北师大版数学九年级下册解答题训练50题（含答案）

北师大版数学九年级下册解答题专题训练50题含答案

一、解答题

I.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(3,O),B(2,-3)C(O,-3)

(1)求此函数关系式和图像对称轴.

(2)在对称轴上是否存在一点P使得△PAB中PA二PB?若存在，求出点P坐标,若不存

在，说明理由.

【答案】(l)y=x2-2x-3,对称轴x=l(2)(1,-1)

【分析】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把A(3,0)、B(2,-3),C(0,-

3)代入，得到方程组，求出a,b,c的值，即可解答；

⑵设P(1,t),利用两点间的距离公式得到(1+1)2+12=(1-2)2+(t+3)2,由于

解得t=-l,则可判断存在一点P,使PA=PB,此时P点坐标为(1,-1).

【详解】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

9a+3b+c=0

把A(3,O)、B(2,-3),C(0,-3)代入，得<4a+2b+c=-3,

c=-3

A=1

解得：b=-2

c=-3

y=x2-2x-3,

h-?

对称轴x=--=——=1,

2a2

(2)存在，

设P(l,t)，

VPA=PB,

.,.(l+l)2+t2=(l-2)2+(t+3)2,解得t=-l,

工满足条件的P点坐标为(1,T).

【点睛】此题主要考查二次函数几何综合，解题的关键是熟知待定系数法及两点坐标

的距离公式.

2.用配方法将下列函数解析式改写成y=〃(x+m)2+A的形式，并指出开口方向、顶点

坐标和对称轴.

(1)y=x2+4x+3

(2)y=-2x2-3x-4

(3)y=2x2-2x+l

(4)y=--x2+2x-2

【答案】(1)y=(x+2)2-l；开口向上；顶点(-2,-1)；对称轴直线x=-2；(2)

a7373

y=-2(x+J)2—2:；开口向下；顶点(_3，_2/)；对称轴直线x=-g(3)

48484

y=2(x-1)2+p开口向上；顶点(*);对称轴直线x$(4)y=-l(x-2)2；开

口向下；顶点(2,0)；对称轴直线x=2

【分析】(1)根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式

得到对称轴、顶点坐标，由。=1>0得到开口方向；

(2)根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称

轴、顶点坐标，由。=-2<0得到开口方向；

(3)根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称

轴、顶点坐标，由a=2X)得到开口方向；

(4)根据配方法把二次函数的一般式化成顶点式，并根据二次函数的顶点式得到对称

轴、顶点坐标，由a=-《V0得到开口方向；

【详解】(1)y=(x+2)2-l；开口向上；顶点解2,7)；对称轴直线x=・2

解析：j=(x2+4x)+3

=(X+2)2-4+3

=(X+2)2-1

37373

(2)y=-2(x+—)2-2—；开口向下；顶点(一二,一2《)；对称轴直线x=-1

48484

解析：J=-2(x2+—x)-4

3，7

=-2(X+-)2-2-

48

(3)y=2(x-l)2+1；开口向上；顶点g；)；对称轴直线x=g

解析：y=2(x2-x)+l

2

=2(X-1)-1+1

22

=2(4一9+:

22

(4)y=-l(x-2)2；开口向下；顶点(2.0)；对称轴直线x=2；

解析：J=-^U2-4x)-2

【点睛】本题主要考查二次函数一般式化成顶点式，关键是根据配方法进行变换，然

后根据顶点式及〃来判断开口方向及对称轴、顶点坐标.

3.计算：(-5/2)x底-(—)-^l1->/31-2sin600.

4

【答案】-2^-5

【分析】根据实数的性质化简即可求解.

【详解】原式二26-4+6・1-2'巫

2

=-2>/3-4+5/3-1■也

=-2^-5.

【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

4.计算：2sin30-厄-卜行-2)°

【答案】-25/3

【分析】根据特殊角的三角函数值及实数相关运算法则计算即可.

【详解】原式=2,一26一1二1-26-1=-26

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简及零指数哥运算，熟记特殊

角的三角函数值及运算法则是解题关键.

