01-02数学与我们同行、有理数(中等类型)(原卷版+解析)

01-02数学与我们同行、有理数【专题过关】类型一、有理数中常见的规律【解惑】阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：(1)，；(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：（m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；(3)知识运用：，；(4)已知，则的值是．【融会贯通】1．（福建省泉州市南安实验片区2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷）阅读探究：；；；；…(1)根据上述规律，求的值；(2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：．2.（福建省泉州市南安实验片区2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷）已知有下列两个代数式：（1）；（2）．(1)当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________；(2)当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________；(3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________(4)利用你发现的规律，求的值．3．（广东省惠州市外国语学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学模拟用卷）（1）计算下列各组数后再比较大小：①，②，③，⋯（2）通过上述计算，猜一猜：，归纳得出公式：；（3）请逆用上述公式计算：．4．（辽宁省抚顺市新抚区2021-2022学年七年级上学期数学第一阶段练习（一））阅读计算：阅读下列各式：回答下列三个问题：(1)验证：=

；=;(2)通过上述验证，归纳得出：=

；=；(3)请应用上述性质计算：5．（辽宁省大连市西岗区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）观察下面三行数：2，，8，，32，，……；

①0，，6，，30，，……；

②，2，，8，，32，……；

③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．类型二、绝对值与偶次方的非负性【解惑】已知，，且，求的值（

）A．1或 B．5或 C．5 D．1【融会贯通】1．（第06讲有理数的乘方-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版））若，那么．2．（江苏省南京市高淳区高淳区永丰中学2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）如果，那么；如果，那么．3．（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试卷）若，则．4．（江苏省徐州市邳州市2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）已知a，b都是实数．若，则．5．（上海市浦东新区民办欣竹中学2022-2023学年六年级下学期期中数学试题），则的值是（

）A． B． C． D．1类型三、数轴上两点之间的距离【解惑】如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m．

(1)若，求m的值；(2)点C是线段上一点且，点C对应的数字是n，若，求m的值．【融会贯通】1．（上海市普陀区2022-2023学年六年级下学期期末数学试题）数轴上的两点、所对应的数分别是和3，那么、两点间的距离等于．2．（广东省台山市新宁中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）已知数轴上有三点，分别表示有理数：，，，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．(1)填空：两点之间的距离是________；两点之间的距离是________；点P对应的数是________．（可用含t的代数式表示）(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，请用含t的代数式表示两点之间的距离．3．（【浙江新东方】【2021】【初一上】【开学考】【157】数学试题）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下四个问题：(1)若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示，求点A、B两点间的距离；(2)在数轴上表示x的点与的距离是3，求x的值；(3)若数轴上表示a的点位于和之间，求的值．4．（辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．5（江西省宜春市高安市2022－2023学年七年级上学期期末考试数学试卷）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：(1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知．①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．(2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么．(3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为，那么．(4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点P所表示的数分别是多少？类型四、数轴上字母大小关系【解惑】已知三个实数a，b，c满足，则下列结论可能成立的是（）A． B．C． D．【融会贯通】1．（吉林省长春市朝阳区第二实验学校2022-2023学年九年级下学期第三次月考数学试题）如图，点、均在数轴上，且点所对应的实数分别为、，若，则下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023年河北省廊坊市香河县香河县第四中学中考三模数学试题）如图，数轴上两点、所表示的数分别为、，则下列各数中最大的是（

）

A． B． C． D．3．（山东省临沂市河东区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．4．（2023年福建省泉州市石狮市中考二模数学试题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A． B． C． D．5．（2023年山东省潍坊市中考三模数学试题）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（）

A．2 B． C． D．1类型五、绝对值的最值（一）【解惑】已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表．a23b1031A，B两点之间的距离d127(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是，(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是；若，则x＝．(4)适合式子的整数x的值是；(5)式子的最小值是多少？【融会贯通】1．（广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请回答下列问题：(1)已知是最大的负整数，是最小的正整数．请直接写出：，；并求出在数轴上和的距离是；(2)代数式可以表示数轴上有理数与有理数所对应的两点之间的距离；若，则．(3)求代数式的最小值，并求出此时的值．2．（重难点02有理数与数轴的复杂应用题-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为．(3)若x表示一个有理数，则的最小值＝．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是．(5)若x表示一个有理数，当x为，式子有最小值为．3．（重难点02有理数与数轴的复杂应用题-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)如果，那么．(3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是，最小距离是．(4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则；②若，则．4．（第04讲有理数的加减-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版））点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示和两点之间的距离；(2)若数轴上表示点的数满足，那么；(3)若数轴上表示点的数满足，求的值；(4)|的最小值是．5．（黑龙江省哈尔滨市虹桥中学校2022-2023学年七年级下学期4月月考数学试题）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)__________；(2)表示与__________之间的距离；表示与__________之间的距离；(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．类型六、数轴折叠对称问题【解惑】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（

