高中数学基础知识回顾：复数-教师版

高考数学基础知识回顾：复数

基础知识

、复数的有关概念

★1、虚数单位i：四次一循环i4k+'=i;i4k+2=-1;i4k+3=-i;z4A+4=1;伏GZ)

★2、复数的代数形式：形如。+方(a/eR)的数叫做复数，记为：z=a+加(a,bcR)。

a叫做复数z的实部，记为：Rez=a；

。叫做复数z的虚部，记为：Imz=Z?,注意：复数的虚部是一个实数。

注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数

★3^z,-a+bi,z2-a-bi(a,beR),则称zrz2为共辗复数,记为：z1=z2,或z?=z]。

注：实数a的共轨复数就是本身，即Z=a(a&R)

★4、zeR=Imz=()=z=zoz2N0；

曰次七.[Rez=O[z+z=O2n

z是纯虚数=4<=>z<0

[imzwO[ZHO

★5、复数z=。+次的模(或绝对值)：\z\^\a+bi\^a2+b2

二、复数运算性质

------------------zZ—

★★1、共匏的性质：①Z[±Z2=Z]±Z2；②Z]・Z2=Z]・之2；③(一4二/；④(Z)=Z；

Z2Z2

★★2、模的性质：①[Z]・Z2]=区卜匕2卜②五=口*；③卜]=忖"；

Z2\Z2\

222222

@|z|=|z|=z-z；(§)\Zl+z2\+\Zl-z2\=2(jzJ+|z2|)；

©||Z]I-|z21|z,+z21^Z1I+1z21

★★3、幕的运算法则:(注：n-tn为整数)

①z*z"=zf②（z"）M=z""'=（z"'）";③（Z「Z2）"=（Z1）"（Z2）"；

@（1+z）2=2i=>（1+i）2n=（2i）"；（1-z）2=-2z0（1一i）2"=（-2/）"；

三、复数方程

★★1、实系数一元二次方程：ax2+bx+c-0{a,b,c&R,a*0)

①当△=/一4ac>0时=有两个实数根：%,%=——

=

②当△=〃-4ac<0时=有一对共轨虚根：xy,x2=—---------

b

Xj+々=---

★★2、无论A20还是△<(),韦达定理都成立：=1~a

注意：(1)实系数一二次方程办2+反+。=()3,上CGRMHO)中，以下公式和定理通用：

求根公式；利用判别式判断根的情况与个数；韦达定理；共辗虚根定理(即虚根成对出现)

(2)虚系数一元二次方程中：仅韦咨足理可用；

(3)已知王、马是一元二次方程由^+bx+c=O(。,仇ce0。工。)的两根，贝J

A>0A<0

①若[X]-1=P（〃>0），则，

2中2-"22

（X1+x2）-44XJX2—（x,+x2）=p

A>0

②若1用1+1/1=P（P>°），则,

x；+x2+21X]X1=p1

22IX1|+1%|=21X]1=2gX[=

四、复数的几何意义

★1、复平面的有关概念：实轴是x轴,虚轴是y轴；与复数超一一对应的点

是(a,b)；非零复数z=a+bi(a,hGR,a2+b2H0)与复平面上自原点出发以点Z(a,b)为终点

的向量02一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.

★★★2、复平面上的轨迹问题:

①两点间的距离公式：d^\z,-z2\；

②线段的中垂线：|z-zJ=|z—Z2|；

③圆的方程：|z-p|=r（以点〃为圆心，「为半径）；

④圆的内部：|z-p|<r（以点〃为圆心，厂为半径）；

⑤闭圆环：（以点p为圆心，个弓为半径）；

⑥椭圆：\z-z}\+\z-z2\-2a（2a为正常数，2a>[ZI-Z2|）；

线段：\z-z}\+\z-z2\-2a（2a为正常数，2a

无轨迹：|z-Z||+|z-Z2|=2a（2a为正常数，2a<\zt-z2\）；

⑦双曲线：||z-zj-|z-z2|=2a（2。为正常数，2a<|z]—Z2”；

射线：||Z-ZJTZ-Z2（=2a（2a为正常数，2a=k-Z2I）；

无轨迹：||z-zj-|z-z2|=2a（2a为正常数，2a>\zx-z2\）.