5.(1)解方程：5Mx+3)=2。+3).

⑵计算：41sin450-cos230°+sin60°-tan300.

【答案」】(1)玉=：2,Z=-3；(2)3

54

【分析】(1)先提取公因式分解因式分为两个一元一次方程解出即可得到答案；

(2)先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可.

【详解】(1)解：(5x—2)(x+3)=0,

5x-2=0或x+3=0.

/.X]=y,x2=-3.

（2）解:原式=&x*—（孝）+争¥

=­3

4,

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、特殊角的三角函数值的混合运算,

熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意不要混淆各特殊角的三角函数值.

6.为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图

如下：两端是半圆形，中间是长方形.（乃取3）

lOOni

⑴求这个运动场的周长.

（2）求这个运动场的面积.

（3）已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是3：7,每

19

平方米草坪的价格是5元，比每平方米塑胶的价格低与，则购买铺满该运动场所需要

的塑胶和草坪的总费用是多少元？

【答案】（l）440m

（2）12800m2

（3）428800（元）

【分析】（1）用长方形的两条长边加上一个圆的周长即可；

（2）用长方形的面积加上圆的面积；

（3）根据等量关系列方程求出塑胶的单价，然后按比例分配求出塑胶跑道的面积和草

坪的面积，进而求得结果；

【详解】（1）解：运动场的周长：

C=100x2+40x2^-=200+804=200+240=440（m）

答：这个运动场的周长为440米.

(2)解：运动场的面积：5=100x80+402^=8000+4800=l2800(m2)

答：运动场的面积为：12800m2

(3)解：设平方米塑胶的价格为x元

根据题意得：。-=5

20

解得：x=100

3

该运动场塑胶跑道的面积为：12800X；；—=3840(m2)

该运动场草坪的面积为：12800x2-=8960(m?)

3+7

故总费用为：3840x100+8960x5=428800(元)

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，圆的基本知识：熟练根据等量关系列方程

式解题的关键.

7.计算

(1)|l-tan60°|-^-^+sin45。+4

(2)-l2O22+>/i2-(7c-3)0-cos30°

【答案】(1)石+&+1;

(2)-2+|x/3.

【分析】(1)根据殊角的三角函数值、负指数易、化简二次根式和绝对值的运算法则

计算后，再进行实数的加减即可得解；

(2)根据殊角的三角函数值、零指数幕、化简二次根式的运算法则计算后，再进行实

数的加减即可得解.

【详解】(1)解：|l-tan60o|-|^-^j+sin45°+

=|1-\/3|-(-2)+^+^

=石一1+2+也+也

22

=6+五+1;

(2)解：-I2022+V12-(71-3)°-cos30°

=-1+273-1--

2

=-2+-^.

2

【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数

值是解题的关键.

8.计算tan450sin30Qcos60°-8s2450

【答案】-7

4

【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【详解】解：tan450sin30°cos60°-cos245°

22[2)

11

=----

42

4

【点睛】此题考查了特殊角的三角函数的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角

函数值.

9.计算：

(l)7i8--4-2-,+-jJ——(&+1)。；

2yj2+1

⑵用-2|-V12xtan600+2cos30°+-.

【答案】⑴472-3；(2)-2.

【分析】(1)先计算乘方和化简二次根式，然后再计算除法，最后计算加减即可；

(2)先去绝对值符号和计算乘方，再把特殊三角函数值代入计算乘法，最后计算加减

即可.

【详解】解：(1)原式二36+近-1-1=4a—3；

(2)原式=2-石-2百x氏+2x立+2=2

2

【点睛】含有乘方的实数的混合运算是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键.

10.定义：同时经过x轴上两点A(m,0),45,0)5#〃)的两条抛物线称为同弦抛物

线.如抛物线C：y=*-l)(%-3)与抛物线C2：y=2(x-l)(x-3)是都经过(1,0),

(3,0)的同弦抛物线.

(1)引进一个字母，表达出抛物线&的所有同弦抛物线：

(2)判断抛物线。：y=与抛物线a是否为同弦抛物线，并说明理由；

(3)已知抛物线C/是C的同弦抛物线，且过点(4,5),求抛物线C对应函数的最大

值或最小值.

