专题9直线与圆的位置关系问题(原卷版+解析)

专题9直线与圆的位置关系问题目录一、热点题型归纳【题型一】证明直线是圆的切线【题型二】切线性质定理的应用【题型三】圆的弧长和面积的计算【题型四】多边形与圆二、最新模考题组练【题型一】证明直线是圆的切线【典例分析】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【提分秘籍】基本规律证明直线与圆相切有如下三知途径：(1)证直线和圆有唯一公共点(运用定义)；(2)证直线过半径外端且垂直于这条半径(运用判定定理)；(3)证圆心到直线的距离等于圆的半径(证d=r)。当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法(2)，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法(3)，方法(1)运用较少。【变式演练】1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．(1)求证：为的切线；(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．【题型二】切线性质定理的应用【典例分析】（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B．（1）求证：；（2）若，，求证：．【提分秘籍】基本规律切线的性质定理1.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径；2.有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径，这是圆中常用到的作辅助线的方法。【变式演练】1．如图，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点．（1）求证：是半的切线；（2）若，求线段的长．2.（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．（1）求证：；（2）求的周长．【题型三】圆的弧长和面积的计算【典例分析】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【提分秘籍】基本规律1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．【变式演练】1．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在中，∠=45°，，以为直径的⊙与边交于点．(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．2.（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．（1）求的度数；（2）若，求的长．【题型三】多边形与圆【典例分析】如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．(1)(2)若，求的长．（参考数据：，结果精确到，可以直接利用（1）的结论）【提分秘籍】基本规律1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【变式演练】1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．2．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，AB是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径和的长．2．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，，是角平分线，以D为圆心，为半径作，交于点E．(1)直线与相切吗？为什么？(2)若，，求的长．3．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．4．（2023·江苏常州·校考二模）如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)求的长．5．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知中，，，是的外接圆，点在的延长线上，于点，交于点，是的切线，交于点．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长度．6．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部一点，连接．若的半径为，求的长．7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部点，连接，．若，的半径为，，求的长．8．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．9．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．10．（2023·江苏徐州·校联考一模）如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上．连接、．满足．求证：(1)是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．11．（2023·江苏扬州·一模）如图，已知：以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．，(1)求证：是切线；(2)求的半径长；(3)求的值．12．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点B是弧的中点，在线段的延长线上取一点E，使.(1)求证：为的切线；(2)若，，求线段的长．13．（2023·江苏南通·校考一模）如图，为的直径，弦于点P，连接，过点D作，交于点连接，F是延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．14．（2022·江苏盐城·校联考一模）如图，是的直径，是的弦，点是外一点，．(1)求证：是的切线；(2)连接，若OP∥BC，且，的半径为，求的长．15．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学统考一模）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．(1)求证：是的切线；(2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积．专题9直线与圆的位置关系问题目录一、热点题型归纳【题型一】证明直线是圆的切线【题型二】切线性质定理的应用【题型三】圆的弧长和面积的计算【题型四】多边形与圆二、最新模考题组练【题型一】证明直线是圆的切线【典例分析】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解．【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：如图，连接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圆的半径，∴直线AD与园O相切，（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面积为，∵，∴阴影部分的面积为．【提分秘籍】基本规律证明直线与圆相切有如下三知途径：(1)证直线和圆有唯一公共点(运用定义)；(2)证直线过半径外端且垂直于这条半径(运用判定定理)；(3)证圆心到直线的距离等于圆的半径(证d=r)。当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法(2)，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法(3)，方法(1)运用较少。【变式演练】1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．(1)求证：为的切线；(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线；方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线；（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得．【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．∵，∴．∵，∴．