）

A．或5 B．或2 C．1或 D．或【融会贯通】1．（河南省新乡市辉县市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是．

2．（陕西省西安市西咸新区沣东新城第六初级中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点落在射线上，并且，则点C表示的数是（

）A．1或 B．或5 C．1或 D．3．（江苏省南京市鼓楼区南京市金陵汇文学校2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．

(1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_________；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是_________；(2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，那么点C表示的数是_________；(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．4．（江苏省苏州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合；(2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？5．（专题02数轴折叠问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合；(2)若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数___________表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？类型七、有理数与无理数分类问题【解惑】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，，(1)自然数：{________…}；(2)整数：{________…}；(3)正分数：{________…}；(4)负有理数：{________…}．【融会贯通】1．（四川省成都市简阳市城学区2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数分别填入相应的集合：0，，，，，，15，．整数集合{…}；分数集合{…}；非负整数集合{…}；负数集合{…}．2．（河南省周口市沈丘县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：．(1)分数集合{_______…}；(2)自然数集合{______…}；(3)非正整数集合{_______…}；(4)非负有理数集合{______…}．3．（四川省眉山市彭山区眉山市彭山区第二中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数填在相应的大括号里．，0.275，，0，，，0.1，，，，．正整数集合｛

……｝非负整数集合｛

……｝负数集合｛

……｝分数集合｛

……｝非负数集合｛

……｝4．（浙江省宁波市镇海区古塘初级中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）对以下数进行分类，，，，0，，负整数（

）负分数（

）正分数（

）整数（

）分数（

）有理数（

）5．（山东省德州市乐陵市2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数分别填在相应的横线上：1，，325，，0，，0.618，．正数有：__________________________________________________；负数有：__________________________________________________；整数有：__________________________________________________；分数有：__________________________________________________．类型八、绝对值化简“1”和“-1”（一）【解惑】已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（浙江省杭州市萧山区萧山区新民学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）若，则的值为（

）A．0或1 B．或0 C． D．2．（江苏省南京市秦淮区南京秦淮外国语学校2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题）符合要求的不同的值共有（）个A．10 B．7 C．4 D．33．（四川成都彭州市成都七中嘉祥外国语学校北城分校2020~2021学年七年级上学期10月月考数学试题）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，②当两个字母，中有1个正，1个负时，③当两个字母，中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求的值．（2）若均不为零，且，求代数式的值．4．（山东省聊城市阳谷县第二实验中学2022-2023学年七年级上学期数学第一次月考试题）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．5．（江苏省泰州市兴化市乐吾实验学校2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题）计算：．类型九、根据未知数大小去绝对值【解惑】已知实数在数轴上的对应点如图所示，计算：．【融会贯通】1．（北京市朝阳外国语来广营分校2019-2020学年七年级上学期期中数学试题）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则｜a－b｜－｜b｜化简的结果为：．2．（河北省保定市莲池区河北保定师范附属学校2022-2023学年八年级上学期月考数学试题）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．

（1）实数m的值是；（2）求的值．3．（福建省平潭翰英学校2021-2022学年七年级上学期第一次月考数学试题）有理数a、b在数轴上的位置如图所示．(1)用>或<填空：a+b0，c-b0；(2)化简：|c|=；|a+b|=；|c-b|=．4．（云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县茂山中学2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）若a、b、c三数在数轴上对应位置如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|+|a+c|．类型十、循环周期问题【解惑】如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数－2018的点与圆周上表示数字（

）的点重合．A．0 B．1 C．2 D．3【融会贯通】1．（山东省菏泽市定陶区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数0的点重合，现该圆在数轴上滚动．则数轴上表示数的点与圆周上表示数字的点重合．2．（湖南省长沙市望城区大湖中学2022-2023学年七年级上学期第一次限时训练数学试卷）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动个单位长度到达点，第次将点向右平移个单位长度到达点，第次将点向左移动个单位长度到达点则第次移动到点时，点在数轴上对应的实数是；按照这种规律移动下去，至少移动次后该点到原点的距离不小于．3．（重庆市重庆实验外国语学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上-2025的点是．4．（江苏省无锡市锡山区查桥中学2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2016次后，数轴上数2016所对应的点是．5．（河北省石家庄市新华区2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．(1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位；(2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．请你用含n的代数式表示m；(3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇．

