05解直角三角形及其综合应用大题综合原卷版+解析

05解直角三角形及其综合应用1．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为米，求大树的高．（结果精确到米，，）2．（2023·江苏宿迁·统考二模）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．(参考数据：，)3．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）4．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．(1)求点距水平面的高度；(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）5．（2023·江苏徐州·统考一模）我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．求：(1)坡顶A到地面的距离；(2)求碑亭的高度（结果保留根号）．6．（2023·江苏镇江·校联考一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高，无人机匀速飞行的速度是，当小华在B处时，测得无人机（C处）的仰角为；两秒后，小华沿正东方向小跑到达E处，此时测得迎面飞来的无人机（F处）的仰角为，平行于地面（直线l）．设点D与点F的水平距离为．(1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：；(2)求点C离地面的距离．(参考数据：，结果精确到）7．（2023·江苏常州·校考二模）某同学眼睛距地面高度1.7米（图中部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D的仰角为，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆的高度．（结果精确到整数米；参考数据：，，．）8．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，垂直于路边的灯柱高，与灯杆的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为，．（参考数据：，）(1)求路灯距离地面的高度；(2)求灯杆的长度．9．（2023·江苏常州·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在中，，，．若点P是边上一点，则的最小值为______；【问题探究】（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，试求的最小值；【问题解决】（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）10．（2023·江苏苏州·校联考一模）水巷小桥多，是苏州特色之一．古人咏苏州之桥，诗有“东西南北桥相望”，“画桥三百映江城“之句．在宋《平江图》上，可以数到三百五十九座桥梁．桥的结构为拱式环洞，也有弧形的桥拱．弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．某校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A处测得桥拱上点处的仰角为，，求的值．（用含的代数式表示）(2)如图③，在上任取一点（不与重合），作，若，求的值．(3)如图④，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：，，米，求半径（结果精确到）．（参考数据：）11．（2023·江苏连云港·统考一模）在某张航海图上（单位：海里），标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．(1)求圆形区域的面积；(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离（结果精确到海里）．（参考数据：）．12．（2023·江苏镇江·统考一模）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）(1)求坡面的坡度；(2)求基站塔的高．13．（2023·江苏扬州·统考一模）“五一”节期间，洞庭湖旅游度假区特色文旅活动精彩上演，吸引众多市民打卡游玩，许多露营爱好者在大烟囱草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；(2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，）14．（2023·江苏泰州·模拟预测）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.(1)求圆形区域的面积；(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：，，）.15．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为．(1)求坝底的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到）16．（2023·江苏宿迁·一模）纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点．(1)

；(2)点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若，求的长度（结果精确到，参考数据：）．17．（2023·江苏南京·统考一模）如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，）18．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）．19．（2023·江苏常州·统考一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长6米，长2米，点距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．如图②，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长；20．（2023·江苏泰州·统考一模）如图是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）(1)若，，求点到直线的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，，，）21．（2023·江苏苏州·统考一模）国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854(1)目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；(2)根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．(3)活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）22．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）(1)求的长；(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.23．（2023·江苏徐州·模拟预测）2023年3月18、19日，盐城市亭湖区中小学生篮球赛在先锋实验学校火热上演．本次比赛为期2天，共有来自全区26所中小学代表队，近270名运动员参加．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底箱矩形在水平地面上，它的高为40cm，长为200cm，底箱与后拉杆所成的角，后拉杆长为180cm，支撑架的长为182cm，伸臂平行于地面，支撑架与伸臂的夹角，篮筐与伸臂在同一水平线上．(1)求点F到地面的距离；(2)求篮筐到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，）24．（2023·江苏徐州·校联考一模）如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为．．(1)点D到的距离为______；(2)求点D到的距离．25．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在一座建筑物上，挂着“美丽徐州”的宣传条幅，在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为，测得D处的俯角为，其中点A、B、C、D、E在同一平面内，B、C、D在同一条直线上，，求宣传条幅长．给出下列条件：①BD=60米；②D到的距离为25米；③米；请在3个条件中选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号），并解决该问题（结果保留根号）．05解直角三角形及其综合应用1．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，在坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为米，求大树的高．（结果精确到米，，）【答案】6.6米【分析】过点作垂直于的延长线于点，垂足为．由题意得，平行于水平地面，在中，求得，在中，，可得，即，即可求解．【详解】解：过点作垂直于的延长线于点，垂足为．由题意得，平行于水平地面∴，．在中，，在中，∴，即，∴，答：大树的高约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．2．（2023·江苏宿迁·统考二模）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度如图，已知测角仪的高度为米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．(参考数据：，)【答案】旗杆的高度约为米【分析】过点作于点，则，，三点共线，米，米，设米，则米，在中，，，解得，在中，，，解得，则米，根据可得出答案．【详解】解：过点作于点，根据题意得：，，三点共线，米，米，设米，则米，在中，，，解得，在中，，，解得，经检验，是所列分式方程的解，米，米．答：旗杆的高度约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．3．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）【答案】160米【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，设米，则米，再证得四边形是矩形，可得米，米，从而得到米，在中，根据锐角三角函数可得，即可求解．【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F．在中，，∵，∴．设米，则米．∵∴四边形是矩形，∴米，米，∵米，∴米．

