高考总复习文数（北师大版）讲义第7章第05节直接证明与间接证明

第五节直接证明与间接证明考点高考试题考查内容核心素养直接证明与间接证明未单独考查命题分析对直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等综合考查.1．直接证明综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法.思维过程由因导果执果索因证题步骤P(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒Q(结论)Q(结论)⇐Q1⇐Q2⇐…⇐Qn⇐P(已知)文字语言因为……，所以……或由……，得……要证……，只需证……，即证……符号语言⇒⇐2．间接证明反证法定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．证明步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.提醒：辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6)最合适的方法是分析法．()(5)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．()(6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×2．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法 B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法解析：选B结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．4．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”．5．(教材习题改编)用分析法证明不等式eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)时，最后推出的显然成立的最简不等式为________．解析：要证eq\r(a)－eq\r(a－1)＜eq\r(a－2)－eq\r(a－3)，只需证：eq\r(a)＋eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，两边平方得：eq\r(aa－3)＜eq\r(a－2a－1)，两边由平方得：0＜2，显然成立．答案：0＜2分析法的应用[明技法]分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．[提能力]【典例】已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).证明：要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[刷好题]已知a>0，求证：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.证明：要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只要证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).∵a>0，故只要证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))2，即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋2，从而只要证2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只要证4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2＋\f(1,a2)))，即a2＋eq\f(1,a2)≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．综合法的应用[明技法]综合法证题的思路[提能力]【典例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠C＝eq\f(2π,3)，求证：5a＝3b.证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝eq\f(2π,3)，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.[刷好题](2018·聊城模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,3)x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x)．(1)解：f′(x)＝eq\f(1,1＋x)，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0＝f0，,f′0＝g′0，))解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2－x(x＞－1)．则h′(x)＝eq\f(1,x＋1)－x2＋x－1＝eq\f(－x3,x＋1).所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．故h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．反证法的应用[明技法]用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾．(3)否定反设，得出原命题结论成立．[提能力]【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解：当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝eq\f(1,2)an，所以{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以an＝eq\f(1,2n－1).(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N＋)，则2·eq\f(1,2q)＝eq\f(1,2p)＋eq\f(1,2r)，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N＋.所以(*