【答案】(I)：y=«a-l)(x-3)；(2)不是，理由见解析；(3)抛物线有最小值为一

5

3,

【分析】(1)抛物线的表达式为：尸。(彳-l)(x-3)(〃并且在1)；

(2)产g(/-3x+2)=g(x-l)(x-2),抛物线与x轴的交点为：(1,0)、(2,0),即可求

解；

(3)C是。的同弦抛物线，设其抛物线的表达式为：产a(x・l)(x・3)3押且存1),把点

(4,5)代入上式并解得：«=1,即可求解.

【详解】(1)抛物线的表达式为：尸“v-1)。・3)(。并且存1)：

(2)不是,

理由是：

产;(3-3x+2)=；(x・l)(x-2),

抛物线与x轴的交点为：(1,0)、(2,0)；

・・・。3与抛物线。不是同弦抛物线；

(3)C”是。的同弦抛物线，设其抛物线的表达式为：)=a(x-l)(x-3)(a8且存1)；

把点(4,5)代入上式并解得：«=|,

故抛物线表达式为：y=|(x-1»・3)=((x-2)2-1,

Vd=|>0,故抛物线有最小值为：・g.

【点睛】本题考查了新定义，二次函数与x轴的交点，二次函数的图象及性质，解题

关键是要仔细阅读弄清题意.

11.如图，在平面直角坐标系中有RtHABO,其中团OAB=90。，A0=4,B0=5,求经过点

。、A、B抛物线的解析式.

525

[^]y=--x2+y|x.

【分析】过点A作AC_LBO于点C,先根据勾股定理求出AB的长度，进而可求出

AC、CO的长度，即可求出A点坐标，根据O、B两点坐标设抛物线的解析式为

y=ax(x-5),把A点坐标代入求出a的值即可.

【详解】如图所示：

过点A作AC_LBO于点C,

VAO=4,BO=5,ZOAB=90°,

，AB=3,

・・・8=办。_"2考,

则A(华，

设经过点O、A、B抛物线的解析式为：y=ax(x-5),

121616八

贝nijl7二axkx(zy-5),

解得:a=-(,

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式：(1)一般

式：y=ax2+bx+c(a#0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x-h)2+k；(3)交点式

(与x轴)：y=a(x-xi)(x-X2)熟练掌握二次函数的三种形式是解题关键.

12.二次函数产以2+加+4的部分对应值如表所示：

X・・・01234・・・

)^=ax2+bx+446640

(1)求二次函数的解析式，并求其图像的对称轴；

3

⑵点(m,y/)、(2-w,”)是其图像上的两点，若〃则y/”(填

"V”或“=”)

3

【答案】(l))=-x2+3x+4；对称轴户5

⑵〉

【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式，再根据对称轴为直线x=-2■求解；

（2）根据抛物线开口方向，对称轴位置，及点（m,y/）、（2-〃[，"）与对称轴的距

离求解.

（1）

—[a+b+4=6,[a=-\

解:由题意知：，“4人解得：L2，

[4a+2b+4=6[6=3

.*.y=-j2+3x+4；

h33

对称轴A-——=--=—；

2a-22

⑵

解：若加>六，则〃l]>2-加

222

3

;抛物线开口向上，对称轴为直线x=],

^•yi>y2.

故答案为：>.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握

二次函数图像与系数的关系.

13.计算：（j）J•厄+2taM0。-（2-J3）°.

【答案】2

【详解】试题分析：原式利用零指数基、负整数指数嘉法则，二次根式性质，以及特

殊角的三角函数值计算即可得到结果.

试题解析：原式=3-2%+班-1=2.

考点：（1）实数的运算；（2）零指数察；（3）负整数指数幕；（4）特殊角的三角函数

值

14.如图，己知该抛物线图像的顶点坐标（1,-1）,与％轴交于点A（2,0）.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线上有一点3,且5加,=3,求点8的坐标.

