2024-2025学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上.下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+x−y=0 B.ax2+2x−3=0 3.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离(

)A.变小

B.不变

C.变大

D.无法判断4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长为(

)A.4

B.8

C.43

5.一元二次方程y2−y−34A.(y+12)2=34 B.6.实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克.如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍.晓华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10150=10150−x，则未知数A.增加的水量 B.蒸发掉的水量 C.加入的食盐量 D.减少的食盐量7.若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值范围是(

)A.m<14 B.m≤14 C.8.如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E是CD的中点.点P从点A出发，沿A→D→C→B以1cm/s的速度运动到终点B.设点P运动的时间为x(s)，△APE的面积为y(cm2)，图2是y与x之间的函数关系图象，下列判断不正确的是(

)

A.b=92 B.BC=2，CD=5

C.平行四边形ABCD的面积为5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.已知方程2x2−mx+3=0的一个根是−1，则m的值是______．10.如图，A，B两地被古城墙阻隔，为测量A，B两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达A，B两地的点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，连接DE.若DE的长为27m，则A，B两地间的距离为______m.11.门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分.如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案.其中∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1+∠2+∠3+∠4=300°，则∠D的度数是______°.12.已知关于x的不等式组x>a3−2x≥1只有3个整数解，则实数a的取值范围是______．13.如图，正方形OABC边长为3，正方形ODEF边长为2，连接CD和AF，则CD2+AF三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

解方程：

(1)x2+2x−4=0；

(2)3x(2x+1)=4x+215.(本小题6分)

先化简，再求值(1−x+1x−3)÷x216.(本小题8分)

如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．

(1)求证：四边形ABEF为菱形；

(2)AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．

17.(本小题8分)

阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n.求m2+n2的值．

解：∵方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，则m+n=1，mn=−1，

∴m2+n2=(m+n)2−2mn=12−2×(−1)=3．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：若一元二次方程2x218.(本小题8分)

社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD=52m，AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积为640m2．

(1)求道路的宽是多少米？

(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？19.(本小题11分)

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：等腰梯形

在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形.生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究．

定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰.两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

如图1，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD//BC，AB=DC．

性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形：

从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质：

性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：…

判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系

判定1：…．任务：

(1)为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下.请按她的思路选择一种方法写出证明过程．

已知：如图2，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=DC．

求证：∠B=∠C，∠A=∠D．

证明：方法1：过点A作DC的平行线，交BC于点E，…；

方法2：过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，…．

(2)根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题，并判断其真假：______的梯形是等腰梯形，该命题是______命题．

20.(本小题12分)

【材料背景】

如图1，在△ABC中，以边AB为底边向外作等腰Rt△ABD，其中∠ADB=90°，且AD=DB，那么点D就被称为边AB的“外展等直点”．

【建构与探究】

如图2，正方形网格是由边长为“1”的正方形组成，点O、A、B、C都在格点上，∠OAB=90°，点C为OB的中点．

(1)连接OA、OB、AB，请分别作边OA、AB的“外展等直点”P和Q，连接PC、QC和PQ，则△PCQ的形状为______；

(2)如图3，点E、F在格点上，请在线段EF上的格点中任取一点D(不与点A重合)，连接OD、BD，分别作△OBD的边OD和边BD的“外展等直点”G、H，连接GC、HC和GH，请判断△GHC的形状，并说明理由．

【应用与拓展】

(3)如图4，点M、N为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知M(−2,−1)，N(3,1)，请直接写出该三角形第三条边的中点K的坐标．

参考答案1.A

2.D

3.B

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.−5

10.54

11.120

12.−2≤a<−1

13.26

14.解：(1)x2+2x−4=0，

x2+2x=4，

x2+2x+1=4+1，

(x+1)2=5，

x+1=±5，

x1=5−1，x2=−5−1；

15.解：原式=(x−3x−3−x+1x−3)÷(x+3)(x−3)(x−3)2

=−416.(1)证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠FAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=FA，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB=AF，

∴四边形ABEF为菱形；

(2)解：∵四边形ABEF为菱形，BF=6，

∴AE⊥BF，BO=12FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，AB=5，

∴AO=517.(1)32，−12；

(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根分别为m，n，

∴m+n=32，mn=−12，

∴m2n+mn2=mn(m+n)=−12×32=−34；

(3)∵实数m，n18.解；(1)根据道路的宽为x米，根据题意得，

(52−2x)(28−2x)=640，

整理得：x2−40x+204=0，

解得：x1=34(舍去)，x2=6，

答：道路的宽为6米．

(2)设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，

根据题意得：(200+a)(50−a5)=10125，

整理得：a2−50a+625=0，

解得19.(1)证明：方法1：如图1，过点A作DC的平行线，交BC于点E，

∴∠AEB=∠C，

∵AD//BC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AE=DC，

∵AB=DC，

∴AB=AE，

∴∠AEB=∠B，

∴∠B=∠C，

∵AD//BC，

∴∠B+∠BAD=180°，∠C+∠D=180°，

∴∠BAD=∠D；

方法2：如图2，过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，

∵AD//BC，

∴AM⊥AD，

∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，

∴四边形AMND是矩形，

∴AM=DN，

∵AB=DC，

∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL)，

∴∠B=∠C，

∵AD//BC，

∴∠B+∠BAD=180°，∠C+∠D=180°，

∴∠BAD=∠D；

(2)解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：

已知：如图2，四边形ABCD是梯形，AD//BC，∠B=∠C，∠A=∠D．

求证：AB=DC．

证明：过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，

∴∠AMB=∠DNC=90°，

∵AD//BC，

∴AM⊥AD，

∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，

∴四边形AMND是矩形，

∴AM=DN，

∵∠B=∠C，

∴△ABM≌△DCN(AAS)，

∴AB=DC．

20.(1)点P、Q即为所求，

由图可知PC=CQ=3，且∠PCQ=90°，

∴△PCQ是等腰直角三角形．

(2)选取点D如图所示，G、H即为所求．

参考一：

△GHC形状为等腰直角三角形，理由如下：

如图，GI=CJ=CI=HJ=3，∠GIC=∠CHH=90°

∴△GIC≌△CJH(SAS)，

∴GC=CH，且∠GCH=180°−45°−45°=90°，

∴△GHC为等腰直角三角形．

参考二：

如图，GI=CJ=3，CI=HJ=1，∠GIC=∠CJH=90°，

∴△GIC≌△CJH(SAS)，

∴GC=HC，∠IGC=∠JCH，则∠GCH=90°，

∴△GHC为等腰直角三角形．

参考三：

如图，GI=CJ=1，CI=HJ=3，∠GIC=∠CHH=90°，

∴△GIC≌△CJH(SAS)，

∴GC=HC，∠IGC=∠J