题型与方法

一、复数的相关概念

利用复数。+次的形式，理解实部、虚部、纯虚数、虚数的限制条件。

【例1】若复数出口+,人（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数。的值为

1-i2

【难度】★

【答案】2

【例2】复数z满足z'=1+/,则复数z的模等于

1i

【难度】★★

【答案】75

【巩固训练】

1.当用取何值时，复数------雁君是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数

【难度】★★

【答案】若z为实数，则，"—2m—15=0,解得m=5或〃?=一3（舍），故当加=5时，z是

实数；若z为虚数，则机2-2m—15工0,解得m^5且加力一3,故当〃?H5,-3时，z是虚数；

nr-m-6

---------=（）

若Z为纯虚数，贝Mm+3，解得根=3或加=一2,故当加=3,—2时，z是纯虚数；

m2-2m-15。0

2.已知z,◎为复数，（l+3i>z为纯虚数，。=二一，且|3|=50.求复数0.

2+z

【难度】★★

【答案】^z=x+yi,{x,yeR）,则（l+3）z=（x-3y）+（3x+y）i为纯虚数，所以x=3ywO,

因为1勿引宗1=5及，所以Iz.Jf+V=5®；又x=3y.解得

x=15,y=5;无=-15,y=-5所以3=±"+5'=±（7-j）.

2+i

二、复数的混合运算

+=

【例3】S^llz.=-—,z2=---,|z,I'

13-i22-i2---------------

【难度】★

【答案】--

10

【例4］求同时满足下列两个条件的所有复数z；

(1)Z+—&R,且1<Z+—K6；(2)Z的实部与虚部都是整数.

ZZ

【难度】★★

【答案】设2=1+9,0,丁6/?)

1010.10（x-yi）10、八10、.

则rhlz+——=x+»+----；=》+»+—；~V-=X（Z1+F---r）+y（l--，---7）］

zx+yix-+yx+y~x~+y

因为z+WeR,所以y（l——£干）=0.所以y=0或炉+J?=脂

z厂+y-

当y=0时，z=x,又l<z+W46,所以xeR",而2+3之2河>6,所以在实数范围内无

ZZ

解.

10z•z~1

当/+y2=1o时，则z+—=z+---=z+z=2尤.由lv2x<6=>—vx<3

zz2

因为x,y为正整数，所以工的值为1,或2,或3.

当X=1时,y=±3；当x=20女y=±#（舍）；当x=3时,y=±l.

则z=1±3,或,z=3±z.

【巩固训练】

（l+i）2（a-4

1.已知复数2=满足|z|=；求实数4的值.

V2（a-3z）2

【难度】★

【答案】±6

2.已知z=Gsme?cos。,求忖的最大值.

sin。-ij3cos611

【难度】★★

【答案】V3

三、复数方程

【例4］实系数一元二次方程Y+奴+。=0的一根为百=犯（其中i为虚数单位），则

1+i

a+b=.

【难度】★★

【答案】1

【例5】若4/2为虚数且为实系数一元二次方程/+内+4=0的两个根，且Z：=Z2,求p,q的

值.

【难度】★★

【答案】设4=。+初（。,匕€尺。。0）,则22=。一〃，于是（。+沅Ju。一次，即

a1—b1+2abi=a-bi,

1

2f2Q=—r~

从而I"—b="n|2即此一元二次方程的根为一

2ah=-b,yj322

ih=±——

I2

【例6】已知关于］的方程与=W＜有实根,则实数用的值为

【难度】★★

【答案】—

12

【巩固训练】

1.已知夕一2是关于丁的方程2?十号/*的一个根，则实数p+q=

【难度】★★

【答案】34

2.已知方程三，■的两根为卬£，若离一©=1，求实数p的值.

