高中数学圆的标准方程 教学教案

授课人：李江

三维目标：

知识与技能：1、理解圆的标准方程的推导过程。

2、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会判断点与圆的位

置关系。

3、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标

准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能

力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴

趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

—•引入：我们在前面学习了直线和方程，我们知道直线方程的一般式：

Ax+珍+C=0（43不同时为0）。我们怎样说明此方程

Ax+珍+C=0（43不同时为0）是直线方程?我们知道在平面直角坐标系

中，两点确定一条直线；一点和倾斜角也能确定一条直线。那么在平面直角坐标

系中，如何确定一个圆呢？

二.新课

1.当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.所以一个圆最根本要素是圆心〔定

位〕和半径〔定形〕.

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如图可知此圆圆心A的坐标为（a,b）,半径为r（r>0）

2.问：圆上点的特点〔圆上的点与圆心的关系〕

结论：圆上任意点与圆心A(a,b)的距离等于半径r的大小，故可以说圆为到圆心距离

等于半径长的点的集合〔图形〕。

3.问：圆上任意点用(匹丁)与圆心人(&,b)之间的距离能用什么公式表示？

根据两点间距离公式：由段=7了+(%-X>.

则点必/间的距离为：

+(y-、)2=r<^>(x-<7)­+(y—Z?)2=r2

问：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？

结论：(1〕点例(x,y)是圆上任意一点，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程。

〔2〕点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r,即点M在

圆心为A(a,加,半径为广的圆上.

所以把方程(x—of+(y—=r2称为圆心为A(a,b)

半径长为广的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。

4.问：圆心在坐标原点(。，0),半径长为/•的圆的方程是什么？

d+、2=/

5.问：根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？

结论：只要求出厂且r>O,这是圆的方程就被确定了

三.举例

例|1：写出圆心为A(2,—3),半径长等于5的圆的方程，并判断点M

(5,V),N(-©T)是否在这个圆上.

解：〔略)

6.问：点与圆有哪些位置情况？如何判断？

结论：点在圆上和点不在圆上〔点在圆内和点在圆外〕用点到圆心的距离和半径r的大小

来说明。

(1)点M(X。，y0)到圆心的距离大于半径、点M在圆外

o(x°—a)2+(%—b)2>/2

(2)点M(x°,y°)到圆心的距离等于半径、点M在圆上

o(x。一0)2+(No-bl=r-

(3)点M(x°,y°)到圆心的距离小于半径、点M在圆内

o(%。-a]+(、o—byr<汗2

例2：△ABC的三个顶点的坐标分另U是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8).求它的

外接圆的方程。

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.

7.解题准备：求圆的方程的方法和步骤

方法：待定系数法，即列出关于a,b,r(r>O)的方程组，求出a,b,r或直接

求出圆心(“，小)和半径厂。

步骤:⑴根据题意，设所求圆的标准方程为：(x-+(y—4=r2。

⑵根据条件建立关于a,b,r的方程组。

⑶解方程组，求出a,b,r的值。并把它们代入所设的方程去，求圆的方

程。

解：〔略〕

例3：圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在

直线/—y+1=。上，求圆心为C的圆的标准方程.

8.△钿(?外接圆的标准方程的两种求法：

解法一：代数角度，即建立关于a,b,r方程组，解方程组得到。、b、r的值，写出

圆的标准方程.

解法二：几何角度，即根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大

小，然后再写出圆的标准方程.

分析：道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆心为c的圆经过点41,1)

和冲，-2),由于圆心C与48两点的距离相等,所以圆心C在线段Z8的垂直平分

线〃上.又圆心C在直线I上,因此圆心C是直线I与直线1的交点,半径长等

于|。|或|幽.

解：(略)

四.练习：课本p⑵第1、2、3题

五.