【答案】(l)y="2—2x

(2)(3,3)或(T,3)

【分析】(1)设抛物线解析式为y=a(x-l)2-l,然后把A(2,0)代入求解即可；

(2)设点B的坐标为(c,d),根据三角形的面积公式求d的值，再将纵坐标d代入

抛物线解析式求c的值，确定8点坐标.

【详解】(1)解：•••该抛物线图像的顶点坐标

，设抛物线解析式为y=a(x-l)2-i,

把A(2,0)代入，得0=仪2-炉-1,

解得4=1,

y=(x-l)'-1=^-2x；

(2)解：设点8的坐标为(c,d),

•・,A(2,0),

:.AO=2t

••c一a

.,.-x2x|J|=3,

2

解得d=3或d=-3,

•・•顶点纵坐标为T,-3<-l,

***d=-3舍去，

・"=3,

・'・x2-2x=3»

解得X1=3,%2=-1,

，点B的坐标为(3,3)或(-1,3).

【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时求

出函数的解析式是解题的关键.

15.计算：（2。16-幻e+（_；）・！.3tan3（T+“-VJ|.

■

【答案】25/3-2

【详解】试题分析：根据零指数塞的性质，负正整数基的性质，特殊角三角函数，绝

对值的性质计算即可.

试题解析：（2016・,7）：+（-!）'・3tan30"1-#|

■

•1—2*g♦^3-1

-275-2

考点：实数运算

16.如图，在平面直角坐标系中，已知4ABC的三个顶点坐标分别是A（1,D,

B（4,l）,C（3,3）.

（1）将ABC向下平移4个单位后得到MBG，请画出&4/B/G；

（2）将以8C绕原点。逆时针旋转90。后得到△&6G，请画出AA?6G，并直接写

出sinNA282c2的值；

【答案】（1）见解析；（2）图见解析，乎

【分析】（1）将A,B,C的向下平移4个单位后得到A1，B,,G坐标，依次连接即

可；

（2）将A,B,C三点绕绕原点。逆时针旋转90。后得到A»B2,C2,依次连接即可

得到△4即72，作C2DJ_B2c2,求出82G=有，即可求出SinNA282c2的值.

【详解】解：(1)将A,B,C的向下平移4个单位后得到AyB,,G坐标，依次连

接即可得到486如图所示;

(2)将A,B,C三点绕绕原点。逆时针旋转90。后得到A2,B2,C2,依次连接即可

得到△△262c2如图所示，

作C2D_LB2c2,

在RSDB2G中,

22

52C2=V1+2=N/5,

【点睛】本题是对图形平移旋转的考查，熟练掌握图形平移，旋转的作法及三角函数

知识是解决本题的关键.

17.在AABC中，ZACJ?=90°,以3C为直径的。。交A8于点O.

A

⑴如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交48于点M,连接CM,若NABC=

66°,求NACM：

(2)如图②，过点。作的切线DE交4c于点E,求证：AE=EC；

3

(3)如图③，在(1)(2)的条件下，若3病=一，求SAADE：SAACM的值.

4

【答案】(1)N4CM=33°

(2)证明见解析

4

(3)SAADE：SAACM=-

【分析】(1)证明ABCM是等腰三角形，求出NACM=N8MC=57。，由ZACB=

90°,求得NACM：

(2)证明△EOOgAECO(SAS),则OE=CE,得到NA=NAOE,即可求解：

(3)设8c=3x,AC=4x,AB=5x,PJiJED=EC=^AC=AE=2x,由

612

△AMHs^ABC,得到SAACM=gxACxMH=gx4.r£x=?x2,同理可得：SAADE=

Ii4848

2

—AE*Df=—x2xx—x=—xt即可求解.