01-02数学与我们同行、有理数【专题过关】类型一、有理数中常见的规律【解惑】阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：(1)，；(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：（m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；(3)知识运用：，；(4)已知，则的值是．【答案】(1)，(2)(3)，(4)18【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．【详解】（1），，故答案为，；（2）（m、n都是正整数），故答案为；（3），，故答案为，；（4）∵，∴，故答案为18．【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．【融会贯通】1．（福建省泉州市南安实验片区2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷）阅读探究：；；；；…(1)根据上述规律，求的值；(2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：．【答案】(1)55(2)(3)780【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式利用得出的规律计算即可求出值．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.（福建省泉州市南安实验片区2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷）已知有下列两个代数式：（1）；（2）．(1)当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________；(2)当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________；(3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________(4)利用你发现的规律，求的值．【答案】(1)40，40(2)，(3)(4)4043【分析】（1）分别把代入代数式①和代数式②计算即可；（2）分别把代入代数式①和代数式②计算即可；（3）根据（1）和（2）中代数式的值相等可得；（4）利用（3）中的规律进行计算即可．【详解】（1）当，时，，，故答案为：40，40；（2）当，时，，，故答案为：，；（3）通过（1）（2）中代数式的值，可知，故答案为：；（4）根据（3）中的规律，可得【点睛】本题考查了代数式求值以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（广东省惠州市外国语学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学模拟用卷）（1）计算下列各组数后再比较大小：①，②，③，⋯（2）通过上述计算，猜一猜：，归纳得出公式：；（3）请逆用上述公式计算：．【答案】（1）①=；②=；③=；（2），；（3）．【分析】（1）根据有理数的乘方的定义解答即可；（2）根据（1）中的各数的值找出规律即可解答；（3）根据（2）中的规律计算即可．【详解】解：（1）①∵，∴，②∵，∴，③∵，∴，故答案为∶①=；②=；③=；（2）由（1）可猜想∶，归纳得出公式∶．故答案为∶，；（3）．【点睛】本题考查的是有理数乘方的法则，解答此题的关键是根据（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答．4．（辽宁省抚顺市新抚区2021-2022学年七年级上学期数学第一阶段练习（一））阅读计算：阅读下列各式：回答下列三个问题：(1)验证：=

；=;(2)通过上述验证，归纳得出：=

；=；(3)请应用上述性质计算：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分别计算和即可验证；（2）根据上面的验证计算即可；（3）根据上面的公式计算即可．【详解】（1）解：，；（2），故答案为：；（3）．【点睛】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键．5．（辽宁省大连市西岗区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）观察下面三行数：2，，8，，32，，……；

①0，，6，，30，，……；

②，2，，8，，32，……；

③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】（1）；；（2），或；（3）【分析】（1）第①行有理数是按照排列的；（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n个数的表达式即可；（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．【详解】解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2，﹣1×22，23，﹣1×24，…，故第8个数是，第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；故答案为：；；（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n的数为（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n个数是或（n是正整数）；故答案为：，或；（3）∵第①行的第10个数为，第②行的第10个数为，第③的第10个数为，所以，这三个数的和为：【点睛】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．类型二、绝对值与偶次方的非负性【解惑】已知，，且，求的值（

）A．1或 B．5或 C．5 D．1【答案】A【分析】根据，，算出a，b的值即可解答；【详解】由，可得：，，又或或-1故选A【点睛】该题主要考查了绝对值、平方运算，掌握绝对值、平方运算是解答该题的关键．【融会贯通】1．（第06讲有理数的乘方-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版））若，那么．【答案】【分析】根据平方和绝对值的非负性求得，，再代入求值的即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．2．（江苏省南京市高淳区高淳区永丰中学2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）如果，那么；如果，那么．【答案】3【分析】根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：，；，，，故答案为：，3．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是明确绝对值是在数轴上，表示这个数的点到原点的距离．3．（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试卷）若，则．【答案】【分析】根据绝对值的定义求解即可．【详解】∵，∴故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟悉绝对值的概念（表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数）．4．（江苏省徐州市邳州市2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）已知a，b都是实数．若，则．【答案】【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，可得，据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵∴，解得∴故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．5．（上海市浦东新区民办欣竹中学2022-2023学年六年级下学期期中数学试题），则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可．【详解】解：∵，∴∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键．类型三、数轴上两点之间的距离【解惑】如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m．