在中，，∵，∴，解得：．∴（米）．答：河流的宽度为160米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．4．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．(1)求点距水平面的高度；(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）【答案】(1)2米(2)米【分析】（1）根据得到，设，利用勾股定理计算即可．（2）过点B作，垂足为F，判定四边形是矩形，解直角三角形计算计算即可．【详解】（1）∵，∴，设，∵m，∴，解得（舍去），∴（m）．（2）如图，过点B作，垂足为F，则四边形是矩形，∴，∵，∴；∵，，，∴∴，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键．5．（2023·江苏徐州·统考一模）我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．求：(1)坡顶A到地面的距离；(2)求碑亭的高度（结果保留根号）．【答案】(1)10米(2)米【分析】（1）过点A作于点D，根据斜坡的坡度为，可求出米，即可求解；（2）过点C作于点E，则米，设米，在和中，利用锐角三角函数，即可求解．【详解】（1）解：如图，过点A作于点D，∵斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，∴米，即坡顶A到地面的距离10米；（2）解：过点C作于点E，则米，设米，在中，，即，解得：，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，即，解得：，即碑亭的高度为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．6．（2023·江苏镇江·校联考一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高，无人机匀速飞行的速度是，当小华在B处时，测得无人机（C处）的仰角为；两秒后，小华沿正东方向小跑到达E处，此时测得迎面飞来的无人机（F处）的仰角为，平行于地面（直线l）．设点D与点F的水平距离为．(1)请用含x的代数式表示点D与点F的铅垂距离：；(2)求点C离地面的距离．(参考数据：，结果精确到）【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，过点F作交延长线于点M，在中，根据锐角三角函数，即可求解；（2）过点C作交延长线于点N，交直线l于点H，则，，根据题意得：，可得，在中，根据锐角三角函数，可得x的值，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，过点F作交延长线于点M，根据题意得：，，在中，，即点D与点F的铅垂距离为；故答案为：（2）解：过点C作交延长线于点N，交直线l于点H，则，，根据题意得：，∴，在中，，∴，解得：，∴．即点C离地面的距离为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．7．（2023·江苏常州·校考二模）某同学眼睛距地面高度1.7米（图中部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D的仰角为，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆的高度．（结果精确到整数米；参考数据：，，．）【答案】21.7米【分析】延长交于G，在中求得，然后根据求出的长，进而可求出求旗杆的高度．【详解】解：延长交于G，则，由题意可知，米，米．∵，∴在中，，在中，，∴，∵，∴，解得，则（米）．所以旗杆的高度大约是21.7米．【点睛】此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解答本题的关键．8．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，垂直于路边的灯柱高，与灯杆的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为，．（参考数据：，）(1)求路灯距离地面的高度；(2)求灯杆的长度．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）过点作，设的长度为，根据表示出，再根据列出方程求解即可；（2）点作，先求出，再根据即可求出的长度．【详解】（1）解：过点作，交于点．设的长度为．，是等腰直角三角形．．在中，，．，，解得，∴路灯距离地面的高度为．（2）解：过点作，交于点，则，．，，．在中，，，答：灯杆的长度为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2023·江苏常州·校考二模）【问题提出】（1）如图①，在中，，，．若点P是边上一点，则的最小值为______；【问题探究】（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，试求的最小值；【问题解决】（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点B作于P，由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据勾股定理和三角形面积公式求解即可；（2）作点E关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知，可得共线，此时最小，最小值为的长度，根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；（3）作C关于的对称点M，连接，交于，作点C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，交于点E，交于点F，由轴对称的性质可得，再根据轴对称的性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）过点B作于P，如图，由垂线段最短可知，当时，的值最小，∵，∴∵∴，故答案为：；（2）作点E关于直线的对称点，连接，如图，∵E，关于直线对称，∴，∴，∴共线，∴此时最小，最小值为的长度，∵∴，∵点E是的中点，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值为；（3）作C关于的对称点M，连接，交于，作点C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，交于点E，交于点F，如图，∵C，N关于对称，C，M关于对称，∴，∴，∵共线，∴此时的值最小，∵，，，∴∵C，M关于对称，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵C，N关于对称，，∴共线，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴的长为500米，的长为1000米．