第21章一元二次方程(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)2

第21章一元二次方程（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一．一元二次方程的定义（共2小题）1．（2022春•南湖区期末）下列是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2021 B．x（x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝22．（2022春•昭平县期末）当k满足时，方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程．二．一元二次方程的解（共2小题）3．（2022春•九龙坡区期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，则k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣44．（2022春•那坡县期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为．三．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）5．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣46．（2022•黑龙江模拟）解方程：（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2）．四．根的判别式（共5小题）7．（2022春•二道区校级期末）关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根8．（2022•兰州）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．19．（2022•盘锦模拟）关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，则m＝．10．（2022•碑林区校级模拟）直播带货作为一种线上新型销售模式，绕过了经销商等传统中间渠道，实现产品和消费者的直接对接，小刚线上通过直播带货销售家乡的某种特产水果．已知这种水果的成本价为10元/千克，通过前几个周的销售他发现这种水果每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数关系：y＝﹣2x+80．（1）如果小刚本周将这种水果的售价定为16元/千克，那么本周他销售这种水果可获利多少？（2）如果小刚下周继续销售这种水果，是否能获得500元的利润？11．（2022•西城区二模）已知关于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．五．根与系数的关系（共3小题）12．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．213．（2022•青海）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣314．（2022•淮安模拟）方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．六．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）15．（2022•定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+x）+50（1+x）2＝182 D．50+50（1+x）＝18216．（2022•仓山区校级模拟）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81 C．100x2＝81 D．100（1﹣2x）＝81七．一元二次方程的应用（共2小题）17．（2022•凤翔县二模）开展农技培训，实施人才强村战略，因地制宜采用新媒体手段远程指导生产，利用广播电视、微信公众号等开展农技培训．某地区加强了培训经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入4320万元．求该地区这两年投入培训经费的年平均增长率．18．（2022•西安二模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在抖音上对一款标价为400元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．求该种商品每次降价的百分率．【常考】一．一元二次方程的解（共1小题）1．（2021秋•济阳区期末）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则a＝．二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）2．（2022•安徽一模）解方程：2x2﹣5x+2＝0．三．根的判别式（共5小题）3．（2022•徐闻县模拟）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠04．（2022•肃州区模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是．5．（2022•唐河县模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是．6．（2022•平凉模拟）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是．7．（2022•玉林模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．四．根与系数的关系（共2小题）8．（2022•龙港区二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的两个实数根，则代数式（x1+1）（x2+1）的值等于．9．（2022春•临淄区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）10．（2022•集贤县模拟）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（）A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a11．（2022•开福区校级二模）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（）A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2六．一元二次方程的应用（共3小题）12．（2022•越秀区校级模拟）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省2019年公共充电桩的数量约为4万个，2021年公共充电桩的数量多达11.56万个，位居全国首位．（1）求广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计广东省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？13．（2022•永川区模拟）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．14．（2022•曹县二模）永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【易错】一．一元二次方程的定义（共2小题）1．（2022•兴化市模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2 B．x﹣y＝0 C．3x﹣＝2 D．x2+2x﹣52．（2022•七星关区二模）若关于x的方程（m﹣3）x2+x﹣m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠3 B．m＝3 C．m≥3 D．m≠0二．一元二次方程的解（共2小题）3．（2022•岳阳模拟）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是．4．（2022•越秀区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝．三．解一元二次方程-配方法（共2小题）5．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A． B． C．2 D．6．（2022春•任城区期末）解方程：（1）2（x﹣1）2＝32．（2）2x2﹣4x+1＝0．四．解一元二次方程-因式分解法（共5小题）7．（2022•仓山区校级模拟）方程x2＝3x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝±8．（2022•鹿城区校级模拟）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若x2＝a2，则x＝a（2）方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解为x＝0．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．其中答案错误的题目个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．（2022•红桥区模拟）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝210．（2022•东阳市模拟）方程x（x﹣1）＝2x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝011．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．五．换元法解一元二次方程（共1小题）12．（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3六．根的判别式（共6小题）13．（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（）A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关14．（2022•鹿城区校级模拟）满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A． B． C． D．15．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或316．（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（）A．无实数根 B．有且只有一个实数根 C．两个实数根 D．无数个实数根17．