【难度】★★

【答案】P=±6或P=土加

3.已知关于x的方程/+伏+为口+2+k=0有实根，求这个实根以及实数攵的值.

【难度】★★

【答案】实数根为0时，k=-2叵,实数根为一及时，％=20

四、复数的几何意义

【例7】若复数z满足关系|z+2『+|z-4”2=12,贝Ijz对应的复平面的点z的轨迹是（）.

A.圆B.椭圆C.双曲线D.直线

【难度】★★

【答案】A

【例8】设4,z2eC,z；—2ZR2+4z；=0,%|=2,那么以㈤为直径的圆的面积为（）.

A.71B.47rC.8兀D.16%

【难度】★★

【答案】B

【例9］对于任意两个复数4=玉+兆，Z2=Z2+必i（UX，/，内均为实数），定义运算“回”为：

4.设非零复数外，处在复平面内对应的点分别为6,6，点。为坐标原点，如

果丹•牡=0,那么在13ppp2中，0PXOP2的大小为.

【难度】★★

TT

【答案】-

2

【巩固训练】

1.已知集合P={z||z+z|=|z-z|,ZGC},集合Q={zIIz-l|=1,ZGC},则PClQ=.

【难度】★★

【答案】{0,2}

2.设三若Z对应的点在直线上，则加

【难度】★★

【答案】V15

3.已知方程三~口小才在血石gaj有实根6,且—求复数对应

点的轨迹.

【难度】★★

【答案】因为方程d+(4+i)x+4+ai=0,(aeH)有实根6,

人2+4匕+4=0有加a=2,

所以4，解得《所以z=2—2i.

b+a=0h=-2.

设复数z(l-ci)=x+yi,(x,yeR),

因为I(l—ci)=(2+2j)(l_ci)=2(l+c)+2(l_c)i,

尤=2(l+c),

所以《〉［(c为参数)消去c,得x+y=4.

ly=2(l-c)，

x-2(l+c)>2,

又因为c>0,故，

y=2(l-c)<2.

故复数；(1-ci)(c>0)对应点的轨迹为以(2,2)为端点(但不包括端点)倾斜角为135°向下的射线.

易错题型

【例1】设复数z=l—i(i是虚数单位)，Z的共规复数为三，则|(1—z)W=

【难度】★

【答案】M

【解析】|(l-z)z|=|z-zz|=z-|z|2=|-1+z-2|=V10

【易错点】利用共葩复数的运算性质来计算时可以减少计算量，能避免设一般形式z=a+初的代入

法就尽量不去设。

【变式训练】

a'/?

1.已知e和£是实系数一元二次方程办2+/+。=0的两个虚根，且万eR,则巴=

【难度】★★

0[一

【答案】因为万eR,则?一eR,又因为a和£是实系数一元二次方程ax2+"+c=0的两个

虚根，则a=/,£=£,故土=上=竺=废，所以(2、

(3ppa)1，哈-海

【例2】已知复数z满足忖=2,则复数1+Gi+z的模长的最大值为

【难度】★★

【答案】4

【解析】由题意可知复数z对应的点Z在以原点为圆心，以2为半径的圆

上。设z-a+bi(a,beR),则1+也i+z=a+1+加+6},所以

|1+gi+z[=J(a+l)2+,+⑸表示圆上的点与点(-1,-6)之间的距

离，所以|1+6，+4=|。4|+「=4

Imax

【易错点】复数z=a+初<-一型巨>复平面内的点Z(a,b)(一对应>向量无，所以

|z|=7a2+b2

【变式训练】

1.复数z满足条件|z+2|=|z-4i|,则忖的最小值为

【难度】★★

【答案】|V5

【例3】已知不，々是实系数方程/+x+p=O的两个根，且满足|西一/1=3,求实数p的值.

【难度】★★

【答案】△二1一4〃，

（1）当ANOEbj,即时，%,尢2是实根，；・I玉一天2hJ（X]+%2）2