2023年二轮复习解答题专题八：解直角三角形的应用实物型(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题八：解直角三角形的应用实物型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法解直角三角形的实际应用题的实质还是解直角三角形,所以解决此类问题时,要先将实际问题转化为数学模型,再将数学模型转化为解直角三角形问题.当图中没有直角三角形时,通过作垂线构造直角三角形解决问题.典例分析例1（2022湘潭中考）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）

专题过关1．（2022盐城中考.2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．

(1)求A、C两点之间的距离；

(2)求OD长．

(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，52（2022绍兴中考）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．（1）求∠BAD度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）3.（2022宁波中考）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）4.（2022嘉兴中考）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）

（1）连结，求线段的长．（2）求点A，B之间的距离．5.（2022成都中考）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）6.（2022吉林中考）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）7（2022焦作二模）图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知，．（1）求支架顶点A到地面BC的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．（结果都精确到1cm，参考数据：，）8.（2022常德中考）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，）

9.（2022驻马店六校联考二模）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

10.（2022新乡牧野三模）为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°．（1）求点到的距离（结果保留一位小数）；（2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，）11.（2022河南夏邑一模）如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中，Q是的中点，P是眼睛所在的位置，于点M，，当时，P为最佳视力点．（1）若，则_______；（2）当且时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点．（参考数据：）12.（2022临汾二模）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门，绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据）13．（2021嘉兴中考）（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.（2021鄂尔多斯中考）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）15．（2021盐城中考）（10分）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16.（2021宁波中考）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．

（1）求的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）2023年二轮复习解答题专题八：解直角三角形的应用实物型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法解直角三角形的实际应用题的实质还是解直角三角形,所以解决此类问题时,要先将实际问题转化为数学模型,再将数学模型转化为解直角三角形问题.当图中没有直角三角形时,通过作垂线构造直角三角形解决问题.典例分析例1（2022湘潭中考）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）

【思维可视化】【详解】如图，过点作于点

，，始终平分，，解得答：最少需要准备长的伞柄【点拨】本题主要考查解直角三角形的知识，学会建模，构造直角三角形，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键.再利用等腰直角三角形的性质得出DE，然后根据黄金分割比例关系求出AH的长度即可.专题过关1．（2022盐城中考.2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．

(1)求A、C两点之间的距离；

(2)求OD长．

(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，525.【答案】

解：(1)如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，

在Rt△ABE中，AB=5，∠ABE=37°，

∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE=BEAB，

∴AE5=0.60，BE5=0.80，

∴AE=3，BE=4，

∴CE=6，

在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62=35．

(2)过点A作AF⊥CD，垂足为【解析】(1)过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB=5，∠ABE=37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；

(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．

本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2（2022绍兴中考）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．（1）求∠BAD度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）【答案】（1）47°（2）3.3米【解析】【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；（2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．【小问1详解】解：，，，答：的度数是．【小问2详解】解：在Rt△ABC中，，∴．同理，在Rt△ADC中，有．∵，∴．∴，∴（米）．答：表AC的长是3.3米．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．3.（2022宁波中考）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【答案】（1）15m（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．【小问1详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，∴AB==15（m），∴此时云梯AB的长为15m；【小问2详解】解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE=BC=2m，∵AE=19m，∴AD=AE-DE=19-2=17（m），在Rt△ABD中，BD=9m，∴AB=（m），∵m＜20m，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4.（2022嘉兴中考）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）

（1）连结，求线段的长．（2）求点A，B之间的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）过点C作于点F，根据等腰三角形的性质可得，，再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，即可求解．【小问1详解】解：如图2，过点C作于点F，

∵，∴，平分．∴，∴，∴．【小问2详解】解：如图3，连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，

∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，∴对称轴l经过点C．∴，，∴AB∥DE．过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∵DG⊥AB，HE⊥AB，∴∠EDG=∠DGH=∠EHG=90°，∴四边形DGCE是矩形，∴DE=HG，∴DG∥l，EH∥l，∴，∵，BE⊥CE，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．5.（2022成都中考）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）【答案】约为【解析】【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值．【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．6.（2022吉林中考）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．【解析】【分析】根据正弦的概念即可求解．【详解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，∵sin∠ACE=，即sin58°=，∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．7（2022焦作二模）图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知，．（1）求支架顶点A到地面BC的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．（结果都精确到1cm，参考数据：，）【答案】（1）约为113cm（2）约为151cm【解析】【分析】（1）过点A作于I．根据线段的和差关系求出AB的长度，再根据直角三角形的边角关系即可求出AI的长度；（2）过点O作于G．过点A作于H．根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差关系求出∠OAC，根据矩形的判定定理和性质，平行线的性质，角的和差关系求出HG的长度和∠OAH，根据直角三角形的边角关系求出OH的长度，再根据线段的和差关系即可求出OG的长度．【小问1详解】解：如下图所示，过点A作于I，∵，∴，∵，∴，∵，∴，答：支架顶点A到地面BC的距离约为113cm．【小问2详解】解：如下图所示，过点O作于G．过点A作于H，∵AB=AC，∠ABC=75°，∴∠ACB=∠ABC=75°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=30°，∵镜面顺时针旋转15°，即∠DAB=15°，∴，∵AI⊥BC，OG⊥BC，AH⊥OG，∴四边形AIGH是矩形，∴，，∴∠HAC=∠ACB=75°，∴∠OAH=∠OAC-∠HAC=60°，∴，∴，答：此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离约为151cm．【点睛】本题考查线段的和差关系、解直角三角形的实际应用、等边对等角、三角形内角和定理、角的和差关系、矩形的判定定理和性质、平行线的性质，综合应用这些知识点是解题关键．8.（2022常德中考）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，）