（2022•章丘区二模）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（）A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．818．（2022•简阳市模拟）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．七．一元二次方程的应用（共3小题）19．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长20．（2022•锦江区模拟）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为．21．（2022•江岸区校级模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x为正整数，单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．①B类果酱有吨；②A类水果所获得总利润为万元；③B类果酱所获得总利润为万元．（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．八．配方法的应用（共2小题）22．（2022•临淄区一模）已知关于x的分式方程有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，则a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．423．（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【压轴】一．选择题（共2小题）1．（2022•瑶海区三模）若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022•合肥二模）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1＝0的两实数根，则式子的值是（）A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2二．填空题（共2小题）3．（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是．4．（2022•常熟市校级模拟）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．三．解答题（共7小题）5．（2022•双峰县一模）先化简，再求值：，其中a是方程的解．6．（2022•江岸区校级模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x为正整数，单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．①B类果酱有吨；②A类水果所获得总利润为万元；③B类果酱所获得总利润为万元．（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．7．（2021秋•和平县期末）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？8．（2022•鄞州区校级自主招生）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．9．（2021秋•利通区期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．10．（2021秋•紫金县期末）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a＝（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？11．（2021秋•任丘市期末）k取什么值时，方程组：有一个实数解并求出这时方程组的解．第21章一元二次方程（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一．一元二次方程的定义（共2小题）1．（2022春•南湖区期末）下列是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣＝2021 B．x（x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【解答】解：A．是分式方程，故本选项不合题意；B．是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；D．未知数是最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2022春•昭平县期末）当k满足k≠1时，方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足k﹣1≠0，据此即可求解．【解答】解：由一元二次方程的定义可得k﹣1≠0，解得k≠1；故答案为：k≠1．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．二．一元二次方程的解（共2小题）3．（2022春•九龙坡区期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，则k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】把x＝2代入方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0得关于k的方程，解方程即可确定k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，∴k×22﹣2（k﹣2）+4＝0，即2k＝﹣8，∴k＝﹣4，故选：D．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．4．（2022春•那坡县期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为2023．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2022＝1+2022＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．三．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）5．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故选：B．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．6．（2022•黑龙江模拟）解方程：（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2）．【分析】应用解一元二次方方法进行计算即可得出答案．【解答】解：（x+4）（x﹣2）＝3（x﹣2），（x+4）（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+4﹣3）＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解，熟练掌握解一元二次方程的计算方法进行求解是解决本题的关键．四．根的判别式（共5小题）7．（2022春•二道区校级期末）关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（2022•兰州）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．9．（2022•盘锦模拟）关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，则m＝﹣1．【分析】由方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根可得Δ＝0，即可得出关于m的一元二次方程，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴b2﹣4ac＝0，即m2﹣4×m×（﹣）＝0，解得：m＝0或m＝﹣1，当m＝0时，原方程不是一元二次方程，不符合题意，故舍去，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac之间的关系．10．（2022•碑林区校级模拟）直播带货作为一种线上新型销售模式，绕过了经销商等传统中间渠道，实现产品和消费者的直接对接，小刚线上通过直播带货销售家乡的某种特产水果．已知这种水果的成本价为10元/千克，通过前几个周的销售他发现这种水果每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数关系：y＝﹣2x+80．（1）如果小刚本周将这种水果的售价定为16元/千克，那么本周他销售这种水果可获利多少？（2）如果小刚下周继续销售这种水果，是否能获得500元的利润？【分析】（1）利用本周他销售这种水果获得的利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，即可求出结论；（2）不能获得500元的利润，利用本周他销售这种水果获得的利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，即不能获得500元的利润．【解答】解：（1）（16﹣10）×（﹣2×16+80）＝（16﹣10）×（﹣32+80）＝6×48＝288（元）．答：本周他销售这种水果可获利288元．（2）不能获得500元的利润，理由如下：依题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）＝500，整理得：x2﹣50x+650＝0，∵Δ＝（﹣50）x2﹣4×1×650＝﹣100＜0，∴该方程无实数根，∴不能获得500元的利润．【点评】本题考查了根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．11．（2022•西城区二模）已知关于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）将m＝1代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝＝m2﹣2m+10＝（m﹣1）2+9，∵（m﹣1）2≥0，∴（m﹣1）2+9＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将m＝1代入方程﹣mx+m﹣5＝0中，得（x﹣1）2＝9，解得：x＝4或﹣2．∴当m＝1时，x的值为4或﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将m＝1代入原方程求出x值．五．根与系数的关系（共3小题）12．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．13．