(1)若，求m的值；(2)点C是线段上一点且，点C对应的数字是n，若，求m的值．【答案】(1)(2)11【分析】（1）直角根据数轴上两点间的距离公式计算即可；（2）先确定点C的坐标，然后在根据两点间距离公式和列式计算即可．【详解】（1）解：∵点A对应的数为，点对应的数为，点在点A的右侧，，．（2）解：点A对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，则．【点睛】本题主要考查了数轴上的点，掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键．【融会贯通】1．（上海市普陀区2022-2023学年六年级下学期期末数学试题）数轴上的两点、所对应的数分别是和3，那么、两点间的距离等于．【答案】4【分析】数轴上两点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值，据此作答即可．【详解】、两点间的距离为，故答案为：4．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，能够运用数形结合的思想是解题的关键．2．（广东省台山市新宁中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）已知数轴上有三点，分别表示有理数：，，，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．(1)填空：两点之间的距离是________；两点之间的距离是________；点P对应的数是________．（可用含t的代数式表示）(2)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，请用含t的代数式表示两点之间的距离．【答案】(1)，，(2)P，Q两点距离表示为【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离为右边代表的数减去左边代表的数，进而得出答案；（2）根据速度路程时间的关系结合数轴上两点之间的距离进行解答即可．【详解】（1）解：∵数轴上有三点，分别表示有理数：，，，∴，∵动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒，∴两点之间的距离是，点P对应的数是，故答案为：，，；（2）∵点P表示的数为，点P到达点B共用秒，∴点Q所表示的数为，∴P，Q两点距离表示为：．【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离，熟知数轴上两点之间的距离总等于右边的数减去左边的数是解本题的关键．3．（【浙江新东方】【2021】【初一上】【开学考】【157】数学试题）数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下四个问题：(1)若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示，求点A、B两点间的距离；(2)在数轴上表示x的点与的距离是3，求x的值；(3)若数轴上表示a的点位于和之间，求的值．【答案】(1)5(2)或2(3)7【分析】（1）根据两点的距离公式计算即可；（2）根据两点的距离公式以及绝对值的意义列方程求解即可；（3）根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可．【详解】（1）解：点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示，那么，故答案为：5；（2）解：根据题意得，，即，解得或．故答案为：或2；（3）解：如果数轴上表示数a的点位于和之间，则那么．故答案为：7．【点睛】本题考查了绝对值，数轴，绝对值方程，整式的加减运算，读懂题目信息，理解数轴上两个点之间的距离的表示方法是解题的关键．4．（辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．【答案】(1)4，3(2)(3)8或9【分析】（1）分别求出当时，当点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可；（2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可；（3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据的长为7建立方程求解即可．【详解】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为，∴；当时，点N表示的数为，点N表示的数为，∴；故答案为：4，3；（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为，∴，解得；（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得，解得，不符合题意；当点N在点A停留时，由题意得，，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，，解得，不符合题意；当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，，解得；当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，，解得；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．