【答案】70【解析】【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，可得，在中，求得，根据，，求得，进而求得，根据即可求解．【详解】如图，过点作，交于点，则四边形是矩形，，

，，在中，米，，，，，解得，顶端到的距离为40米，即米米．米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【点睛】本题考查利用三角函数测距的实际应用，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．9.（2022驻马店六校联考二模）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

【答案】【解析】【分析】过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解．【详解】解：过点E作，

∵，，，∴，∴四边形EBFM是矩形，∴，∵∠AED＝48°，∴，∴，∴．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．10.（2022新乡牧野三模）为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°．（1）求点到的距离（结果保留一位小数）；（2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，）【答案】（1）点到的距离为38.1cm（2）能达到最佳舒适度【解析】【分析】（1）过点作，设cm，根据已知角度，解和即可求解；（2）过点作，由对顶角相等得，解求出EN，判断是否在73cm至74cm之间即可．【小问1详解】解：过点作，垂足为，设cm，在中，，∴（cm），∵cm，∴cm，在中，，∴，∴，经检验：是原方程的根，∴cm，∴点到的距离为38.1cm；【小问2详解】解：过点作，垂足为，由题意得：，在中，cm，∴（cm），∴坐垫到地面的距离为：（cm），∵坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．11.（2022河南夏邑一模）如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中，Q是的中点，P是眼睛所在的位置，于点M，，当时，P为最佳视力点．（1）若，则_______；（2）当且时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点．（参考数据：）【答案】（1）（2）点P不是最佳视力点，说明见解析【解析】【分析】（1）过点C作BD的垂线，垂足为E，由等腰三角形的性质及已知即可求得∠DCB；（2）过点C作BD的垂线，垂足为E，过点Q作BD的垂线，交BD于点F，交PM于点G，通过解直角三角形求得PM的长度，根据其长度即可判断点P是否是最佳视力点．【小问1详解】过点C作BD的垂线，垂足为E，如图，∵BC=DC，DB⊥AB，∴∠DCE=∠BCE，CE∥AB，∴∠DCE=∠BCE=∠ABC=α，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=2α，故答案为：2α．【小问2详解】(2)如图，过点C作BD垂线，垂足为E，过点Q作BD的垂线，交BD于点F，交PM于点G，∵BC=CD，∴DE=BE，∠DCE=∠BCE，易知FG∥CE∥BA，∴∠DQF=∠DCE=∠BCE=∠ABC=37°．∵Q是CD的中点，∴，∴DE=2DF=14.4cm，∴DB=2DE=28.8cm．易知四边形BFGM为矩形，∴GM=FB=DB-DF=28.8-7.2=21.6(cm)．∵，FG=BM=AB+AM=36cm，∴QG=FG-FQ=36-9.6=26.4(cm)．若P为最佳视力点，则PQ⊥CD，∴∠PQG=180°-37°-90°=53°，∴，∴，这与题中条件矛盾，故当∠ABC=37°且PM=53cm时，点P不是最佳视力点．【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，考查了等腰三角形的性质，三角函数，矩形的性质等知识，正确理解题意，构造适当的辅助线是解题的关键．体现了直观想象、数学建模、数学运算的素养．12.（2022临汾二模）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门，绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据）【20题答案】【答案】B与C之间的距离约为1.4米【解析】【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则，在Rt△ABE，Rt△CDF中，分别求出的长度，进而可得长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出B与C之间的距离．【详解】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示：∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1，在Rt△ABE中，AB=1，∠A=35°，∴BE=AB•sin∠A=≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8，在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BECM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE，在Rt△MEF中，EF=AD-AE-DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及到勾股定理、平行四边形的判定与性质，构造直角三角形运用勾股定理求出线段长是解决问题的关键．13．（2021嘉兴中考）（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为＝π；（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即点D到直线EF的距离为7.3cm,【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∵∠DBE＝108°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，∵BD＝6，∴点D转动到点D′的路径长为＝π；（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，如图：Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54,Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80,∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,∵BD'∥EF,∴点D到直线EF的距离约为7.3cm,答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．14.（2021鄂尔多斯中考）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）124mm；（2）33.4°．【分析】（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF；在Rt△CDF中，解直角三角形可得CF的长，在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长．（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．【解答】解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH＝（11