∵，∴．∵是的直径，D是的中点，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．方法二：如图2，连接OC，BC．设．∵AB是的直径，D是的中点，∴．∴．∵，∴．

∴．∵，∴．∴．∵AB是的直径，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．（2）解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．

∵，∴．∴．∴．∵G为BD中点，∴．∴，．∴．∴．方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．∵AB是的直径，∴．∵，D是的中点，∴．∵G为BD中点，∴．∴．2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．【答案】(1)相切，证明见详解(2)6【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：，，，，，，即，，，为半径，经过点O，直线与的位置关系是相切．（2）分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：，，，，，，，，，，．【题型二】切线性质定理的应用【典例分析】（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B．（1）求证：；（2）若，，求证：．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵是的直径，∴∠ABC=90°，∵切于点B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．【提分秘籍】基本规律切线的性质定理1.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径；2.有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径，这是圆中常用到的作辅助线的方法。【变式演练】1．如图，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点．（1）求证：是半的切线；（2）若，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可得∠OCP＝90°，即可证得结论；（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PF，由可得，再利用直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形的性质可求OF的值，再减去圆的半径即可．【详解】（1）证明：如解图，连接，∵，经过圆心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，即，∴是的切线．（2）解：∵是半圆的直径，，∴，，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∴，∴．2.（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．（1）求证：；（2）求的周长．【答案】（1）见解析；（2）的周长为【分析】（1）由切线的性质可得，由外角的性质可得，由等腰三角形的性质，可得，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得，，即可求解．【详解】证明：（1）是的切线，，，，，，，；（2），，，，，，，，，的周长．【题型三】圆的弧长和面积的计算【典例分析】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)图中阴影部分的面积【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：直线与相切，理由：如图，连接，∵，∴，连接，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵是的半径，∴直线与相切；（2）解：如（1）中图，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴图中阴影部分的面积．【提分秘籍】基本规律1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．【变式演练】1．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在中，∠=45°，，以为直径的⊙与边交于点．(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明从而可得结论；（2）如图，连接OD，先证明再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可．【详解】（1）证明：∠=45°，，即在上，为的切线．（2）如图，连接OD，，，，，，，．2.（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．（1）求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）55°；（2）．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∠CAD=35°，∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE，∴∠AEO∠EAO70°，∵OC∥AE，∴∠COE=∠AEO=70°，∴AB=2，则OC=OE=1，∴的长为．【题型三】多边形与圆【典例分析】如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．(1)(2)若，求的长．（参考数据：，结果精确到，可以直接利用（1）的结论）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正六边形的性质和正方形的性质分别求出，即可．（2）连接交于点，连接交于．证明是等边三角形，然后解直角三角形可求出，，再求出、，利用等腰直角三角形的性质可得结论．【详解】（1）解：∵是正六边形和正方形的对角线，∴，，∴，故答案为：．（2）解：连接交于点，连接交于．在正六边形中，，，、分别平分、，，∴，∴是等边三角形，，∴，，∴，在正方形中，，，∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．【提分秘籍】基本规律1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【变式演练】1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【详解】（1）解：连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：连接PO，OB，如图所示：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为的中点，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．2．