5（江西省宜春市高安市2022－2023学年七年级上学期期末考试数学试卷）数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点间的距离也与这两点所表示的数有关系．借助数轴完成下列任务：(1)如图，A，B，C是数轴上依次排列的三个点，已知．①若点B表示的数为2，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．②若点B表示的数为n，则在数轴上点A表示是数为，点C表示是数为．(2)从（1）的问题中发现：若点A、B在数轴上表示的数分别为a，b（且点A在点B的左侧），那么．(3)在数轴上，若点E、F表示的数分别为，那么．(4)若数轴上，点M表示的数是，求点N和线段的中点P所表示的数分别是多少？【答案】(1)①，4；②，(2)(3)5(4)点N表示的数为3时，点P表示的数为；点N表示的数为时，点P表示的数为【分析】（1）结合数轴便可填出①，总结规律得出②；（2）运用规律，数轴上两点之间的距离等于两点的差的绝对值，即可得出答案；（3）两点之间的距离=两点的差的绝对值，即可得到答案；（4）分类讨论，分为N在M右侧还是左侧，即可得出答案．【详解】（1）①数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：；②数轴上点A表示的数为：，点C表示的数为：；故答案为，4，，；（2）∵，又∵点A在点B的左侧，∴，∴，故答案为；（3），故答案为5；（4）当N在M的右侧时，点N表示的数为：；点P表示的数为：；当N在M的左侧时，点N表示的数为：；点P表示的数为：．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，以及数轴上点所表示的数，运用数形结合思想和分类思想是本题的关键．类型四、数轴上字母大小关系【解惑】已知三个实数a，b，c满足，则下列结论可能成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据绝对值的几何性质和有理数的加法意义可知实数a在原点一侧，实数b和c在原点的另一侧可得结果．【详解】解：∵，∴表示实数a的点在数轴距离原点最远，表示b，c的点在数轴上距离原点比a要近一些，∵，∴当a在原点右侧时，则b，c在原点左侧；当a在原点左侧时，则b，c在原点右侧，∴或，故选C．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确理解题意推出当a在原点右侧时，则b，c在原点左侧；当a在原点左侧时，则b，c在原点右侧是解题的关键，【融会贯通】1．（吉林省长春市朝阳区第二实验学校2022-2023学年九年级下学期第三次月考数学试题）如图，点、均在数轴上，且点所对应的实数分别为、，若，则下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可知可能同号，也可能异号，而恒成立，即可求解．【详解】∵，∴，即在数轴上，在的左侧，∴或，∴可能同号，也可能异号，而恒成立，∴一定正确，故选：B．【点睛】本题考查了数轴上点的位置及其大小关系，熟练掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键．2．（2023年河北省廊坊市香河县香河县第四中学中考三模数学试题）如图，数轴上两点、所表示的数分别为、，则下列各数中最大的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，，，则，，，，然后比较作答即可．【详解】解：由题意知，，，∴，，，，∴最大的为，故选：D．【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．解题的关键在于对知识的熟练掌握．3．（山东省临沂市河东区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴确定m,n的取值范围，再进一步判断，即可．【详解】由数轴知，∴，；故选：C．【点睛】本题考查数轴以及数轴上点表示的数，根据数轴得出m，n的取值范围及大小关系是解题的关键．4．（2023年福建省泉州市石狮市中考二模数学试题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数在数轴上的对应点的位置，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、由图可得，与原点的距离大于与原点的距离，∴，故选项A不正确，不符合题意；B、∵，∴，∴，故选项B不正确；C、∵，∴，∴，故选项C正确，符合题意；D、∵，∴，∴，故选项D不正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴比较实数的大小，利用数形结合思想分析问题是解题的关键．5．（2023年山东省潍坊市中考三模数学试题）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（）