222525

(1)

解：由题意知，BC=BM,

・•・△BCM是等腰三角形

VZABC=66°,

AZ.BMC=ZBCM=(180°-ZABC)=57°,

VZACB=90°,

ZACM=ZACB-ZBCM=90°-57°=33°；

(2)

解：如图④，连接OE，OD,

TOE为圆。的切线，

：・/EDO=/ECO=90。,

：.AEDO与^ECO都是直角三角形

•：OE=OE,OD=OC,

:.4ED0沿△ECO(HL),

：.DE=CEt

9：0D=0B

："BDO=/DBC

VZBDO+ZADE=90°,ZDBC+ZA=90°,

:.NADE=NA

：,AE=DEf

：.AE=CEi

(3)

解：如图⑤，过M作MH_LAC于点”，过。作O/L4C于点/,连接8,

A

图⑤

•・•BC是。。的直径

：.ZBDC=ZADC=90°

•・・/ACO+NA=90。，NACD+/OC8=90。,

:./A=/DCB

3

••lan/DCB=tan/A=一,

设BC=3X9AC=4X,

贝I」48=y/AC、BC2=5X，

9：AE=CE

工点E为AC的中点

/.ED=EC=^AC=AE=2x,

而AM=AB-MB=AB-BC=5x-3x=2x,

•・・NA”M=NAC8=90。，NA=NA

:.AAMH^/\ABCt

.MHAM

则S44cM=gxACxMH=gx4xx6-x=y10-x2

VZA/D=ZACB=90°,NA=N4

：.4AD1S»ABC,

48

同理可得：Dl=—x,

2

则SAADE=^AE-DI=gx2xx—,r=—x,

22OS

4

所以SADE：SAACM=-.

【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，切线

的性质定理、勾股定理等知识，关键在于熟练应用定理和性质解决问题.

18.（1）计算：（-J）-2-肪+（6-兀）0+2cos450

2-r1

（2）解方程：土—=1-

x-33-x

【答案】（1）2+72:（2）x=2.

【分析】（1）按顺序先分别进行负指数幕的运算、立方根的运算、。次幕的运算、代

入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得；

（2）方程两边同时乘以x-3,化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得答案.

【详解】（1）原式=4-3+l+2x亚

2

=2+72;

（2）方程两边同时乘以x-3,

得:2-x=x-3+1,

解得:x=2,

检验：x=2时，x-3#）,所以x=2是分式方程的解.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，涉及了负指数幕、0指数幕、特

殊角的三角函数值等，熟练掌握与实数相关的运算法则、解分式方程的一般步骤以及

注意事项是解题的关键.

19.如图，CD切OO于点D,连结OC,交OO于点B,过点B作弦AB_LOD,点E

4

为垂足，已知。0的半径为10,sin/COD=1.

（2）CD的长；

40

【答案】（1）16（2）y

【分析】（1）根据三角函数求出BE的长，即可求出AB；

CD4

（2）由sin/COD=h=二，CD=k,则CO=5k,OD=3k,即可求出k,再求出CD.

【详解】⑴・・・AB_LOD,・・・AB=2BE,sinZCOD=—

4

BE=10x—=8

5

AAB=16

⑵・；CD切。O于D,

.\CD±OD,

CD4

.-.sinZCOD=—=-

OC5

设CD=k,则CO=5k,OD=3k,

/.OD=3k=10,k=—

3

40

ACD=4k=—

3

2

20.(1)计算:(3.14-笈)°x(-2-)+8,(-际xsin450-当；

（2）化简求值：注+[四]/二——!-],其中4=百.

2x2[2x）U-lx+lj

9

【答案】⑴（2）-3

4

【分析】（1）根据零指数累，负整数指数鬲，化简绝对值，二次根式的性质，特殊角

三角函数值，结合实数运算法则计算求值即可；

<2）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分，再求值；

【详解】解：（1）原式=lxj_L]+|&_3|x也一逑=_,+逑_2—逑=_?；

4J1।224224

后-x+i（2x丫3x+3-x+l22x+4

⑵原式一（1）（川）二二一（1）（川）

2x-2-2x-4_-6-6

=

=（x+l）（x-l）~（x+l）（x-l）x2_1

x=G代入得：原式二-3；

【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值；掌握相关运算法则是解题关

键.

21.下图为某小区的两幢1O层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层....第

10层，每层的高度为3m,两楼间的距离AC=30m.现需了解在某一时段内，甲楼对

乙楼的聚光的影响情况.假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC=h,太阳光

线与水平线的夹角为a.