（2022•青海）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，所以1+m+3＝0解得m＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．14．（2022•淮安模拟）方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为﹣1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．六．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）15．（2022•定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+x）+50（1+x）2＝182 D．50+50（1+x）＝182【分析】由题意根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程．【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么得五、六月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，根据题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，x为增长率．16．（2022•仓山区校级模拟）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1﹣x）2＝81 B．100（1+x）2＝81 C．100x2＝81 D．100（1﹣2x）＝81【分析】利用该药品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．七．一元二次方程的应用（共2小题）17．（2022•凤翔县二模）开展农技培训，实施人才强村战略，因地制宜采用新媒体手段远程指导生产，利用广播电视、微信公众号等开展农技培训．某地区加强了培训经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入4320万元．求该地区这两年投入培训经费的年平均增长率．【分析】设该地区这两年投入培训经费的年平均增长率为m，利用2022年投入培训经费金额＝2020年投入培训经费金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该地区这两年投入培训经费的年平均增长率为m，依题意得：3000（1+m）2＝4320，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该地区这两年投入培训经费的年平均增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（2022•西安二模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在抖音上对一款标价为400元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．求该种商品每次降价的百分率．【分析】设该种商品每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设该种商品每次降价的百分率为x，依题意得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【常考】一．一元二次方程的解（共1小题）1．（2021秋•济阳区期末）关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则a＝6．【分析】把x＝2代入方程x2+x﹣a＝0得：22+2﹣a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+x﹣a＝0，得22+2﹣a＝0，解得a＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）2．（2022•安徽一模）解方程：2x2﹣5x+2＝0．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵2x2﹣5x+2＝0，∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．三．根的判别式（共5小题）3．（2022•徐闻县模拟）若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣1且m≠0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．4．（2022•肃州区模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．【分析】根据一元二次方程有实数根，可得b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k•9＝36﹣36k≥0，解得k≤1，又∵kx2﹣6x+9＝0是关于x的一元二次方程，∴k≠0，∴k≤1且k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．5．（2022•唐河县模拟）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，解得：k＜﹣1．故答案为：k＜﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．6．（2022•平凉模拟）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是c＜．【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，解得：c＜．故答案为：c＜．【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．7．（2022•玉林模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．（2）根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，∴（2m+1）2﹣4m2＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范围是m＞﹣．（2）利用求根公式表示出方程的解为x＝，∵方程的解为整数，∴4m+1为完全平方数，则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．四．根与系数的关系（共2小题）8．（2022•龙港区二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的两个实数根，则代数式（x1+1）（x2+1）的值等于2022．【分析】欲求代数式（x1+1）（x2+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2020x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2020，x1x2＝1，∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝1+2020+1＝2022．故答案为：2022．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．9．（2022春•临淄区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2，结合x1+x2＝2﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，解得：m≤．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2．∵x1+x2＝2﹣x1x2，即2m﹣1＝2﹣m2，整理得：m2+2m﹣3＝0，∴（m+3）（m﹣1）＝0，解得：m1＝﹣3，m2＝1（不合题意，舍去）．答：m的值为﹣3．【点评】考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝2﹣x1x2，找出关于m的一元二次方程．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）10．（2022•集贤县模拟）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（）A．a（1﹣x）2＝70%a B．a（1+x）2＝70%a C．a（1﹣x）2＝30%a D．30%（1+x）2a＝a【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，列方程即可得到结论．【解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为a（1﹣x）2＝30%a，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（2022•开福区校级二模）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（）A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为（10﹣x）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵竹子原高一丈（1丈＝10尺），折断处离地面的高度为x尺，∴竹梢到折断处的长度为（10﹣x）尺．依题意得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．六．一元二次方程的应用（共3小题）12．（2022•越秀区校级模拟）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，广东省2019年公共充电桩的数量约为4万个，2021年公共充电桩的数量多达11.56万个，位居全国首位．（1）求广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率；（2）按照这样的增长速度，预计广东省2022年公共充电桩数量能否超过20万个？为什么？【分析】（1）设2019年至2021年广东省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据广东省2019年及2021年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据广东省2022年公共充电桩数量＝广东省2022年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．【解答】解：（1）设广东省2019年至2021年公共充电桩数量的年平均增长率为x，由题意得4（1+x）2＝11.56，解得x1＝0.7，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去），答：年平均增长率为70%．