A．2 B． C． D．1【答案】BD【分析】先根据数轴得出a的取值范围，结合题意得出b的取值范围，从答案中筛选即可．【详解】解：根据数轴可知，，∴，∵，∴，∴b可以是，1，故BD正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查实数与数轴，解题的关键是充分运用数形结合的思想方法．类型五、绝对值的最值（一）【解惑】已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d(1)对照数轴填写下表．a23b1031A，B两点之间的距离d127(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是，(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是；若，则x＝．(4)适合式子的整数x的值是；(5)式子的最小值是多少？【答案】(1)，1；4，4(2)(3)；或(4)，，0，1，2，3(5)15【分析】（1）利用两点间距离公式，即可得到A，B两点之间的距离d；（2）利用（1）中的结论，即可得到d与之间的数量关系；（3）依据式子表示A、B两点之间的距离，而，即可得到点B表示的数是；（4）依据表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，即可得出适合式子的整数x的值；（5）根据式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，即可得到式子的最小值．【详解】（1）解：当时，；当时，；故答案为：，1；4，4；（2）解：由题可得，d与之间的数量关系是，故答案为：；（3）解：∵式子表示A、B两点之间的距离，而，∴点B表示的数是，故答案为：；（4）∵表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，∴，∴整数，0，1，2，3，故答案为：，0，1，2，3；（5）解：式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，∴当时，式子的最小值是．【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是掌握绝对值的几何意义，找出所求问题需要的条件，利用数轴和绝对值的知识解答．【融会贯通】1．（广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请回答下列问题：(1)已知是最大的负整数，是最小的正整数．请直接写出：，；并求出在数轴上和的距离是；(2)代数式可以表示数轴上有理数与有理数所对应的两点之间的距离；若，则．(3)求代数式的最小值，并求出此时的值．【答案】(1)，，(2)，或(3)当时，的最小值为．【分析】（1）根据实数的特点，分别求出、的值，再求、的距离即可；（2）根据绝对值的几何意义可知或，分别求出的值即可；（3）根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值为．【详解】（1）是最大的负整数，，是最小的正整数，，、的距离是，故答案为：，，；（2），可以表示数轴上有理数与有理数所对应的两点之间的距离，，或，或，故答案为：，或；（3）表示数轴上有理数与有理数、、所对应的点之间的距离之和，当时，的最小值为．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．2．（重难点02有理数与数轴的复杂应用题-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为．(3)若x表示一个有理数，则的最小值＝．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是．(5)若x表示一个有理数，当x为，式子有最小值为．【答案】(1)4，5(2)，(3)5(4)或0或1或2或3(5)3，6【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可；（2）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可；（3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知x在与1之间时，有最小值5；（4）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当x在与3之间时（包含和3），，然后可得满足条件的所有整数x的值；（5）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当时，有最小值，最小值为到4的距离，然后可得答案．【详解】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是，故答案为：4，5；（2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为；故答案为：，；（3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可表示为点x到1与两点距离之和，∴当x在与1之间时，有最小值5，故答案为：5；（4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：表示为点x到与两点距离之和为4，∴当x在与3之间时（包含和3），，∴满足条件的所有整数x的是或0或1或2或3；故答案为：或0或1或2或3；（5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可看作是数轴上表示x的点到、3、4三点的距离之和，∴当时，有最小值，最小值为到4的距离，即，故答案为：3，6．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的几何意义，正确理解数轴上两点之间的距离以及绝对值的几何意义是解题的关键．3．（重难点02有理数与数轴的复杂应用题-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（苏科版））点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．(2)如果，那么．(3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是，最小距离是．(4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则；②若，则．【答案】(1)3，4(2)2或(3)8，2(4)①4；②5或．【分析】（1）根据距离公式计算即可．（2）根据绝对值的意义计算即可．（3）根据绝对值的意义，确定a，b的值，再最值的意义计算即可．（4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可．②分，，三种情况计算即可．【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：，数轴上表示1和的两点之间的距离是：；故答案为：3，4．（2），∴，∴，故答案为：2或．（3）∵，∴，∴，∴或1，或，∴A，B两点间的最大距离是：，最小距离是：；故答案为：8，2．（4）①∵x的点位于与1之间，∴，故答案为：4．②当时，，得到，解得，；当时，，得到，解得，；当时，，得到，无解；综上，或；故答案为：5或．【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握绝对值方程的计算是解题的关键．4．（第04讲有理数的加减-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课（北师大版））点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示和两点之间的距离；(2)若数轴上表示点的数满足，那么；(3)若数轴上表示点的数满足，求的值；(4)|的最小值是．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）根据题意计算即可；（2）为在数轴上表示和的两点间的距离为，即可求解；（3）表示在数轴的点到和的点的距离之和，即可求解；（4）的最小值，表示与、、距离和的最小值，即可求解．【详解】（1）解：根据题意知：数轴上表示和两点之间的距离．故答案为：．（2）解：即在数轴上表示和的两点间的距离为，或．故答案为：或；（3）解：表示数轴上数的点到和的点的距离之和，，位于和之间，；（4）的最小值，表示与、、距离和的最小值，当时，有最小值，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离求法，理解用绝对值表示两点之间距离的意义是解题的关键．5．（黑龙江省哈尔滨市虹桥中学校2022-2023学年七年级下学期4月月考数学试题）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)__________；(2)表示与__________之间的距离；表示与__________之间的距离；(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；（4）根据数轴及绝对值，即可解答．【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5．（2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，．（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5，∴当x在与2之间的线段上（即），∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）．（4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和，∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为．故答案为：10．类型六、数轴折叠对称问题【解惑】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（