(1)用含a的式子表不h；

(2)当a=30。时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层?从此时算起，若a每小时增加

10°,几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.

【答案】(1)30-30tana(2)甲楼顶B的影子落在第五层；应在1个半小时后，甲楼

的影子刚好不影响乙楼的采光

【分析】(1)过E作EF_LAB,垂足为E在直角三角形BFE中，用锐角三角函数表

示出h即可；

<2)令a-30c求得h的近似值后即可判断影了落在第几层.结合题中数据可知不影响

采光时a为45。，再根据每小时增加10。，即可得解.

【详解】⑴过E作EFJ_AB,垂足为F,则NBEF=a

32

吕

吕

吕

吕、太阳光

甲

乙

楼

…

…

楼

吕

吕

口

口

图1

在RSBFE中，FE=AC=30,AB=10x3=30

ABF=AB-EC=30-h

BF

Vtana=—，/.BF=EF><tana

FE

即30—h=30><tana

h=30—30tana

⑵、当a=30°时，h=30-30tan30M2.68

・•・甲楼顶B的影子落在第五层

不影响乙楼的采光时，AB的影子顶部应刚好落在C处，

此时，AB=30,AC=30,

/.ZBCA=45°,

则Na=45°,

•・•角a每小时增加10度,

.••应在1个半小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是从复杂的实际问题中整理出直角

三角形模型.

22.如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼V尸C4和

成轴对称，尸C和Q。均垂直于地面，双翼边缘的端点A与3在同一水平线上，

且它们之间的距离为16cm,双翼边缘AC=8Q=54cm,且与闸机侧立面夹角

NPCA=NQDB=300.

图

1图?

(1)求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；

⑵经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：

00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分(每个时间段含前一个整点时刻不

含后一个整点时刻)，现已知所有统计数据的平均数为4200人.

①求出9：00〜10：00时段的入园游客人数；

②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超

过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建

议公园需要采取限流措施？并分别说明原因.

【答案】(l)70cm

(2)①6000人；②9：00-10：00和13：00-14：00需要限流，理由见解析

【分析】(1)过A作AE〃CP于点E,过8作8尸，Q。于点尸，根据三角函数即可得

到答案；

(2)平均数为4200人，设9：00-10：00人数为凡然后根据平均数概念列出方程

求解即可.

【详解】(1)解：过A作AE〃CP于点E,过8作8/_LQ。于点尸，

直角三角形ACE中，AE=sin300xAC=27,

同理，8尸=27且AB=16,27x2+16=70,

.•.PC与Q。间的距离为70cm.

(2)①平均数为4200人，设9：00-10：00人数为x,

,(3000+x+4800+3800+2500+5l00)+6=4200,

.\x=6(XX),

.-.9：00-10：00时段的入园游客人数为6000；

②9：00-10：00和13：00-14：00需要限流，

9：00-10：00限流原因：入园人数是6000,超过5000；

13：0014；00限流原因如下：

12：00-13：00入园总人数为20100人超过20000人；

13：00-14：00入园人数为：5100人，超过5000人；

13：(X)-14：00时段入园游客超过50(X)人或在园内游客总数超过20(XX)人.

【点睛】此题考查的是条形统计图，掌握三角函数和平均数的概念是解决此题关键.

23.如图，点8在。O的直径AC的延长线上，点。在上，AD=DB,

N8=30。，若0O的半径为4.

⑴求证：是OO的切线；

(2)求C8的长.

D

【答案】(1)证明见解析；

(2)4

【分析】(1)连接。。，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到乙120。，

ZADO=Z4=30°,那么NOD8=90。，根据切线的判定方法即可证明8。是。的切

线；

(2)解含30。角的RtZ\O8O,得出08=28,再根据。8=08-8=2。。-0£>=。0

即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接0。，

NA=NB=30。，

:.ZADB=\S00-ZA-ZB=\2(r,

*：OA=OD,

：.ZADO=ZA=3QP,

：.NODB=ZADB-ZADO=900,

又•・•点。在OO上，

是。的切线；

(2)在RiZXOBO中，VZODB=90°,ZB=30°,

,08=207)=8,

：.CB=OB-OC=2OD-OD=OD=4.