（2）11.56×（1+0.7）＝19.652＜20，答：预计广东省2022年公共充电桩数量不能超过20万个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2022•永川区模拟）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．【分析】（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据每件进价涨了10元，列出方程计算即可求解；（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据6月份的销售总金额比5月份提高了，列出方程计算即可求解．【解答】解：（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据题意得：+10＝，解得x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，则2x＝2×300＝600．答：4月份进了这批T恤衫600件；（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据题意得：（400﹣4a）×75%×m（1+a%）+400×25%×m（1+a%）＝400×m（1+a%），解得a1＝0（舍去），x2＝20．故a的值为20．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意，找到其蕴含的相等关系是解题的关键．14．（2022•曹县二模）永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x的值．【解答】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，故x＝10为所求．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【易错】一．一元二次方程的定义（共2小题）1．（2022•兴化市模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2 B．x﹣y＝0 C．3x﹣＝2 D．x2+2x﹣5【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；B．方程x﹣y＝0是二元一次方程，故本选项不符合题意；C．是分式方程，故本选项不符合题意；D．x2+2x﹣5是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（2022•七星关区二模）若关于x的方程（m﹣3）x2+x﹣m＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠3 B．m＝3 C．m≥3 D．m≠0【分析】利用一元二次方程定义可得答案．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x2+x﹣m＝0是一元二次方程，∴m﹣3≠0，解得：m≠3．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的二次项系数不为零．二．一元二次方程的解（共2小题）3．（2022•岳阳模拟）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a+1的值是11．【分析】根据已知可得a2﹣3a﹣5＝0，从而可得a2﹣3a＝5，进而求出2a2﹣6a＝10，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，∴2a2﹣6a＝10，∴2a2﹣6a+1＝10+1＝11，故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．4．（2022•越秀区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝﹣1．【分析】根据题意把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，a2＝1，∴a＝±1，由题意得：a﹣1≠0，∴a≠1，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．三．解一元二次方程-配方法（共2小题）5．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A． B． C．2 D．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x＝，则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b＝，∴a+b＝．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．（2022春•任城区期末）解方程：（1）2（x﹣1）2＝32．（2）2x2﹣4x+1＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝32，（x﹣1）2＝16，x﹣1＝±4，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，x1＝5，x2＝﹣3；（2）2x2﹣4x+1＝0，x2﹣2x+＝0，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．四．解一元二次方程-因式分解法（共5小题）7．（2022•仓山区校级模拟）方程x2＝3x的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝±【分析】利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x2＝3x，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元一次方程﹣因式分解法是解题的关键．8．（2022•鹿城区校级模拟）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若x2＝a2，则x＝a（2）方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解为x＝0．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．其中答案错误的题目个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据一元二次方程的解法、勾股定理计算，判断即可．【解答】解：（1）若x2＝a2，则x＝±a，故本小题计算错误；（2）方程2x（x﹣1）＝x﹣1的解为x1＝0，x2＝1，故本小题计算错误；（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故本小题说法错误；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程的解法、勾股定理是解题的关键．9．（2022•红桥区模拟）方程x2+x﹣2＝0的两个根为（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝2【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣2，x2＝1，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．10．（2022•东阳市模拟）方程x（x﹣1）＝2x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x（x﹣1）＝2x，x（x﹣1）﹣2x＝0，x（x﹣1﹣2）＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．11．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是x1＝2，x2＝﹣7．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．五．换元法解一元二次方程（共1小题）12．（2022•芜湖一模）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论．【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7故选：A．【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．六．根的判别式（共6小题）13．（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（）A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当p＜0时，Δ的正负无法确定，∴无法判断该方程实数根的情况，故选项C不符合题意；∵方程的根的情况和p的值有关，故选项D不符合题意．故选B．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算．14．（2022•鹿城区校级模拟）满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A． B． C． D．【分析】先令＝t，把（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6进行变形整理得到（t2+1）2﹣6（t+1）+12＝0，再求出Δ＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，得出t2﹣6t+1≤0，求出t的解集，即可得出答案．【解答】解：令＝t，则（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6可变形为：（x﹣3）2+（tx﹣3）2＝6，整理得：（t2+1）x2﹣6（t+1）x+12＝0，则Δ＝[﹣6（t+1）]2﹣4×（t2+1）×12＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，t2﹣6t+1≤0，由t2﹣6t+1＝[t﹣（3﹣2）][t﹣（3+2）]知t2﹣6t+1≤0的解集为3﹣2≤t≤3+2，故取最小值，此最小值为3﹣2；故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程和根的判别式，掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了运用△解决函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．15．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22＝3，即可求出m的值．【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，∴m2+2m﹣1+1＝3，解得：m1＝1，m2＝﹣3，∵方程有两实数根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，即m≤，∴m2＝1（不合题意，舍去），∴m＝﹣3；故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．