△BCD=[(−x2∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．答案：C．12．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为32平方厘米解：设△PCD的面积为y，由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，∴y=12CD⋅PD=∵四边形EFPC是正方形，∴S△DEF+S△PDC=12S正方形∵PC2＝PD2+CD2，∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，∴S△DEF=12（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）=12t2﹣4t+192当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为32答案：3213．（易错题）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为17；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为6．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE=B∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．答案：17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE=4

∵S△DEC+S△DFG=12S正方形ECGF∴S△DFG=12（x2+16）−12×x×4=12x2﹣2x∵12∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．答案：6．14．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cm2．解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，根据题意得：S四边形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝6×6﹣4×12t（6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．答案：3；1815．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．12×（6﹣t）×2解得：t1＝2，t2＝4，答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）依题意，得S=12×PB×BQ=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．16．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°．AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．[参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（−b2a，解：（1）由题意，得EF＝AE＝DE＝BC＝x，AB＝30，∴BF＝2x﹣30．（2）∵∠F＝∠A＝45°，∠CBF＝∠ABC＝90°，∴∠BGF＝∠F＝45°．∴BG＝BF＝2x﹣30，∴S==1=−3（3）S=−3∵a=−3∴当x＝20时，S有最大值，最大值为150。17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8