【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，正

确切线的判定，等边对等角，含30度直角三角形的性质是解题的关键.

24.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点。是这段弧所在圆的圆心.

AB=100m,C是AB上一点，OCA.AB,垂足为。，CD=10m,求这段弯路的半径.

B

【答案】这段弯路的半径为130m.

【分析】设这段弯路的半径为rm,

由垂径定理可得BD=DA=^AB=50m.

因为CD=1Om,得OD=(r-IO)m.

在RSBOD中，根据勾股定理可列出方程解出半径长.

【详解】解：设这段弯路的半径为rm,

因为OC_LAB于D,AB=100(m),

所以BD=DA=gAB=50(m).

因为CD=10(m),

得OD=-10(m).

因为RQBOD中，根据勾股定理有

BO2=BD2+DO2.

即r2=502+(r-10)2.

解得r=130(m).

因此这段弯路的半径为130m.

【点睛】本题考查垂径定理与勾股定理的应用.

25.计算：V54->/6-^/(sin300-sin60)2.

【答案】一过+L

62

【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用二次根式的混合运算法则计算得出结

果.

=且_正+_L

322

62

【点睛】本题考查了特殊的三角函数值及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌

握运算法则.

26.已知二次函数尸©2_法+。且Rb,若一次函数)=米+4与二次函数的图象交于

点42,0).

(1)写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；

(2)当心c时，求证：直线尸"+4与抛物线产双2_法+c一定还有另一个异于点人

的交点；

⑶当c<a4c+3时，求出直线旷=履+4与抛物线丁=奴2_加+。的另一个交点8的坐

标；记抛物线顶点为抛物线对称轴与直线)=丘+4的交点为N,设

5=€2,/28称，写出$关于。的函数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大

值；如果没有，请说明理由.

【答案】(1)一次函数的解析式为产-2x+4；(2,01(-1,0).(2)证明见解析；(3)

S=36r-3-+47,最大值为了7.

【分析】(1)把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函

数解析式，且把a=b代入，求得c=-2a,所有二次函数解析式为y=ax2-ax-2a,令y=0

即求得与x轴交点的坐标.

(2)由(1)得直线解析式为广-2x+4,抛物线解析式为y=ax2-ax-2a,两方程联立消

去y后，得到关于x的一元二次方程，求得其△=(3a+2)2,由于a>c,c=2a,求得

a>0,故△=(3a+2)2>0,方程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有

另一个交点.

(3)由cVa%+3和c=-2a求得OVagl,故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的

大致图象.联立直线与抛物线解方程即求得点B坐标(用a表示).将抛物线解析式配

方求得顶点M和对称轴，求抛物线对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点

M纵坐标得MN的长，进而能用含a的式子表示SAAMN与SABMN,代入即写出S关于

a的函数关系式.由OVaWl得到当a=l时，S能有最大值，并能求出最大值.

【详解】解：⑴把点A(2,0)代入y=kx+4得：2k+4=0

二.k=-2

••・一次函数的解析式为y=-2x4-4

二次函数丫=2乂2-bx+c的图象过点A(2,0),且a=b

/.4a-2a+c=0

解得：c=-2a

•••二次函数解析式为y=ax2-ax-2a(awO)

当ax?-ax-2a=0,解得：x,=2,x2=-l

・•・二次函数与x轴交点坐标为(2,0),(TQ).