16．（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（）A．无实数根 B．有且只有一个实数根 C．两个实数根 D．无数个实数根【分析】根据条件得到a+b＝c，a＞0，关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，根据判别式求根的情况即可．【解答】解：∵a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，∴a+b＝c，3a+b﹣（a+b）＞0，∴3a+b﹣a﹣b＞0，∴2a＞0，∴a＞0，∴关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣c）2﹣4ab＝c2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，∴方程有两个实数根，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．17．（2022•章丘区二模）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（）A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8【分析】先根据两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，求得k＝3，进而得到一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，进而得到两腰之和为＝4，进而得出△ABC的周长为4+3＝7．【解答】解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，解得k＝3，∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，∴两腰之和为＝4，∴△ABC的周长为4+3＝7，故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式以及三角形三边关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．18．（2022•简阳市模拟）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤3且k≠﹣1．【分析】运用根的判别式解不等式（﹣4）2﹣4×（k+1）×1≥0，并保证k+1≠0．【解答】解：由题意得a＝k+1，b＝﹣4，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（k+1）×1＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，解得k≤3，又∵k+1≠0，∴k≠﹣1，故答案为：k≤3且k≠﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能根据题意准确列式、计算，并将结果考虑全面．七．一元二次方程的应用（共3小题）19．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD2+aBD＝b2是解题的关键．20．（2022•锦江区模拟）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为（a+b）2≥12ab．【分析】设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝（a+b），xy＝，消去y，组成一元二次方程，根据根的判别式可得出结论．【解答】解：设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y＝（a+b），xy＝，∴y＝（a+b）﹣x，∴x[（a+b）﹣x]＝，整理得，3x2﹣（a+b）x+ab＝0，∵存在另一个矩形，则该一元二次方程有解，∴Δ＝（a+b）2﹣12ab≥0，即（a+b）2≥12ab．故答案为：（a+b）2≥12ab．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（2022•江岸区校级模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x为正整数，单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．①B类果酱有（20﹣x）吨；②A类水果所获得总利润为（﹣x2+10x）万元；③B类果酱所获得总利润为（2x2﹣57x+328）万元．（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．【分析】（1）①根据题意可得答案；②根据总利润＝每吨的利润×数量可得答案；③根据总利润＝总售价﹣总费用可得答案；（2）根据题意列出方程，2（﹣x2+10x）﹣（﹣x2+10x）＝24，解方程可得答案；（3）设两类水果总利润的和为w万元，得出w关于x的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）①B类果酱有（20﹣x）吨；故答案为：（20﹣x）；②A类水果所获得总利润为（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，故答案为：（﹣x2+10x）；③设B类水果每吨所获得利润为z元，∵A类水果每吨所获利润为（﹣x+10）元，根据题意可知，＝2×，解得z＝﹣2x+20，∴B类水果所获总利润为：（﹣2x+20）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣57x+328；故答案为：（2x2﹣57x+328）；（2）由题意得，（2x2﹣60x+400）﹣（﹣x2+10x）﹣[12+3（20﹣x）]＝24，解得x1＝16，x2＝（舍去），∴20﹣16＝4（吨），答：A类水果有16吨，B类水果有4吨；（3）设两类水果总利润的和为w万元，则w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328，∵w≥48，∴x2﹣47x+328≥48，∴0＜x≤7或x≥40（舍），∴x的取值范围为0＜x≤7．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．八．配方法的应用（共2小题）22．（2022•临淄区一模）已知关于x的分式方程有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，则a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据分式方程有增根求出m的值，然后把m的值代入ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，利用配方法进行计算即可解答．【解答】解：，x+m﹣3m＝3（x﹣4），解得：x＝6﹣m，∵分式方程有增根，∴x＝4，把x＝4代入x＝6﹣m中，4＝6﹣m，解得：m＝2，当m＝2时，ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，∴2a2+b2+4a﹣6b+11＝0，∴2a2+4a+2+b2﹣6b+9＝0，∴2（a2+2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，∴2（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴a+b＝﹣1+3＝2，故选：B．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式进行计算是解题的关键．23．（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a2+ab﹣b2＝（b+2）2+b（a﹣b）＝b2+4b+4+2b＝b2+6b+4＝（b+3）2﹣5，∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解答本题的关键．【压轴】一．选择题（共2小题）1．（2022•瑶海区三模）若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】一次函数y＝kx+b的图象，根据k、b的取值确定直角坐标系的位置．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在无实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＜0．【解答】解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，说明Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第三象限．故选：C．【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．对于一次函数y＝kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象经过一、二、四象限．2．（2022•合肥二模）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1＝0的两实数根，则式子的值是（）A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 D．﹣n2﹣2【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可．【解答】解：由题意知，a+b＝﹣n，ab＝﹣1，∴＝＝＝﹣n2﹣2．故选：D．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种经常使用的解题方法．二．填空题（共2小题）3．（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k≤4．【分析】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+＝0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围．【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0；设x2﹣2x+＝0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn＝；m﹣n＝＝；根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理．4．（2022•常熟市校级模拟）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共7小题）5．（2022•双峰县一模）先化简，再