第23讲圆的一般方程（三大题型归纳分层练）（原卷版）

第23讲圆的一般方程【人教A版选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01圆的一般方程的辨析 2题型02求圆的一般方程 4题型03圆的轨迹问题 7分层练习 10夯实基础 10能力提升 18创新拓展 271．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程________________叫做圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以__________________为圆心，以____________为半径的圆注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.题型01圆的一般方程的辨析【解题策略】圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解【典例分析】【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．【变式演练】【变式1】（2324高二上·天津和平·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（

）A．，3 B．，3C．，1 D．，1【变式2】（2324高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为.【变式3】（2324高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：.(1)求圆C的圆心坐标和半径；(2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程.题型02求圆的一般方程【解题策略】求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程．(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程【典例分析】课本例4求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【例2】已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．【变式演练】【变式1】（2223高二·全国·课后作业）经过点的圆的一般方程为．【变式2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq\r(2)，求圆的一般方程．【变式3】（2324高二上·新疆塔城·期中）已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．(1)求AB边中线所在直线的方程；(2)求△ABC外接圆的一般方程．题型03圆的轨迹问题【解题策略】求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式【典例分析】课本例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．【例3】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．【变式演练】【变式1】（2324高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为．【变式2】已知圆C经过(2,6)，(5,3)，(2,0)三点．(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点B(2,3)，且点M满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，求点M的轨迹方程．【变式3】（2324高二上·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形．(1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程；(2)求点的轨迹方程．【夯实基础】一、单选题1．（2324高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．2．（2324高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．3．（2324高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．4．（2324高二上·全国·课后作业）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A．B．C．D．二、多选题5．（2324高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（

）

A． B．C． D．6．（2324高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（

）A．2 B． C． D．3三、填空题7．（2324高二下·上海闵行·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的面积为.8．（2324高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为．9．（2324高二上·广西南宁·阶段练习）过点，且圆心与已知圆相同的圆的标准方程为．四、解答题10．（2324高二上·天津武清·阶段练习）（1）已知圆圆心在直线上，且过点，.求圆的标准方程；（2）圆M经过三点：，，．求圆M的方程．11．（2023高二上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程．12．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．13.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．【能力提升】一、单选题1．（2223高二上·河南驻马店·期末）以，为直径两端点的圆的方程为（

）A． B．C． D．2．（2223高二上·北京大兴·期中）已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（2223高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．4．（2223高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2223高二上·河北张家口·期末）下列选项正确的有（

）A．表示过点，且斜率为2的直线B．是直线的一个方向向量C．以，为直径的圆的方程为D．直线恒过点6．（2223高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列中说法正确的有（

）A．边上的高所在直线的方程B．的外接圆的方程为C．的面积为12D．直线在轴上的截距为7三、填空题7．（2324高二上·全国·单元测试）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为.8．（2324高二上·全国·课后作业）过点且圆心在直线上的圆的一般方程为．9．已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．10．（2021高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为.四、解答题11．（2324高二上·山东枣庄·阶段练习）已知三点，求：(1)的面积.(2)外接圆的一般方程.12．（2223高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切．(1)求圆的一般方程；(2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程．【创新拓展】一、单选题1．（2021高一上·河南洛阳·期末）已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题2．（2324高二上·广西南宁·阶段练习）（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（

）A．边的垂直平分线的方程是B．三角形的面积为1C．三角形外接圆的方程为D．三角形外接圆的圆心坐标三、填空题3．（2023高二上·全国·专题练习）到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的的点M的轨迹方程为.四、解答题4．（2324高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．5．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E