(2)证明：由⑴得：

直线解析式为y=-2x+4,

抛物线解析式为丫=2*2-a*-2@

y=-2x+4

y=ax2-ax-2a

整理得：ax2+(2-a)x-2a-4=0

/.A=(2—a)"-4a(-2a-4)

=a2-4a+4+8a2+16a=9a2+12a+4

=(3a+2>

.a>c»c=-2a

/.a>-2a

/.a>0

,-.3a+2>0

i=(3a+2)2>0

关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根

・•・直线与抛物线还有另一个异于点A的交点

(3)c<a<c+3,c=-2a

.,.-2a<a<-2a+3

.•.(Xa<l,抛物线开口向上

Jy=-2x+4

1y=ax2-ax-2a

整理得：0?+(2—a)”—2a—4—0，(3a+2)2>0

-(2-〃)±J(3a+2)_(2-a)±(3a+2)

•X=-------------------------=----------------------

2

二%=2（即点A横坐标），〜=一1一一

a

（24

...直线产区+4与抛物线尸以2-bx+c的另一个交点B的坐标为卜1-71+6

9

抛物线尸数2—a

4

••・顶点用（3，-］，，对称轴为直线x=g

••・抛物线对称轴与直线）=-2x+4的交点N（g,3）

252511I1

S=—S-S=—x—MNx,「----MN—x?

AMN.BisiMvirNw92222BN

25r9J1A1/c9J1Ia)

=—(3+—a2——(3+—a)—+1+—

184V2J24y22)

0<a<l

3

0<3a<3>—W—3

a

3

・•・当a=l时，3a=3,-：=-3均取得最大值

377

...S=3a-±+：有最大值，最大值为：.

a44

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方

程，一元二次方程根与系数的关系，不等式的应用.其中第(1)(2)题求解的结论是

没有附加条件的，故在后续证明或计算时能直接使用.在没有图象的情况下考查二次

函数和一次函数的相关性质，体现数形结合的应用，在解题时要根据题意画出大致图

象再进行解题.

27.已知如图，二次函数y=-x2+2x+m的图象过点B(0,3),与x轴正半轴交于点A

(1)求二次函数的解析式；

(2)求点A的坐标；

(3)若点C为抛物线上位于直线BA上方的一动点(不与点A和点B重合)，过点C

作CDJ_x轴交直线BA于点D.请问：是否存在一点C,使线段CD的长度最大？若

不存在，请说明理由；若存在，请求点C的坐标和线段CD长度的最大值.

315

【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)(3,0)；(3)存在，点C的坐标(不，—),线段CD

24

长度的最大值为9:

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)令y=0,再解方程-x2+2x+3=0即可求得点A坐标；

(3)先求得直线AB的解析式，点C坐标为(n,-n2+2n+3),则点D坐标为(n,-

n+3),利用二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)・・•二次函数y=・x2+2x+m的图象过点B(0,3),

/.m=3,

・••二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)把y=0代入解析式y=-x2+2x+3中,得:

-x2+2x+3=0,

解得:xi=3,X2=-l(舍负)，

工点A坐标为(3,0)；

(3)存在一点C,使线段CD的长度最大.

设过点A(3,0)和点B(0,3)的一次函数的解析式为：y=k.x+bt

.・.[b=3

13k+b=0

仕=-1

解得

[。=3

・•・直线AB的解析式为y=-4+3,

•・,点C在二次函数y=-x2+2x+3的图象上，

，设点C坐标为(n,-n2+2n+3),则点D坐标为(n,-n+3),

ACD=(-n2+2n+3)-(-n+3)

=-n2+3n

,3遂9

='(n-2)+4，

3

.•.当n=1时，线段CD的长度最大，

线段CD长度的最大值为:，

4

315

此时点C坐标为(5，—).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数

的性质是解题的关键.

28.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出

500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将

减少20千克

(1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？

(2)现市场要保证每天总毛利洞6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨

价多少元？

(3)每千克涨价多少时，每天的总毛利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)6120元；(2)5元；(3)每千克涨价17.5元时，每天的总毛利润最大，

最大利润是6125元

【分析】(1)设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与I的函数解析式，进

一步代入求得答案即可；

(2)利用每千克的盈利x销售的千克数=总利润，列出方程解答即可；

(3)设总毛利润为他得到w关于x的表达式，利用二次函数的最值求出结果即可.

【详解】解；(1)设每千克盈利“元，可售y千克,

则当x=10时,产500,

当x=U时，）=500-20=480,

10〃+方=500

由题意得,

1U+Z?=48O

解得:葭仅二一城20

因此）=-20x+700,

当x=18时，产340,

则每天的毛利润为18x340=6120元;