【点睛】本题考查了四边形的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质，含30度的直角涉及相对的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解直角三角形等，解题的关键是作对称以及熟练掌握知识点．10．（2023·江苏苏州·校联考一模）水巷小桥多，是苏州特色之一．古人咏苏州之桥，诗有“东西南北桥相望”，“画桥三百映江城“之句．在宋《平江图》上，可以数到三百五十九座桥梁．桥的结构为拱式环洞，也有弧形的桥拱．弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．某校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为，弦为水平面，设所在圆的半径为，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A处测得桥拱上点处的仰角为，，求的值．（用含的代数式表示）(2)如图③，在上任取一点（不与重合），作，若，求的值．(3)如图④，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：，，米，求半径（结果精确到）．（参考数据：）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设所在圆的圆心为O，连接，根据圆周角定理得出，再由等边三角形的判定和性质即可求解；（2）设所在圆的圆心为O，过点O作于点M，连接，根据垂径定理得出，然后利用勾股定理及正切函数求解即可；（3）设所在圆的圆心为O，过点O作于点M，连接，方法同（2），利用垂径定理及三角函数求解即可．【详解】（1）解：设所在圆的圆心为O，连接，如图所示：∴，∵从点A处测得桥拱上点处的仰角为，即，∴，∴为等边三角形，∵，∴；（2）设所在圆的圆心为O，过点O作于点M，连接，如图所示：∴，，，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，即；（3）设所在圆的圆心为O，过点O作于点M，连接，如图所示：∴，，，，∴，在中，，即．【点睛】题目主要考查圆周角定理及垂径定理，解直角三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．11．（2023·江苏连云港·统考一模）在某张航海图上（单位：海里），标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．(1)求圆形区域的面积；(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离（结果精确到海里）．（参考数据：）．【答案】(1)圆形区域的面积为平方海里(2)观测点B到A船的距离为海里【分析】（1）连接连接、，根据坐标与图形性质得到，，，即OC为圆形区域的直径．由勾股定理求得即可求解；（2）过点B作于点，则，由题意得到，分别在和中，利用锐角三角函数求解、即可．【详解】（1）解：连接、，因为，，，所以，，，所以OC为圆形区域的直径．所以．所以圆形区域的半径为50海里．所以圆形区域的面积为平方海里．（2）解：过点B作于点，则，由题意可得，所以因为，所以在中，因为，所以．所以在中，（海里）答：观测点B到A船的距离为海里．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，涉及锐角三角函数、勾股定理、坐标与图形，理解题意，构造直角三角形解决问题是解答的关键．12．（2023·江苏镇江·统考一模）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）(1)求坡面的坡度；(2)求基站塔的高．【答案】(1)(2)基站塔的高为米【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可；（2）设米，则米，米，根据，求出米，米．在中，求出；再根据（米．【详解】（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为．根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米，（米），（米），根据勾股定理得：（米）坡面的坡度为；,即坡面的坡度比为；（2）解：设米，则米，米，，，米，米．在，米，米，，，解得；（米），（米，（米）．答：基站塔的高为米．【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．13．（2023·江苏扬州·统考一模）“五一”节期间，洞庭湖旅游度假区特色文旅活动精彩上演，吸引众多市民打卡游玩，许多露营爱好者在大烟囱草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；(2)下雨时收拢“天幕”，从减少到，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，）【答案】(1)3.8m(2)1.6m【分析】（1）解Rt，得到,再利用对称性得到；（2）过点E作于H，解，分别计算和时的，得到点E下降的高度，进而可得解.【详解】（1）解：由对称可知，，在中，，∵，