）

A．或5 B．或2 C．1或 D．或【答案】C【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数．【详解】解：∵点表示的数分别是10，点落在射线上且到点的距离为6，∴，又∵点表示的数是，当点落在16对应的点时，点表示的数是，当点落在4对应的点时，点表示的数是，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．【融会贯通】1．（河南省新乡市辉县市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且，则C点表示的数是．

【答案】或【分析】设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，且，分类讨论即得．【详解】设点C表示的数为x，∵点A表示的数为，点B表示的数为6，∴，，∵，∴，，或，．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，分类讨论．2．（陕西省西安市西咸新区沣东新城第六初级中学2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）如图，数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点落在射线上，并且，则点C表示的数是（

）A．1或 B．或5 C．1或 D．【答案】A【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程即可求解．【详解】解：设点C所表示的数为x，，∵，B点所表示的数为10，∴表示的数为或，∴，或，根据折叠得，，∴或，解得：或，故选：A．【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，则．3．（江苏省南京市鼓楼区南京市金陵汇文学校2022-2023学年七年级上学期10月月考数学试题）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．

(1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_________；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是_________；(2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，那么点C表示的数是_________；(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．【答案】(1)2，(2)2或10(3)【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为11，则左边数到中点的距离为个单位，据此即可求得答案；（2）分点C在A、B之间和B点右侧两种情况利用数轴上两点距离公式建立方程求解即可；（3）A、B两点之间距离为，连续对折5次后，共有段，每两条相邻折痕间的距离为，则最左端的折痕与数轴的交点为，即可解得答案．【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为，由题意得，，解得，∴折痕与数轴的交点表示的数是2，设左边点表示的数为，则，解得，∴左边这个点表示的数是；故答案为：2，；（2）解：设点C表示的数为，∵，∴点C离点B较近，只有两种情况：①点C在线段上时，，解得：；②当点C在点B的右边数轴上时，，解得：．综上所述，点C表示的数为2或10，故答案为：2或10；（3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离为，∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为．【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离公式，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质．4．（江苏省苏州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合；(2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？【答案】(1)2(2)①；②点表示，点表示5【分析】（1）先确定折痕为原点，即可得结论；（2）①先确定折痕：，即可得结论；②设折痕为点，则，根据左边减，右边加可得结论．【详解】（1）解：若1表示的点与表示的点重合，则折痕为原点，表示的点与数2表示的点重合；故答案为：2；（2）①若表示的点与3表示的点重合，则折痕为，∴，∴6表示的点与数表示的点重合；故答案为：；②设折痕为点，则，点表示的数为，点表示的数为．【点睛】本题主要考查的是数轴上两点的距离，掌握数轴上两点距离以及数轴上有理数的表示是解题的关键．5．（专题02数轴折叠问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版））已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合；(2)若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数___________表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？【答案】(1)2(2)①，②，5.5【分析】（1）根据对称的知识，若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到的对称点所表示的数，即可；（2）①若表示的点与4表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到5的对称点所表示的数；②根据对称点连线被对称中心平分，则点A和点B到1的距离都是4.5，从而求解．【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合，对称中心是原点，表示的点与2表示的点重合；（2）①若表示的点与4表示的点重合，对称中心是1表示的点，表示的点与数表示的点重合；②由题意可得，、两点距离对称点的距离为，对称点是表示1的点，两点表示的数分别是-3.5，5.5．【点睛】此题考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及中心对称的性质，解题的关键是掌握数轴上点表示的数和两点间的距离．类型七、有理数与无理数分类问题【解惑】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，，(1)自然数：{________…}；(2)整数：{________…}；(3)正分数：{________…}；(4)负有理数：{________…}．【答案】(1)，(2)，，(3)，(4)，，【分析】根据自然数、整数、正分数、负有理数的定义即可得到结果．【详解】（1）解：自然数有：，；故答案为：，；（2）解：整数有：，，；故答案为：，，；（3）解：正分数有：，；故答案为：，；（4）解：负有理数有：，，；故答案为：，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正分数、负有理数的定义是解题的关键．【融会贯通】1．（四川省成都市简阳市城学区2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数分别填入相应的集合：0，，，，，，15，．整数集合{…}；分数集合{…}；非负整数集合{…}；负数集合{…}．【答案】0，，15，，，，，0，15，．，，，【分析】逐一分析每一个数，然后放入相应的空里．特别要注意是正整数．【详解】解：0是整数，是负整数，是分数，是负分数，是负分数，是正分数，15是正整数，，是正整数．故答案为：整数集合0，，15，；分数集合，，，；非负整数集合0，15，；负数集合，，．【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2．（河南省周口市沈丘县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：．(1)分数集合{_______…}；(2)自然数集合{______…}；(3)非正整数集合{_______…}；(4)非负有理数集合{______…}．【答案】(1)(2)(3)，0(4)15，，0，，80%，5【分析】（1）根据有理数的分类进行作答即可；（2）根据有理数的分类进行作答即可；（3）根据有理数的分类进行作答即可；（4）根据有理数的分类进行作答即可．【详解】（1）解：分数集合：；故答案为：；（2）自然数集合：；故答案为：；（3）非正整数集合：；故答案为：，0；（4）非负有理数集合：故答案为：15，，0，，80%，5．【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．3．（四川省眉山市彭山区眉山市彭山区第二中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数填在相应的大括号里．，0.275，，0，，，0.1，，，，．正整数集合｛

