高考总复习理数（人教版）第09章平面解析几何第2节两直线的位置关系

第二节两直线的位置关系考点高考试题考查内容核心素养两直线的位置关系2017·全国卷Ⅰ·T10·5分在抛物线背景下结合直线垂直，求最小值数形结合2017·全国卷Ⅱ·T20·12分椭圆中结合直线垂直求解数学运算直线的交点2016·全国卷Ⅲ·T16·5分直线与圆数学运算点到直线的距离2016·全国卷Ⅱ·T4·5分圆心到直线的距离数学运算命题分析本节知识很少单独考查，常常与圆、圆锥曲线相结合，解题时要利用数形结合的思想.1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))提醒：1．辨明三个易误点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．3．过两直线交点的直线系方程的设法过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交．()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：选A设与2x－3y＋4＝0垂直的直线为3x＋2y＋C＝0，因为直线过点(－1,2)，所以3×(－1)＋2×2＋C＝0，∴C＝－1.∴直线l的方程是3x＋2y－1＝0.3．(教材习题改编)已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2解析：选B由题意知A＝1，B＝1，C1＝1，C2＝－1，∴d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2).4．(教材习题改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是()A．－3 B．2C．－3或2 D．3或－2解析：选A∵l1∥l2，∴eq\f(a,2)＝eq\f(3,a＋1)≠eq\f(1,1)，∴a＝－3.两直线的平行与垂直问题[明技法]1．用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)(A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)(A1B2－A2B1≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)(A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1＝0)2．用斜截式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋bl1与l2垂直的充分条件k1k2＝－1l1与l2平行的充分条件k1＝k2b1≠b2l1与l2相交的充分条件k1≠k2l1与l2重合的充分条件k1＝k2b1＝b2注意：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．[提能力]【典例】(1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝()A．－1 B．2C．0或－2 D．－1或2(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0,若l1⊥l2，则a＝________.(3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________.解析：(1)选D若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，选D．(2)方法一∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq\f(a,2)＝－1，解得a＝－2.方法二∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2.答案：－2(3)方法一由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－eq\f(4,3)，∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.方法二∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.答案：4x＋3y－6＝0[刷好题]1．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有eq\f(2,m)＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C．2．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值．解：(1)由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6∴l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0，))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.(2)由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝eq\f(2,3).距离公式的运用[明技法]距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．[提能力]【典例】已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过eq\r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．[刷好题]1．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则P点坐标为()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)解析：选C设P点坐标为(x,5－3x)，则P点到直线x－y－1＝0的距离d＝eq\f(|x－5－3x－1|,\r(2))＝eq\f(|4x－6|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2.所以P点坐标为(1,2)或(2，－1)．2．(2018·巴蜀中学月考)已知曲线y＝eq\f(2x,x－1)在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2eq\r(5)，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：选B由题意得，y′＝eq\f(2x－1－2x,x－12)＝eq\f(－2,x－12)，令x＝2，则y′＝－2，即切线的斜率为k＝－2，即直线l的斜率为k＝－2，设直线l方程为2x＋y＋b＝0，由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|2×2＋4＋b|,\r(22＋12))＝2eq\r(5)，解得b＝2或b＝－18，所以直线l的方程为2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0，故选B．对称问题[析考情]一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，以上各种对称问题最终转化为点的对称问题来解决．[提能力]命题点1：点关于点的对称问题【典例1】(2017·蚌埠期末)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()A．(1,6) B．(6,1)C．(1，－6) D．(－1,6)解析：选D设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)＝1，,\f(2＋y,2)＝4，))∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)．命题点2：点关于线的对称问题【典例2】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为__________.解析：设A′(x，y)，再由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))故A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13)))命题点3：直线关于直线的对称问题【典例3】直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.命题点4：对称问题的应用【典例4】光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C．故BC所在的直线方程为eq\f(y－6,－4－6)＝eq\f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.[明技法]处理对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c