∴，

∴，

答：遮阳宽度CD约为3.8m；（2）如图，过点E作于H，

∴，∵，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，在中，，∴，当时，AH=≈≈0.91m，

当时，，

∴当从减少到时，点E下降的高度约为m．答：点E下降的高度约为m．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．14．（2023·江苏泰州·模拟预测）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.(1)求圆形区域的面积；(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：，，）.【答案】(1)(2)15.5【分析】（1）根据题意可以求得圆心的坐标和圆的半径，从而可以求得圆形区域的面积；（2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，由，根据图形得到则，解方程求得x，进而解直角三角形求得【详解】（1）连接，则轴，∴，设为由O、B、C三点所确定圆的圆心，则为的直径，由已知得，由勾股定理得，∴半径，∴；（2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，∴，∴，由题意得：，则，解得：，在中，有，即，∴【点睛】本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形以及圆的面积计算等知识．熟练掌握圆由半径和圆心确定是解答本题的关键．15．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形是某水坝的横截面示意图，其中，坝顶，坝高，迎水坡的坡度为．(1)求坝底的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽，背水坡坡角改为．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：；结果精确到）【答案】(1)(2)加固总长5千米的堤坝共需土方【分析】（1）过点作于，可得：，利用坡比求出的长，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，利用，即可得解；（2）过点F作于G，求出梯形的面积，再乘以总长即可得出结果．【详解】（1）解：过点作于，则四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是等腰梯形∴∴是等腰直角三角形∴，∴；（2）解：过点F作于G，则四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴加固总长5千米的堤坝共需土方：．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．16．（2023·江苏宿迁·一模）纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点．(1)

；(2)点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若，求的长度（结果精确到，参考数据：）．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再证得四边形是正方形，可得，即可求解；（2）以点M为圆心、长为半径画弧，交于点P，分别以点A、P为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点G，作直线，交于点N，则点N、P即为所求；（3）设，则，根据，结合锐角三家函数可得，即可求解．【详解】（1）解：在矩形中，，，根据题意得：，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴（厘米），故答案为：；（2）解：如下图：点N，P即为所求；理由：由作法知：∴点M、G都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，∴，∴将沿折，与重合，点A恰好落在线段上的点P处；（3）解：由轴对称得：，设，则，∵，∴，解得：，∴，∴，∴，所以的长度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的判定和性质，图形的折叠，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，图形的折叠的性质，矩形的性质是解题的关键．17．（2023·江苏南京·统考一模）如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，）【答案】广告牌的高度约为米【分析】依题意，，设，在，中分别表示出，则，进而在中，，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：依题意，，设，在中，，在中，，∵，∴，∴，在中，，∵，即，解得：，答：广告牌的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．18．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的俯角分别为和，已知大桥的长度为，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）．【答案】【分析】过点A作交延长线于点D，利用三角函数表示出，，根据，即可求解．【详解】如图，过点A作交延长线于点D，由题知，，，在中，，∴．在中，，∴，∴，∴，解得．∴热气球离地面的高约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．19．（2023·江苏常州·统考一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长6米，长2米，点距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．如图②，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长；【答案】米【分析】如图，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据，可求出，最后根据，即可求解．【详解】解：如图，过点作，垂足为，由题意可知，，米，米，∵，∴，在中，，（米），∴，∴（米）∴（米）．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，根据题意正确画出辅助线，构造直角三角形求解．20．（2023·江苏泰州·统考一模）如图是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）(1)若，，求点到直线的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出、，即可求出点到直线的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【详解】（1）如图2，过作，交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意可知，，，，，在中，，，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，答：点到直线的距离约为；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知，在中，，∴，∴，因此旋转的角度约为：，答：旋转的角度约为．【点睛】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．21．（2023·江苏苏州·统考一模）国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854(1)目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；(2)根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．(3)活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）【答案】(1)13.0，13.25(2)，理由见解析(3)旗杆的高度为【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行求解即可；（2）利用中位数进行决策；（3）由题意知，，，，则，，根据，即，求的值，根据计算求解即可．【详解】（1）解：由图表可知，众数为，中位数为第50和51个数据的平均数，第50和第51个数据分别为，，∴中位数为，故答案为：13.0，13.25；（2）解：估计旗杆高度为，理由如下：当一组数据中个别数据变动较大，可用中位数描述其集中趋势．（3）解：由题意知，，，，∴，，∵，即，解得，∵，∴旗杆的高度为．【点睛】本题考查了中位数和众数，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟掌握与灵活运用．22．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）(1)求的长；(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.【答案】(1)米(2)米【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长；（2）过作交射线于点，则，利用30度角的直角三角形即可求出M，N两点的距离．【详解】（1）解：如图，过作于，则四边形为矩形，∴米，米，∴（米）在中，∵∴（米）；（2）如图