……｝非负整数集合｛

……｝负数集合｛

……｝分数集合｛

……｝非负数集合｛

……｝【答案】；；；；【分析】根据正整数、非负整数、负数、分数、非负数等概念，将相应的数填入大括号里即可．【详解】解：，正整数集合为：；非负整数集合为：；负数集合为：；分数集合为：；非负数集合为：；故答案为：；；；；【点睛】此题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的相关概念以及有理数的分类是解答此题的关键．4．（浙江省宁波市镇海区古塘初级中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）对以下数进行分类，，，，0，，负整数（

）负分数（

）正分数（

）整数（

）分数（

）有理数（

）【答案】见解析【分析】直接根据有理数定义及其分类进行解答即可．【详解】对以下数据进行分类，，，，0，，负整数（

）负分数（

，

）

正分数（，

）整数（，0，

）分数（，，，

）有理数（，，，，0，，

）【点睛】本题侧重考查有理数定义及其分类，掌握其分类是解决此题的关键．5．（山东省德州市乐陵市2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）把下列各数分别填在相应的横线上：1，，325，，0，，0.618，．正数有：__________________________________________________；负数有：__________________________________________________；整数有：__________________________________________________；分数有：__________________________________________________．【答案】见解析【分析】根据正数，负数，整数，分数的定义逐空解答，正数是大于0的数，负数是正数前带负号的数，正整数、0、负整数统称为整数，正分数与负分数统称为分数．【详解】解：正数：1，，325，0.618；负数：，，；整数：1，，325，0，；分数：，，0.618．【点睛】本题主要考查了正数，负数，整数，分数，解决问题的关键是熟练掌握正数，负数，整数，分数的定义．类型八、绝对值化简“1”和“-1”（一）【解惑】已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，都是非零有理数，满足可知，，为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能取值，再求所有可能的值的情况即可；【详解】∵，，都是非零有理数，满足，∴，，为两正一负或两负一正，当，，为两正一负时，，，则；当，，为两负一正时，，，∴，综上所述，的所有可能值为，则；故选A．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简与求值、非零数的性质等知识点，注意分类讨论字母的取值，不要漏解．【融会贯通】1．（浙江省杭州市萧山区萧山区新民学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）若，则的值为（

）A．0或1 B．或0 C． D．【答案】C【分析】先得到，再分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵，∴，当时，，则；当时，，则；故选C．【点睛】本题主要考查了化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．2．（江苏省南京市秦淮区南京秦淮外国语学校2022-2023学年七年级上学期第一次月考数学试题）符合要求的不同的值共有（）个A．10 B．7 C．4 D．3【答案】A【分析】当，；当时，，按此分类讨论即可．【详解】解：当，；当时，，按此分类讨论，当、、、、均为正数时，，当、、、、有八个为正数，一个为负数时，，当、、、、有七个为正数，两个为负数时，，当、、、、有六个为正数，三个为负数时，，当、、、、有五个为正数，四个为负数时，，当、、、、有四个为正数，五个为负数时，，当、、、、有三个为正数，六个为负数时，，当、、、、有两个为正数，七个为负数时，，当、、、、有一个为正数，八个为负数时，，当、、、、均为负数时，，所以共有10个值．故选A．【点睛】此题主要考查分类讨论能力，解题的关键是充分利用好这一结论，注意分类的准确．3．（四川成都彭州市成都七中嘉祥外国语学校北城分校2020~2021学年七年级上学期10月月考数学试题）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，②当两个字母，中有1个正，1个负时，③当两个字母，中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求的值．（2）若均不为零，且，求代数式的值．【答案】（1）或0或2；（2）1或【分析】（1）根据a，b，是非零实数，分三种情况进行讨论：①两正零负；②一正一负时；③零正2负时；分情况讨论求值即可．（2）根据a，b，c是非零实数，分两种情况进行讨论：①分两正一负；②一正两负；分情况讨论求值即可．【详解】（1）①当中有2个正，0个负时，原式；②当中有1个正，1个负时，原式；③当中有0个正，2个负时，原式；综上所述，的值为或0或2．（2）∵，∴，，，不可能都为正或都为负，∴．①当中有两正一负时，原式，②当中有一正两负时，原式．综上所述的值为1或．【点睛】本题考查绝对值、分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论不要出现漏解的情况．4．（山东省聊城市阳谷县第二实验中学2022-2023学年七年级上