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，∵⊙O的面积＝πr2，∴．1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，内接于，AB是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径和的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)的半径为3.5，【分析】（1）如图：连接OE，OC，根据角平分线的定义可得，即，则；再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后根据平行线的性质可得，再由是的半径即可证明结论；（2）设的半径为x，则，，再在中运用勾股定理求得x，即可求得半径；由AB是的直径可得、结合可得，进而说明，再结合可得，运用相似三角形的性质列式可求得；在中运用勾股定理可得，即；最后运用平行线等分线段定理即可解答．【详解】（1）证明：如图：连接OE，OC∵平分，∴∴，∴∵∴∵，∴∵是的半径∴是的切线．（2）解：设的半径为x，则，，在中，由勾股定理可得，∴，解得：，∴的半径为3.5∵AB是的直径，∴，∵∴∵∴∴∵，∴，∴，∴，在中，，即，解得，∴∵，∴，即，∴．2．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在中，，是角平分线，以D为圆心，为半径作，交于点E．(1)直线与相切吗？为什么？(2)若，，求的长．【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)【分析】（1）过点作，垂足为，根据角平分线性质求出，根据切线的判定得出即可；（2）由，，可得，，，由勾股定理可得，可得，由，可得，进而求得．【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：过点作，垂足为，∵平分，，，∴，又∵为半径，∴点在上，又∵，∴直线与相切；（2）∵，，∴，，，∵，由勾股定理可得，∴，又∵，∴，∴．3．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据切线的判定得出即可；（2）根据含角的直角三角形的性质求出，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．【详解】（1）直线与的位置关系是相切，理由是：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵过点O，∴直线与的位置关系是相切；（2）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，即，解得：，∴阴影部分的面积．4．（2023·江苏常州·校考二模）如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意可得，，以此推出，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明；（2）过点O作于点G，根据题意可证明，以此得到平分，则，，再根据，以此即可求解．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∵，∴，∴，；∴，∵，∴，即，∵为半径，∴是的切线；（2）解：如图，过点O作于点G，如图所示，∵，，弦，∴，∵，∴，∴，∵，即为等腰三角形，∴，，∵，，∴，在中，，在中，，∴，∴．5．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知中，，，是的外接圆，点在的延长线上，于点，交于点，是的切线，交于点．(1)判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长度．【答案】(1)等边三角形，见解析(2)【分析】（1）如图：连接，先说明是的直径，则，即；根据是的切线可得，即；再根据结合直角三角形的性质和对顶角的性质可得，进而得到即可；（2）根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得，根据是等边三角形和可得，然后解直角三角形可得，最后根据即可解答．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：如图：连接，∵，，是的外接圆，∴是的直径，∴,∴，∵是的切线，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等边三角形；（2）解：∵，，，∴，∴，∵是等边三角形，，∴，∴，∵，，∴，∴．6．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部一点，连接．若的半径为，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）由为的直径，得出，由是的切线，得出，则，根据，得出，根据等弧所对的圆周角得出，等量代换即可求解；（2）连接，证明，，根据相似三角形的性质得出，，进而根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：为的直径，，，是的切线，，，，，，，；（2）如图，连接，，，，，，，即，，，，，，的半径为，，，．7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知：为的直径，为圆心，点为圆上一点，过点作的切线交的延长线于点，点为上一点，且，连接交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为内部点，连接，．若，的半径为，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由为的直径，得出，由是的切线，得出，则，根据，得出，根据等弧所对的圆周角得出，等量代换即可求解；（2）连接，证明，，根据相似三角形的性质得出，，进而根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：为的直径，，，是的切线，，，，，，，；（2）如图，连接，，，，，，，即，，，，，；，，，的半径为，，，．8．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分；（2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，得到，进一步证明，得到，即，已知，即可求得的长，进而可得的长．【详解】（1）证明：连接，与相切于点，，，，，，平分；（2）解：连接，，，又，，又，，，，，，，，又，，，，，，，，．9．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据圆周角定理得到，由等量代换得到，由得到，则，即可得到，即可得到结论；（2）连接，，，再证明，则，设，则，，即可得到答案．【详解】（1），，，，，，，，即，∴与相切；（2）连接，，，是的直径，，，，，，，，设，，，．10．（2023·江苏徐州·校联考一模）如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上．连接、．满足．求证：(1)是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接，则可得出．由，得出，结合，可证，得出，从而推出．由直径所对圆周角为直角可得出，进而可求出，即，即证明是的切线；（2）设，则，，．根据勾股定理可得出，代入数据，可求出x的值，即得到，，从而可求出．根据锐角三角函数可求出，即说明，可求出，最后由求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵为直径，∴，即，∴，∴，即．∵为半径，∴是的切线；（2）解：设，则．∵，∴，∴．在中，，∴，解得：（舍去负值），∴，，∴．∵，∴，∴，∴．11．（2023·江苏扬州·一模）如图，已知：以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．，(1)求证：是切线；